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二分之一加四分之一加八分之一加十六分之一加三十二分之一加六十四分之一
=64分之1乘32+64分之1乘16+64分之1乘8+64分之1乘4+64分之1乘2+64...
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解下列方程 五分之三X等于七十二分之二十五 九分之八X等于六分之一乘以五十一分之十六 X等于三十解下列方程五分之三X等于七十二分之二十五九分之八X等于六分之一乘以五十一分之十六X等于三十五分之六等于四十五分之二十六除以二十五分之十四
依次为125/216
第三个式子错误张丘建算经1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&张丘建算经
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
高文秀注释&& 2009.4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&本资料是根据文渊阁本四库全书第七百九十七册录入的；在抄录时，由于原书中刘孝孙撰写的细草是用筹算解释其解法的，所以只选其中的一部分抄入。
(一)以九乘二十一五分之三，问得几何。
答曰：一百九十四五分之二。
草曰：置二十一以分母五乘之内子三得一百八，然以九乘之得九百七十二，却以分母五而一，得合所问。
【注】原文没有标点，全文之标点是注释者加上去的。
“置二十一以分母五乘之内子三得一百八”的意思是：21&5＋3。
若按照书中的解法是：(21&5＋3)&9&5
&(二)以二十一、七分之三乘三十七九分之五，问得几何。
答曰：八百四、十二分之十六。
草曰：置二十一以分母七乘之内子三得一百五十，又置三十七以分母九乘之内子五得三百三十八，二位相乘得五万七百为实，以二分母七九相乘，得六十三而一，得八百四余六十三分之四十八，各以三约之，得二十一分之一十六，合前问。
【注】若按照书中的解法是：(21&7＋3)＝150，(37&9＋5)＝338，二数相乘150&338＝50700为被除数，以二分母7&9＝63为除数，得。
(三)以三十七三分之二乘四十九五分之三、七分之四，问得几何。
答曰：一千八百八十九、一百五分之八十三。
草曰：置三十七以分母三乘之内子二得一百一十三。又置四十九于下别置五分于下右之三在左。又于五分之下别置七分三分之下。置四维乘之以右上五乘下左四得二十。以右下七乘左上三得二十一并之得四十一。以分母相乘得三十五。以三十五除四十一得一余六。以一加上四十九得五十。又以分母三十五乘之内子六得一千七百五十六。以乘上位一百一十三得一十九万八千四百二十八为实。又以分母三母相乘，得一百五为法除实得一千八百八十九余一百五分之八十三。合所问。
臣淳风等谨按：以前三条虽有设问而无成术可憑，宜云：分母乘全内子令相乘为实，分母相乘为法。若两有分母，各乘其全内子，令相乘为实，分母相乘为法，实如法而得一。
&(四)以十二除二百五十六九分之八，问得几何。
答曰：二十一、二十七分之十一。
草曰：置二百五十六以分母九乘之内子八得二千三百一十二为实。又置除数十二以九乘之得一百八为法除实得二十一。法与实俱半之，得二十七分之十一。合所问。
&(五)以二十七五分之三除一千七百六十八七分之四，问得几何。
答曰：六十四、四百八十三分之三十八。
草曰：置一千七百六十八以分母七乘之内子四得一万二千三百八十。又以除分母五乘之得六万一千九百为实。又置除数二十七以分母五乘之内子三得一百三十八。又以分母七乘之得九百六十六为法。除之得六十四。法与实各折半得四百八十三分之三十八。得合所问。
&(六)以五十八二分之一除六千五百八十七三分之二四分之三，问得几何。
答曰：一百一十二七百二分之四百三十七。
