如图①所示是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用一个剪刀平均分成四个小长方形，然后按照图②的方式拼成一个长方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于a-b．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．
方法一：（a-b）2方法二：（a+b）2-4ab
（3）观察图②，你能写出（a+b）2、（a-b）2、ab这三个代数式之间的等量关系式吗？
（4）根据上式中的等量关系，解决下列问题：若a+b=6，ab=8，求（a-b）2的值．
解：（1）根据图形可观察出：边长为a-b；
故答案为：a-b；
（2）①小正方的边长为a-b，面积可表示为：（a-b）2，大正方形的面积为：（a+b）2，四个矩形的面积和为4ab，所以小正方形面积可表示为：（a+b）2-4ab；
故答案为：（a-b）2，（a+b）2-4ab；
（3）能；由分析得：（a-b）2=（a+b）2-4ab；
（4）由（2）很快可求出（a-b）2=（a+b）2-4ab=62-4×8=4．
（1）观察图形很容易得出图②中的阴影部分的正方形的边长等于a-b；
（2）①求出小正方形的边长，②运用大正方形的面积减去四个矩形的面积．
（3）观察图形可知大正方形的面积（a+b）2，减去阴影部分的正方形的面积（a-b）2等于四块小长方形的面积4mn，即（a+b）2=（a-b）2+4ab；
（4）由2很快可求出（a-b）2=（a+b）2-4ab=62-4×8=4．有人说，无论x取何实数，代数式x²+y²-10x+8y+45的值总是整数，你的看法如何？请谈谈你的理由。_百度知道
有人说，无论x取何实数，代数式x²+y²-10x+8y+45的值总是整数，你的看法如何？请谈谈你的理由。
大家最好写详细一点，写的详细+5分
-10x+8y+45=x^2+y^2-10x+8y+45=x^2-10x+25+y^2+8y+16+4=(x-5)^2+(y+4)^2+4无论x.不能总是整数（xx²+y&sup2，上式都大于4、y取何值
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(y+4)²-10x+8y+45＝4;≥0所以(x-5)&sup2，其它条件下值总大于4;+(y+4)²-10x+25+y²+y²+8y+16+4=(x-5)²+4因为(x-5)²+y&sup2x&sup2，x²+y²+(y+4)²+4≥4代数式x²-10x+8y+45≥4即仅当X=5且y＝－4时;-10x+8y+45=x²≥0
[提问者采纳]
是x^2+y^2-10x+8y+45 我不会做。。。
x^2+y^2-10x+8y+45 =(x-5)^2+(y+4)^2+9&=9&0代数式x²+y²-10x+8y+45的值总是正数
x²+y²-10x+8y+45=x²-10x+25+y²+8y+16+4=(x-5)²+(y+4)²+4因为(x-5)²≥0，(y+4)²≥0所以(x-5)²+(y+4)²+4≥4所以代数式x²+y²-10x+8y+45的值总是正数
你就配方：（x-5）平方+（y+4）平方+4大于等于1
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新人教版小学数学五年级上册教材分析