草曰：置六千五百八十七于上。又别置三分于下右之二于左。又置四分于三下之三于左维乘之分母得十二子得一十七。以分母除子得一余五加一上位，得六千五百八十八。以分母十二乘之内子五得七万九千六十一。又以除数分母二因之，得一十五万八千一百二十二。又置除数五十八于下，以二因之内子一，得一百一十七。又以乘数分母十二乘之，得一千四百四为法以除实，得一百一十二。法与余俱半之，得七百二分之四百三十七。
臣淳风等谨按：此术以前三条亦有问无术，宜云：置所有之数通分内子为实。置所除之数以三分乘之为法，实如法得一。若法实俱有分及重有分者同而通之。
&(七)今有官猎得鹿赐围兵。初围三人中赐鹿五头。次围五人中赐鹿七头。次围七人中赐鹿九头。并三围赐鹿一十五万二千三百三十三头少半头。问围兵几何。
答曰：三万五千人。
术曰：以三赐人数互乘三赐鹿数并以为法，三赐人数相乘并赐鹿数为实，实如法而得一。
【注】古代围猎曾是训练军队的重要手段。此题的意思是：由官方组织的围猎，将所得之鹿赐给围兵。最里面的一围，每三人赐给鹿五头；中间的一围，每五人赐给鹿七头；最外面的一围，每七人赐给鹿九头。这三围的人数相等，共赐给围兵之鹿为152333
头；求每一围的围兵数。
&(八)今有猎围，周四百五十二里一百八十步。布围兵十步一人。今欲缩，令通身得地四尺。问围内缩几何。
答曰：三十里五十二步。
术曰：置围里步数一退以四因之为尺。以步法除之即得缩数。
【注】猎围：打猎时形成的包围圈。北周文学家庾信(513—581)《和宇文内史春日游山》：“戍楼侵岭路，山村落猎围”。“通身”是指人的身高为古代的6尺，1尺约为30厘米。
“得地四尺”是指人坐在地上为四尺。“通身得地四尺”意思是六分之四尺。
此题的意思是：围猎的士兵形成的包围圈长度是452里180步，每隔十步有士兵一人。现在要缩小包围圈，变为每隔六分之四尺有士兵一人。问包围圈的长度缩成多少。
按照里步法，1里＝300步；按照步尺法1步＝6尺。452里180步＝135780步，以四因之就是乘以4。
解 &4&6＝9052(步)＝30里52步。
(九)今有围兵二万三千四百人以布围周，各相去五步。今围内缩除一十九里一百五十步而止。问兵相去几何。
答曰：四步四分之三。
术曰：置人数以五乘之，又以十九里一百五十步减之余，以人数除之，不尽平约之。
【注】“相去”就是相距，这里是士兵的间隔。题目的意思是：围猎的士兵有23400人，原来士兵的间隔为5步。现在要把包围圈缩减19里150步，求缩围之后士兵的间隔。
解 包围圈原来为5&23400步＝117000步，19里150步＝(300&19＋150)步＝5850步。
50＝111500步，00＝4 (步)。
(十)今有封山周栈三百二十五里，甲乙丙三人同绕周栈行。甲日行一百五十里，乙日行一百二十里，丙日行九十里。问周行几何日会。
答曰：十日六分日之五。
术曰：置甲乙丙行里数求等数为法，以周栈里数为实，实如法而得一。
草曰：置甲乙丙行里数甲行一百五十，乙行一百二十，丙行九十各求等数得六余得五，各以三十约之甲乙丙行数，乃甲得五周，乙得四周，丙得三周，合前问。
【注】此题的意思是：在绕山一周325里的栈道上，甲、乙、丙三人同时同地同向出发，绕山而行。三人的速度分别为：甲日行150里，乙日行120里，丙日行90里。问三人经过几日才能相会？
“等数”即最大公约数。按照给出的解法150里，120里，90里的最大公约数是30，325&30等于十又六分之五 (日)。
&(十一)今有内营周七百二十步，中营周九百六十步，外营周步一千二百步。甲乙丙三人值夜，甲行内营，乙行中营，丙行外营；俱发南门。甲行九，乙行七，丙行五。
问各行几何周俱到南门。
答曰：甲行十二周，乙行七周，丙行四周。
术曰：以内中外周步数互乘甲乙丙行率，求等数约之各得行周。
【注】此题的意思如图所示，有内中外三层营防，内营周长为720步，中营周长为960步，外营周长为周步1200步。甲乙丙三人值夜，甲乙丙各自从南门按照同一方向出发，沿着各自的防线巡逻。甲、乙、丙三人速度之比为3:4:5。问各行几周才能同时到达南门。
按：此下今有津、今有葭、今有木、今有城四问，俱各有形式高下进退、俯仰、线法、视法，毫不可紊。非依问绘图无以阐其立意之妙。将转疑其字句舛讹(错乱)。谨准测量法義，为补四图，各冠原问之右，庶图问参观，不至失其本义云。