人教版《义务教育实验教科书数学（五年级上册）》介绍 人民教育出版社、 课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心研制出版的 《义务教育教科书 数学（一～六年级）》是《义务教育课程标准实验教科书 数学（一～六年级）》（以下简称实验教 材）经修订后形成的一套新教材。实验教材以《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简 称《标准（实验稿）》）的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结以往九年义务教育小学数学 教材研究和使用经验的基础上编写的。实验教材从 2001 年秋季开始使用，经过国家级实验区和省级 实验区实验使用证明，这是一套我国城乡广大地区普遍适用的小学数学教材。从 2011 年 7 月开始， 实验教材的编写者根据新颁布的《义务教育数学课程标准（2011 版）》 （以下简称《标准（2011）》） 对实验教材进行了全面而系统的修订，形成了《义务教育教科书数学（一～六年级）》，于 2013 年 3 月全部通过国家基础教育课程教材专家工作委员会的审查，并已于 2012 年秋季开始陆续替换实验 教材。 这套教材的实验教材是以《标准（实验稿）》的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结以 往九年义务教育小学数学教材研究和使用经验的基础上进行设计的。在使用十年后，2012 年在总结 10 年实验与使用经验的基础上，根据《标准（2011）》提出的新要求，广泛听取并吸收小学数学教 师和教研人员的意见和建议，对实验教材进行了系统、细致的修订。通过教材的修订，我们期望使本 套小学数学教材的内容质量得到全面提升，体现数学的价值，体现时代精神与科技进步，渗透社会主 义核心价值体系。使教材结构更为科学合理，符合学生学习数学的认知规律，减轻学生课业负担，增 强学生学好数学和会用数学的信心，获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、 基本技能、基本思想和基本活动经验，初步形成发现、提出、分析和解决数学问题的能力。使教材的 风格和特色更加鲜明，将数学学科体系严谨性与学生自主学习的开放性有机结合，更好地促进教育教 学活动，初步培养学生严谨求实又勇于探索创新的科学精神，更加符合实施素质教育的要求。使教材 的版面设计清爽美观，图文并茂配合切当，装帧精美，文字准确并适合于小学生阅读。 修订后的教材，既具有原实验教材的主要特点，同时又呈现出一些新的特色。 1．改进小数乘、除法计算的编排，体现计算教学改革的理念，培养学生的数学素养。 小数四则计算在实际生活中以及进一步学习中都有着广泛的应用，是小学阶段需要掌握的基础 知识和基本技能。本册教材安排了小学乘法和小数除法。这两部分内容的计算教学，知识容量大，具 体的计算过程比较复杂，所以它们既是本册教学的重点内容，也是难点内容。这次修订，教材的编排 结构变化不大，但在编排思想上更加注意体现《标准（2011）》中关于计算教学改革的基本理念，主 要有这样一些特点。 （1）淡化小数乘、除法意义的教学。 小数实质上是十进分数，要理解小数乘、除法的意义，应从分数乘、除法的意义入手，按理小 数乘除法应在分数乘除法的基础上教学。但由于分数乘法的算理较难理解，考虑到学生年龄特点和认 知水平，教材一般是先教学小数乘法，再教学分数乘法。且小数乘法是转化为整数乘法来计算的，其 计算方法的推导与小数乘法的意义联系不大， 而小数除法的意义可以按整数除法的意义来理解。 故此， 教材淡化了小数乘、除法意义的教学，把重点放在计算的算理和方法的总结上。 （2）结合“十进制”的计量单位，帮助学生理解小数乘、除法的算理。 小数乘法是利用积的变化规律转化为整数乘法来计算的，小数除法是以除数是整数的小数除法 为基础，把除数是小数的除法通过商不变的性质转化为除数是整数的小数除法来计算的。也就是说， 小数乘除法在计算时，都需要将小数转化为整数，而小数与整数有着密切的联系，借助“十进制”计 量单位，可以将小数转化为整数。因此在教学小数乘、除数时，教材利用人民币、长度单位，同时结 合整数乘法的意义和小数的意义，沟通小数乘除法与整数乘除法的联系，为学生理解算理提供感性支 撑。例如，教学小数乘整数时，通过解决“蝴蝶风筝每个 3.5 元，买 3 个多少钱”的问题，在探索如 何计算 3.5×3 的过程中,着重说明可以将元转化为角,把小数乘整数转化为整数乘整数来计算，为后面利用因数的变化规律把小数乘法转化为整数乘法提供了依据。 再如， 教学除数是整数的小数除法时， 教材利用长度单位千米、米之间的关系，同时结合小数的意义，帮助学生理解算理，探索“商的小数 点”的定位方法。 （3）重视计算法则的概括总结。 计算法则是对计算步骤的提炼和概括。表述准确、规范、精炼的法则，有利于学生准确把握计 算法则的内涵，掌握计算方法。尤其是对学习有困难的学生，法则的呈现会更有利于他们自主复习， 逐步领悟计算方法和算理。因此，与整数乘除法教学相同，小数乘、除法，也是在学生理解了算理， 并用自己的语言对算法进行个性化解读的基础上，逐步完成对运算程序与步骤的文本概括的。 2. 简易方程的教学编排，遵循学生的认知特点，渗透代数思维的培养。 本册教材在“简易方程”单元正式教学有关代数的初步知识。从算术到代数是人们对现实世界的 数量关系认识的一次飞跃， 也是数学思想方法的一次突破。 在小学阶段让学生学习一些代数初步知识， 学习用代数的方法解决问题，不仅有助于巩固和加深理解所学的算术知识，同时可以促进抽象逻辑思 维能力的发展，使学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，以及思维的灵活性提高到一个新的 水平。 具体在编排上，体现出以下一些特点。 （1）重视用字母表示数量关系的教学。 用代数式表示数量关系，即根据数量关系的陈述写出代数式，这是进一步学习代数知识的基本技 能。对小学生来说，受以往学习习惯、思维方式的影响起初会有一些困惑。因此，为了突破难点，保 证基础，教材加强了用字母表示数的教学。除了原有的两个例题之外，还增加了两个例题，学习表示 稍复杂的数量关系，如，a-bx、ax+bx 等，相应地还增加了一个练习。同时，还加强了代入求值的教 学，使学生不断看到，用含字母的式子既可以表示数量关系，又可以表示一个量，当用一个合适的数 代替字母并求值，就得到了一个具体的数。从而帮助学生逐步感悟、适应字母代数的特点。 （2）以等式的基本性质为解方程的依据。 过去，在小学阶段教学简易方程，方程变形的主要依据是四则运算各部分间的关系。这实际上是 用算术的思路求未知数。这样的教学利用了学生已有的知识，因而易于理解，但却不易于与中学代数 教学的衔接，这种思路及其算法掌握的越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。根据《标准 （2011）》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。不仅有利于 改善和加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生代数思维习惯的培养。 （3）突显利用等式基本性质解方程的优势。 引进等式基本性质作为解简易方程的依据后，利用等式基本性质解方程的优越性变显现出来了。 例如，解形如的方程，都可以归结为，等式两边减去与加上，得与；解形如与的方程，都可以归结为， 等式两边除以与乘上，得与。这样解决方程显然比原来依据逆运算关系解方程，思路更为统一。 （4）加强列方程解决实际问题的教学，适当分散难点。 原实验教材将解方程的教学与列方程解决实际问题的教学，结合在一起编排，这样处理，虽然有 利于让学生感受从数学抽象到数学应用的完整过程，但容易出现难点集中的弊端。这一弊端已在实践 中有所显现。因此，为了便于学与教，这次修订，在“解方程”这部分内容中，方程没有刻意一一从 现实情境引出；而且解方程的过程，充分借助实物直观、几何直观，发挥数形结合的优势，帮助学生 理解方程变形、求解的过程。待学生有了一定的解方程基础后，在“实际问题与方程”这部分内容中， 再由实际问题引入前面没有出现过的方程。