【说明】题中的附图，是参照原书之图重新绘制的。
(十二)今有津不知其广，东岸高一丈，坐岸东去岸五十步，遥望岸上及津西畔，适与人目参合。人目去地二尺四寸。问广几何。
答曰：二百八步三分之一。
术曰：以岸高乘人去岸为实，以人目去地为法，实如法而一。
【注】此题的意思如图所示，有一条河的渡口AB＝x，东岸D处高DB＝1丈，有人从D处东去50步至C点，R是此人眼睛的位置，此人遥望D点及河的西畔A，恰好使R、D、A三点在一条直线上。此人的眼睛到地面的距离是2尺4寸。求此渡口的宽。
由△ABD∽△DCR得：x:DC＝DB:RC，∵DC＝6&5尺，
∴x:6&5＝10:2.4，x＝＝1250尺。即208 步。
(十三)今有葭生于池中，出水三尺；去岸一丈，引葭趋岸，不及一尺。问葭长及水深各几何？
答曰：葭长一丈五尺，水深一丈二尺。
术曰：置葭去岸尺数以不及尺数减之余自相乘；以出水尺数而一所得，加出水，而半之，得葭长；减出水尺数即得水深。
【注】“葭”即芦苇。此题的意思如图所示，有芦苇生长在池塘的中央，露出水面的部分HB＝3尺；芦苇和池岸的水平距离HD＝10尺；将芦苇拉向池岸至AC，CD＝1尺；求葭长x及水深。
(十四)今有木不知远近高下。立一表高七尺，人去表九步，立望表头，适与木端邪平；人目去地七尺二寸；又去表三十步，薄地遥望表头，亦与木端邪平。问木去表及高几何？
答曰：去表三百一十五步；木高八丈五步。
术曰：以表高乘人立去表为实，以表高减人目去地为法而一得木去表。
【注】“邪”即斜。“邪平”即在同一直线上。“目去地七尺二寸”
即眼睛离地面的距离7尺2寸。由此推算此人高约8尺；当时的1尺是23.1厘米，人高七尺多是正常现象。
此题的意思如图所示，有人为测量木杆AB的高，在C处立一根标杆CF＝7尺。此人站在和标杆的距离CD＝9步的D处，他的眼睛离地面的距离RD＝7尺2寸，此时R、F、B三点在同一直线上；然后他又后退30步，躺在地面上，E是他的眼睛的位置，CE＝30步，此时E、F、A三点也在同一直线上。求木去表的距离BC及木高AB。
&(十五)今有城，不知大小，去人远近。于城西北隅而立四表，相去各六丈。令左两表与城西北隅南北望，参相直。从右后表望城西北隅入右前表一尺二寸；又望西南隅亦入右前表四寸；又望东北隅亦入左后表二丈四尺。问城去左后表及大小各几何。
答曰：城去左后表一里二百步；东西四里四十步；南北三里一百步。
术曰：置表相去自乘，以望城西北隅入数而一，得城去表。又以望城西南隅入数而一，所得减城去表，余为城之南北。以望城东北隅入左后表数减城去表，余以乘表相去，又以入左后表数而一，即得城之东西。
【注】此题的意思是：有一座城ABCD。在它的西北角立四根标杆E、F、G、H，这四根标杆形构成边长为6丈的正方形，左边两根标杆与城西北角南北方向形成一条直线DF。从右后标杆G望城的西北角A，入右前表HN＝12寸；又望西南角D入右前标杆HM＝4四寸；又望东北角B入左后标杆FK＝24尺。求城离左后表多远，以及城的长和宽。
(十六)今有甲日行疾于乙日行二十五里，而甲发洛阳七日至邺；乙发邺九日至洛阳。问邺洛阳相去几何。
答曰：七百八十七里半。
术曰：以甲乙所至日数相乘，又以甲日行疾里数乘之为实，以甲至日减乙至日数余为法，实如法而一。
【注】邺城在今安阳市是六朝古都。此题的意思是：已知甲每日行的里数比乙多25里，而甲自洛阳出发7日至邺城；乙自邺城出发9日至洛阳。问邺城至洛阳多远。
　　书中给出的解法是：邺城至洛阳的距离为(7&9&25)&(9－2)＝787.5 (里)。
(十七)今有官，出库金五十九斤一两，赐王九人、公十二人、侯十五人、子十八人、男二十一人；王得金各多公五两，公得金各多侯四两，侯得金各多子三两，子得金各多男二两。问王公侯子男各得金几何。
答曰：王一斤六两，公一斤一两，侯十三两，子十两，男八两。
术曰：置王公侯子男数，王位十四之，公位九之，侯位五之，子位二之，并之以减出金两数，余以凡人数而一，所得各以本差之数加之，得王公侯子男各所得金之数，不加即男之得金。
【注】按照解题术，王的人数9乘以14，公的人数12乘以9，侯的人数15乘以5，子的人数18乘以2，相加得9&14＋12&9＋15&5＋18&2＝126＋108＋75＋36＝345；出金两数为16&59＋1＝945，相减945－345＝600为被除数；王公侯子男人数之和75为除数，相除等于8，所得各以本差之数加之，就是说王得8＋14＝22(两)，即一斤六两，公得8＋9＝17(两)，即一斤一两，侯得8＋5＝13(两)，子得8＋2＝10(两)，男不加得8(两)。
用方程解此题，设男得赏赐库金x两，则子得x＋2两，侯得x＋5两，公得x＋9两，王得x＋14两；21x＋18(x＋2)＋15(x＋5)＋12
(x＋14)＝16&59＋1，解得x＝8。所以有男得8两；子得10两；侯得13两；公得17两，即一斤一两；王得22两，即一斤六两。
今有十等人大官甲等十人。宫赐金依次差降之。上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中央三人未到者，亦依等次更给。问各得金几何及未到三人复应得金几何。
答曰：甲一斤七十八分之三十三，乙一斤七十八分之二十六，丙一斤七十八分之十九，丁一斤七十八分之十二，戊一斤七十八分之五，己七十八分之七十六，庚七十八分之六十九，辛七十八分之六十二，壬七十八分之五十五，癸七十八分之四十八；未到三人共得三斤七十八分之十五。
术曰：以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分所持金数为下率，二率相减余为差实，并先后入人数而半之，以减凡人数余为差法，实如法而一得差数并一二三以差数乘之以减后入人数分所持金数余，以后入人所持金数而一；又置十人减一余，乘差数并之，即第一人所得金数。以次每减差数各得之矣。并中央未到三人得应持金数。
【注】此题的意思是：宫廷将黄金依次按照等差赏赐给甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十位官人，前面的三人甲、乙和丙先进来，共领到金四斤之后，便带出门了；后面的四人庚、辛、壬、癸也按照所应领到的金三斤之后，带出门去；中间的三人丁、戊、己尚未到，也按照应分得的数量留给他们。问这十人各得金多少，并问未到三人应得金多少。
此题是有一等差数列a1，a2，…，a10，已知其前3项之和为4；最后4项之和为3，求各项以及中间3项之和。
在这里张丘建给出了求公差、总和、项数的一般步骤，说明至迟在公元五世纪，中国数学已具备了系统的等差数列的理论。
按照“术文”，本题解法中“以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分别持金数为下率。二率相减，余为差实。并先后入人数而半之，以减凡人数，余为差法。实如法而一，得差数。”就是求出公差。
(十九)今有圆材径头二尺一寸，欲以为方，问各几何。
答曰：一尺五寸。
臣淳风等谨按：开方除之为一尺四寸二十五分寸之二十。
术曰：置直径尺寸数以五乘之为实，以七为法，实如法而一。
【注】此题的意思是：要把一根截面的直径为二尺一寸的圆木做成截面为正方形的方梁，求截面的边长。按照术文，解法是21寸&5&7＝15寸。按照勾股定理212&2，然后开方应当是14.84924寸。李淳风给出的答案是按照九章算术提到的开平方术答案为14
＝14.8寸。
此题给出的答案是以正方形边长与对角线之比是“方五斜七”为依据的。就是说等边直角三角形的边长为5，则其斜边为7。
(二十)今有泥方一尺欲为弹丸，令径一寸，问得几何。
答曰：一千七百七十七枚九分枚x之七。
术曰：置泥方尺数再自乘，以十六2乘之为实，以九为法，实如法得一。
【注】此题的意思是：今有一尺见方的泥块，能做成直径为一寸的泥球多少个。据题意泥块的体积是1000立方寸；弹丸数为。
(二十一)今有客不知其数，两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘。问客及盘各几何?