这样处理，两部分内容各有侧重，既分散了教学的难点， 又关注了数学知识与现实世界的联系，有利于提高教学的有效性，切实加强数学应用意识的培养。 3．提供丰富的图形与几何的教学内容，注重动手实践与自主探索，促进学生空间观念的发展。 本册图形与几何的教学内容，主要是 “多边形面积的计算”。“位置”对于学生并不陌生，在生活中他们已经能用“第几” “第几排第几个”确定物体的位置。 本册教材主要是在学生已有认知经验基础上， 教学在具体情境中用数对表示物体的位置或在方格纸上 用数对确定位置， 进一步提升学生的已有经验， 培养学生的空间观念，为第三学段学习 “图形与坐标” 的内容打好基础。教材在编排时，注意结合学生已有的认知经验，学习新知。如，结合学生已有的用 “第几组第几个”描述实际情境中物体的位置的经验，引入新知，及时将学生已有的确定物体位置的 经验进行提升，将具体经验数学化，帮助学生理解用数对确定位置的方法。同时还注意提供丰富的生 活情境和活动素材，帮助学生掌握用数对确定物体位置的方法。教材一方面呈现丰富的生活情境和现 实素材，巩固用数对确定位置的方法。如提供中药房里中药呈放的情境、国际象棋，让学生练习确定 物体的位置；还在“生活中的数学”中介绍了在围棋盘上用 19 条横线和 19 条纵线确定棋子位置，以 及在地球上用经线和纬线确定地点位置等确定位置方法的实际应用，拓展了学生的视野。另一方面， 在练习中，注意为学生提供综合运用知识解决问题的机会。如练习一的第 7 题，让学生用数对确定图 形平移后顶点所在的位置；第 8 题联系方位的知识，让学生根据图上的数据描述建筑物的实际方位及 行走路线。帮助 学生在综合应用所学知识解决问题的过程中，加深对用数对确定位置方法的理解， 体会数学知识之间的联系，培养空间相像能力。 “多边形面积”单元，主要教学平行四边形、三角形和梯形的面积计算。在编排上有这样一些 特点。 （1）运用转化思想，根据图形间的内在联系推导面积计算公式。 多边形的面积计算，是在认识了三角形、平行四边形和梯形的特征，并掌握了长方形、正方形面 积计算的基础上教学的。在教学面积计算公式时，是以长方形面积计算为基础，以图形间内在联系为 线索，以未知转化为已知的基本方法进行推导。如将平行四边形转化为长方形、三角形转化为平行四 边形、梯形则转化为平行四边形或三角形，这样根据转化前后两种图形的内在联系，由已知图形的面 积公式导出未知图形的面积公式。这样通过本单元的教学，学生探索并体会了所学各种图形的特征、 图形之间的关系，图形之间的转化，还体验了图形的平移、旋转以及转化的数学思想方法，促使空间 观念得到进一步发展。 （2）加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程。 首先，每种图形面积计算方法的教学，均采用让学生动手实验，自主探索得到。例如，平行四边 形的面积，是先借助数方格的方法得到；再引导学生通过剪、拼图形，将平行四边形转化为长方形， 推导出平行四边形的面积计算方法。其次，按照知识学习的先后顺序，逐步提高探索的难度和要求。 三角形的面积就直接让学生试着转化为已学的图形推导出计算公式。到梯形面积计算时，要求学生综 合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。第三，研究每一种图形面积的计算方法时，教材均没给 出推导过程， 以便于学生从多种途径探索， 自己得出结论， 从而给教师和学生都留以较大的探索空间。 （3）在解决实际问题中，渗透估测意识、策略。 在生活实际中，经常会接触到不规则图形，它们的面积无法直接用面积公式计算。那么如何估 测它们的面积呢？教材安排了借助方格纸估计不规则图形（树叶）面积的内容，培养学生估测的意识 和解决实际问题的能力。在估测的过程中， 体会到： 一， 估测最重要的是要确定一个适合的测量标准， 然后利用这个测量标准去估计。比如，估计学校到家的路程，可以借助步长、单位时间走的距离或者 自己熟悉的一个长度等作为参照来估计。 