答曰：客三十人；十三盘。
术曰：以二乘少盘，三乘长盘，并之为盘数，倍之又以二乘少盘数增之得人数。
【注】这是盈不足问题。按照术解，盘数是2&2＋3&3＝13，人数是13&2＋2&2＝30。若列方程解此题解得x＝30；y＝13。
(二十二)今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月日织九匹三丈。问日益几何。
答曰：五寸二十九分寸之十五。
术曰：置今织尺数，以一月日而一，所得，倍之。又倍初日尺数，减之，余为实，以一月日数初一日减之，余为法，实如法得一。
【注】此题的意思是：今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，已知第一日织5尺，经一月30天，共织390尺（1匹＝4丈，1丈＝10尺，1尺＝10寸）；问每天多织多少？
术解：将现在的织数除以每月的日数30，再乘2。再把第一天的尺数乘2，被前面的数去减。把这两者之差作被除数。将一月的天数减一30－1＝29作除数，即得。
这是等差数列，已知首项a1＝5，项数n＝30；前30项的和是S30＝390；求公差。
(二十三)今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。
问织几何？
答曰：二匹一丈。
术曰：并初末日尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。
【注】题目的意思是：有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？
按照古制1匹＝4丈，1丈＝10尺，所以，90尺＝9丈＝2匹1丈。
　　答：织布数量总共是2匹1丈。
《张丘建算经》的算法是把这位女子从第1天到第30天所织的布，都加起来，然后再倒过来写，两式相加再除以2而得到的。
(二十四)今有绢一匹买紫草三十斤，染绢二丈五尺；今有绢七匹，欲减买紫草，还自染余绢。问减绢、买紫草各几何？
答曰：减绢四匹一丈二尺十三分之四；买草一百二十九斤三两一十三分两之九。
术曰：置今有绢匹数，以本绢一匹尺数乘之为减绢实；以紫草三十斤乘之为买紫草实；以本绢尺数并染尺为法；实如法得一。其一术盈不足为之亦得。
【注】紫草是一种天然染料。此题的意思是：用一匹绢能买紫草30斤；30斤紫草能染25尺绢；现有7匹即28尺绢，准备去买紫草来染剩下的绢。问要拿出多少绢去买紫草，买多少斤紫草。
(二十五)今有生丝一斤练之折五两，练丝一斤染之出三两；今有生丝五十六斤八两七分两之四，问染丝几何。
答曰：四十六斤二两四百四十八分两之二百二十三。
术曰：置一斤两数以折两数减之余乘今有丝斤两之数；又以出两数并一斤两数乘之为实，一斤两数自乘为法，实如法得一两数。
&(二十六)今有铁十斤，一经入炉得七斤；今有铁三经入炉得七十九斤一十一两，问未入炉本铁几何。
答曰：二百三十二斤五两四铢三百四十三分铢之二百八十四。
术曰：置铁三经入炉得斤两数，以十斤再自乘乃乘上为实，以七斤再自乘为法，实如法而得一。
【注】此题的意思是：将10斤生铁投入炉中冶炼一次能得7斤稍纯净一点的熟铁。现有生铁若干斤，经三次入炉冶炼，得熟铁79斤11两。问在未入炉冶炼之前，原有生铁多少斤？
这里说的古代斤两铢之间的关系是1斤＝16两，1两＝24铢。术文中的自乘指三次方。
&(二十七)今有丝一斤八两直绢一匹，今持一斤裨钱五十得绢三丈，今有钱一千，问得绢几何？