这里不规则图形的面积估算， 同样也要找到一个度量的标准， 根据树叶的大小， 教材选择了每个小方格面积为 1cm 的方格纸， 引导学生借助方格纸估计树叶的面积。 二，根据图形的不同特点，可以采用不同的估计策略。如这里既可以用数方格的方法，还可以将不规 则图形近似看作为规则图形来估计面积。 4．提供丰富的素材，促进学生不确定现象和可能性大小的体验。 “可能性”原实验教材安排在三年级上册，让学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些则 是不确定的， 知道事件发生的可能性是有大小的。 但实践表明， 低年级学生对不确定现象理解有困难， 教学设计与实施有很大难度。鉴于此，这次修订，根据《标准（2011）》对这部分内容的调整，教材2将可能性的教学移到第二学段本册，同时选取学生熟悉的生活情境作为教学素材。如“联欢会上抽签 表演节目” 让学生体验不确定现象，设计了学生感兴趣的摸棋子试验活动（例 2、例 3），使学生初 步了解现实世界中存在着的不确定现象，并逐步知道事件发生的可能性有大有小。不确定现象是这部 分内容的一个重要研究对象，从不确定现象中去寻找规律，这对学生来说是一种全新的观念。如果缺 乏对随机现象的丰富体验，学生较难建立这一观念。因此，教科书中设计了多种不同层次的、有趣的 活动和游戏。如摸棋子、涂色、抛硬币、掷骰子等。通过创设这些具有启发性的问题情境，使学生在 大量观察、猜测、试验与交流的数学活动中，逐步丰富对不确定现象和可能性大小的体验，经历形成 新的观念、理解新的知识的过程。 5．渗透数学思想方法，让学生感受并体验数学思想方法在解决问题的作用。 本册 “数学广角” 主要是通过解决简单的植树问题， 让学生体会一些解决问题的策略和思想方法， 如化繁为简，数形结合、模型思想等，同时学习用这样的思想方法解决一些简单的实际问题。在编排 时，教材提供了丰富的题材来帮助学生学习方法，体会思想。如除了研究直线上的植树问题外，教材 还新增了封闭曲线上的植树问题。同时在“做一做”和练习中增加了“每两棵梧桐树中间栽一棵银杏 树”“马拉松比赛设置饮水点”“项链上的水晶”等实际问题。使学生通过解决这些生活中的事例， 初步体会解决植树问题所涉及一些思想方法，同时感受这种方法在解决实际问题中的应用。以培养学 生在解决实际问题中探索规律、建立数学模型、找出解决问题的有效方法的能力。 这册教材包括下面一些内容：小数乘法，小数除法，简易方程，位置，多边形的面积，可能性， 数学广角和综合与实践主题活动等。其中小数乘法，小数除法，简易方程，多边形的面积是本册教材 的重点教学内容。 （一）数与代数 第一单元 第二单元 第五单元 第二单元 第六单元 第四单元 第七单元 掷一掷 下面按教材的顺序就每一单元的内容做一个简要的介绍。 第一单元 一、教学内容 1．小数乘法的计算方法。 2．积的近似值。 3．整数乘法运算定律推广到小数。 4．解决问题。 和原实验教材相比，变化有： 一是，引导学生概括总结小数乘法的计算法则，例 3 后增加概括 总结法则的活动，给出不完整的计算法则文本。二是， 不再安排有关小数乘法的两步运算例题，直 小数乘法 小数乘法 小数除法 简易方程 位置 多边形的面积 可能性 数学广角DD植树问题（二）图形与几何（三）统计与概率 （四）数学思想方法 （五）综合与实践接迁移应用到小数四则运算。三是，增加运用小数乘法解决实际问题的例题，分别是估算和分步计费 的实际问题。 二、教学目标 ⒈使学生理解和掌握小数乘法的算理和计算方法，能正确地进行小数乘法的计算和验算。 ⒉使学生会用“四舍五入”法截取积（小数）的近似值。 ⒊使学生理解整数乘法运算定律对于小数同样适用，并会运用这些定律进行小数乘法的简便运 算。 ⒋让学生在解决有关小数乘法的简单实际问题过程中，理解估算的意义，初步形成估算意识， 提高问题解决的能力。 ⒌让学生经历自主探索小数乘法计算方法、理解算理和解释算法的过程，体会转化的数学思想， 初步培养学生学习的迁移能力和推理能力。 三、编排特点 1．选择“进率是十的常见量”作为学习素材，引入小数乘法的学习。 对于五年级学生的生活经验而言，“元、角、分”“吨、千克、克”“米、分米、厘米”是他们 熟悉的计量单位。根据学生已有的这些知识基础，教材从丰富多彩的校内外活动中，选择“买风筝” （与元、角有关）“刷油漆”（与米、分米和千克、克有关）的活动为背景，引入小数乘法的学习。 这样的学习背景，不但能激发学习兴趣，而且能促成学生利用常见的计量单位之间的十进关系，顺利 沟通小数乘法与整数乘法的联系，利于学生将新知纳入已有的认知系统中。 2．应用转化和对比的方法，概括小数乘法的计算方法。 小数的书写方式、进位规则均与整数相同，所以，教材紧扣两者的密切联系，引导学生： ①用转化的方法，将小数乘法转化为整数乘法。 ②用对比的方法，处理积中小数点的位置问题。教材在例 3 的“做一做”后，采用对比的方法， 引导学生分别观察因数和积中小数的位数，找出它们之间的关系，然后利用这一关系，准确找到积中 小数点的位置。 ③帮助学生按一定顺序概括小数乘法的一般计算方法。教学例 3 和“做一做”之后，在让学生讨 论、 归纳的基础上， 引导学生自主、 有序地概括出小数乘法的计算方法。 教材以记录讨论结果的形式， 呈现不完全的计算法则的文本，让学生在理解的基础上叙述或填写法则的关键词。这样，既可以让学 生了解计算法则的来源，理解其含义，防止死记硬背法则条文，又起到促进学生对具体计算案例的特 点进行总结、归纳、抽象、概括的作用，获得对小数乘法的意义的体会和理解，教给学生探索、总结 规律的数学学习方法。 ④突破小数乘法中的难点问题。例４教学小数乘法中的难点问题：所得的积的小数位数不够，要 在前面用 0 补足，再点小数点。 四、具体内容 （一）小数乘整数 1．例 1：结合具体量，教学小数乘整数。 为什么要结合具体量呢？一方面，因为结合具体量（人民币单位），可以利用人民币单位间的 十进关系，沟通小数乘法与整数乘法的联系。另一方面，为理解“小数乘整数”的算理提供感性支撑。 教材这里呈现来学生不同的计算方法，重点要说明的是将元转化为角的方法，使学生明确是把小数乘 整数转化为整数乘整数来计算。 教学时，可引导学生提出买风筝计算钱数的问题。然后先解决书上女孩想要解决的问题。放手让 学生利用自己已有的知识和经验解决，重点说明将元转化为角的方法。在此基础上，解决其他买风筝 的问题。 2．例 2：脱离具体量，教学小数乘整数有了例 1 的感性经验， 这里脱离具体量， 用因数与积的变化规律说明将小数乘整数转化为整数乘 法的理由。 教材通过图示呈现转化的过程，帮助学生理解。 （原来转化的过程中是说扩大到它的多少倍，缩 小到它的多少分之一。本次教材修订在因数和积的变化规律中，是利用乘几除以几进行说明，到了小 数点移动引起小数大小变化的规律中说明：乘几就是扩大到它的几倍，除以几就是缩小到它的几分之 一。因此，教材这里根据因数和积的变化规律转化时，采用的是用乘几除以几的方式。当然老师教学 中也可以用扩大缩小来说明。） 最后说明如果积的小数末尾有 0，根据小数的基本性质，这里的“0”可去掉。 教学时，教师要注意引导学生紧紧抓住例１中的计算经验，特别是将“元”转化为“角”的经验 来学习例 2。先提出 0.72 元×5 你会计算吗？再去掉元，提出 0.72×5 该怎么计算。然后放手让学生 应用已有的整数乘法经验自主计算“0.72×5”，列出竖式，并尝试对过程做出合理的解释。最后应 引导学生小结小数乘整数的竖式计算要点:(1)按整数乘法的规则进行； (2)处理好积中小数点的位置， 因数中有几位小数，积中也应有几位小数；(3)算出积以后，应根据小数的基本性质用最简方式写出 积，积中小数末尾的“0”可去掉。 （二）小数乘小数 1．例 3：小数乘小数。 有了例 2 的计算经验， 这里学生容易想到把第二个因数也转化为整数， 即将小数乘法转化为整数 乘法来计算，故教材直接给出转化和计算的过程。