答曰：一匹二丈六尺六寸大半寸。
术曰：置丝一斤两数以一匹尺数乘之，以丝一斤八两数而一所得以减得绢尺数，余以一千钱乘之为法，除之得七百五文余十七分钱之十五。合前问。
【注】此题的意思是：丝1.5斤可以换成绢帛40尺，用1斤丝另加钱50能换来丝绢30尺，现在有钱1000能换来绢帛多少？答案是6丈6尺六又三分之二寸。
　　从此题可以看出，当时商品交换仍处于以物易物的阶段，绢帛在很大程度上行使货币的职能。
(二十八)今有甲贷乙绢三匹约限至不还匹日息三尺，今过限七日，取绢二匹，赏钱三百，问一匹直钱几何？
答曰：七百五钱十七分钱之十五。
术曰：以过限日息尺数减取绢匹尺数余为法，以赏钱乘一匹尺数为实，实如法而一。
【注】此题的意思是：甲从乙处借贷丝绢3匹，约定到期不还，日息3尺，现超期7日交付贷方利息2匹，贷方又找回借方钱300。问1匹绢值多少钱。
(二十九)今有金方七、银方九，秤之适相当。交易其一，金轻七两。问金、银各重几何？
答曰：金方重十五两十八铢；银方重十二两六铢。
术曰：金银方数相乘，各以半轻数乘之为实；以超方数乘金银方数各自为法，实如法而一。
【注】1斤＝16两，1两＝24铢。此题的意思是：黄金7立方寸和白银9立方寸的重量相同。把1立方寸白银和1立方寸黄金交换之后，黄金6立方寸加上白银1立方寸比白银8立方寸加上黄金1立方寸的重量轻7两。问金、银各重多少。
《九章算术》和《孙子算经》都说黄金1立方寸重一斤即16两；《孙子算经》说白银1立方寸重14两。
黄金比重：九章算数(西汉)中黄金比重(g/cm3)为19.63，而孙子算经(晋)中为16.83，张丘建算经(南朝)中黄金比重为15.68g/cm3，今测值为19.32。
白银比重：孙子算经中为14.37，张丘建算经中为11.98，今测值为10.49。
这是由于西汉1寸≈2.325cm，晋1寸≈2.44 cm，南朝1寸≈2.5
cm，西汉1斤≈246.66克，晋和南朝1斤≈244.61克。
(三十)今有器容九斗，中有米不知其数，满中添粟舂之，得米五斗八升，问满粟几何？
答曰：八斗。
术曰：置器容九斗，以米数减之，余以五之二而一，得粟斗数。
草曰：置九斗以五斗八升减之得三斗二升，以粟数五因之得一石六斗，以糠率二斗除之得八斗为粟。合前问。
【注】此题的意思是：一容器的容量是9斗，里面原来有一些加工去糠的粝米；用粟米(谷子)把它添满，添上去的粟米加工成的粝米，连同原有的粝米共5斗8升，问添上的粟米是多少？
&(三十一)今有七百人造浮桥九日成，今增五百人，问日几何？
答曰：五日四分之一。
术曰：置本人数，以日数乘之为实；以本人数今增人数并之为法；实如法而一。
【注】此题的解法是：700&9&(700＋500)
(三十二)今有与人钱。初，一人与三钱；次，一人与四钱；次，一人与五钱；以次与之，转多一钱。与讫还敛聚与均分之人，人得一百钱。问人得几何？
答曰：一百九十五人。
术曰：置人得钱数以减初人钱数，余倍之，以转多钱数加之，得人数。
【注】此题的意思是：现在要发给一些人钱，给第一个人钱3，给第二个人钱4，此后每人加钱1；把钱分完之后，再收回来平均分配，这时每人得钱100。求人数。
按照术解为：人数为：(100－3)&2＋1＝195(人)。
用现在的数学语言解释，这是一个等差数列，a1＝3，a2＝4，…；这里的“转多一钱”就是公差d＝1，项数(人数)为n，S＝100
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