在“做一做”之后，引导学生观察、归纳因数与积 的小数位数之间的关系。为后面总结计算法则作准备。 教学时，可以让学生根据图意列出乘法算式，然后让学生自主尝试计算 2.4×0.8，再组织学生 共同研讨它的竖式算法及算理。 让学生将有代表性的方法展示出来， 并简述其道理。 可能有学生将 “米” 化为“分米”，将小数乘法转化为整数乘法来计算，也可能学生按书上的方法进行计算。教师应引导 学生沟通两种方法的联系，以帮助学生理解“2.4×0.8”的算理。 2．总结计算法则。 在前面学习的基础上，组织学生交流、概括总结出计算法则。 这是教材新的变化， 在提示让学生讨论交流的基础上， 以记录讨论结果的形式呈现不完全的计算 法则文本，让学生补充完整。帮助学生在理解算理的基础上，更好地掌握算法。 3．例 4：难点问题。 教学积的小数位数不够的难点问题。利用小数点移动的变化规律，帮助学生理解要在前面用 0 补足，再点小数点。 这样，通过循序渐近的方式让学生扎实理解和掌握小数乘法的算理算法。 例 1，结合具体量，将小数乘法转化为整数乘法来计算，感受其转化的合理性。 例 2，脱离具体量，引导学生根据因数和积的变化规律转化为整数乘法。 例 3，教学小数乘小数，同样是转化为整数乘法来计算。结合做一做的练习观察，发现积的小数 位数和因数的小数位数之间的关系。 在此基础上，总结出计算小数乘法的一般方法。 例 4，突破小数乘法的难点问题。 层层递进，各有重点，让学生逐渐理解和掌握小数乘法的计算方法。 4．例 5：小数倍。 通过“非洲野狗追赶鸵鸟”有趣情境引出，使学生知道利用小数也可以表示两个数量间的倍数关 系。并且领会有时 “用小数倍表示两个数量间的关系”比较直观。然后再计算。 接下来，由检验计算是否正确，提出验算要求，培养验算习惯。对于验算方法不作统一规定，教材呈现了三种，一种是“把因数的位置交换一下，再乘一遍。” 二是“用计算器验算。”三是观察法，借助前面的学习经验，因为第二个因数大于 1，所以积一定大 于第一个因数，所以答案 7.28 是错的。这里学生只要会用合适的方法验算就行。 教学时，结合本例让学生领悟有时“用小数倍表示两个数量间的关系”比较直观。可请学生说一 说“鸵鸟的最高速度是非洲野狗的 1.3 倍”中“1.3 倍”的含义。验算的引入，既可直接由检验书上 女孩的计算引出，也可由检查自己的计算引出。教材对如何验算不作统一要求。 （三）积的近似值 1．例 6：取积的近似值。 创设一个“狗帮助人们抓坏蛋”的情境，通过计算使学生认识到：在解决实际问题时，当积的小 数位数比较多时，有时不需要保留那么多的小数位数，只要根据实际需要求出积的近似数就可以了。 求积的近似数所用的方法同求一个小数的近似数的方法完全相同。因此，本例教学前，可组织学 生做适当的练习，让他们回忆求一个小数的近似数的方法，为自主求积的近似数作好准备。 （四）整数乘法运算定律推广到小数 1．推广。 原来安排有例题专门教学小数乘法的两步运算来说明运算顺序。事实上，运算顺序跟数域无关， 不管是整数也好，小数也好，包括后面学习的分数，运算顺序都是一样的。所以，教材这里直接说明 小数四则混合运算的顺序和整数一样，让学生直接进行知识的迁移类推。 教材结合具体算式说明整数乘法运算定律对于小数乘法同样适用。分两个层次编排： ①给出三组算式，让学生观察、计算，找出每组中两个算式的关系。 ②用归纳的方法类推出“整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。” 通过这两个层次的活动，逐步培养学生合情推理的能力。 2．例 7：乘法运算定律的应用。 教材通过乘法运算定律的应用，一方面，让学生应用乘法运算定律进行简便运算，体会运算的简 便性。另一方面，进一步加深对运算定律的理解。 教学中， 注意在复习整数乘法运算定律的基础上进行教学。 因为整数计算中学生已有了应用乘法 运算定律进行简便运算的基础，这里可以引导学生类推。同时注意加强对乘法分配律应用的教学。因 为乘法分配律的应用有正方两个方面，学生容易出错。如，练习第 4 题“1.5×105”和“1.2×2.5 ＋0.8×2.5”都要运用乘法分配律进行简算，“1.5×105”是乘法分配律正向应用，而在“1.2×2.5 ＋0.8×2.5”是乘法分配律的逆向应用。 （五）解决问题 教材新增两个解决问题的例题，分别是估算和分段计费的实际问题。一方面巩固小数乘法的计 算；另一方面进一步培养学生应用数学解决实际问题的能力。 1．例 8：估算。 创设超市购物的情境， 通过适合的问题背景， 体会估算在解决实际问题的应用。 教学中注意两点： 一是教给学生阅读理解的方法。让学生体会当信息和数据比较多时，借助表格来整理，可以使信息和 数据更清晰、 直观， 能帮助我们更好地分析数量关系。二是培养学生估算意识， 体会估算的不同策略。 让学生根据数据和问题灵活选择算法，像这类够不够的问题，可以用估算解决。估算时，要根据实际 数据选择适当的估算策略。 比如， 第一个问题，是通过把钱数估大， 发现都不超过 100 元来判断够的。 第二个问题，是通过把钱数估小，发现都已经超过 100 元来判断不够的。 2．例 9：解决分段计费的实际问题。 解决分段计费问题的关键是理解题意。这里要解决“要付多少钱”，就必须知道行驶里程和收 费标准。而收费标准重点要让学生理解两点：一是分段计费；一是 3 千米以上，不足 1 千米按 1 千米 计算（也就是按“进一法”取整数）。教学时，可以采用摘录条件的方法帮助学生理解(如下图)。同 时，分段计费的问题就是分段函数的问题。通过学习，让学生初步体会一一对应思想和函数思想。如填好价格表后，引导学生观察，思考行驶里程与出租车费之间的联系及它的变化情况。有条件的可以 借助图示进一步体会分段计费问题的特点。需要注意地是，画图时不能直接在方格纸上描点连线，因 为行驶的里程数要取整数来计算。五、教学建议： 1．重点引导学生用转化的方法学习小数乘法。 由于小数乘法与整数乘法之间有着十分密切的联系，因此，教学时应紧紧抓住这种联系，帮助学 生将未知转化为已知。如，例 2 教学“0.72×5”时，引导学生思考：“能不能转化为整数来计算？” 引导学生经历将未知转化为已知的学习过程，同时获得用转化的思想方法去探究新知的本领。 2．指导学生对小数乘法的算理作出合理的解释，提高简单的推理能力。 本单元学习过程中，学生感到困难的不是小数乘法计算方法的掌握，而是对算理的理解和表述。 因此，教学时应给学生提供充分的思考、交流的机会，帮助学生对计算过程作出合理的解释。重点是 引导学生从积与因数的关系出发，强调转化的思想、方法。如，例 3 教学“2.4×0.8”时，应引导学 生说出将因数 2.4 和 0.8 转化成整数，因数分别扩大到原来的 10 倍，相应的积 192 就扩大到原来的 100 倍，所以要缩小到原来的，也就是 1.92。在理解算理的基础上，引导学生讨论、交流，会正确表 述，能正确计算。 3．组织学生讨论、归纳小数乘法的计算方法。 本单元教材重视引导学生讨论、 归纳小数乘法的计算方法。 在组织学生自主总结小数乘法计算方 法时，要特别突出两点。一是转化的方法，将小数乘法转化为整数乘法来算；二是小数点的处理，也 就是利用因数和积的大小关系来确定小数点的位置。 第二单元 一、教学内容 用数对确定物体的位置。 本单元内容由原六年级上册移来。 二、教学目标 1．结合具体情境，让学生能用数对（正整数）表示物体的位置。 2. 让学生能在方格纸上用数对表示物体的位置。 3．让学生知道数对与方格纸上的点存在对应关系。 三、编排特点 本单元内容的编排是在学生一年级上册学习了用上、下、前、后、左、右确定位置，三年级下册 学习了用东南西北等词语描述物体方向的基础上，进一步学习用数对确定物体的位置。也为后面进一 步学习“根据方向和距离两个参数确定物体的位置”打下基础。编排上主要有以下几个特点。 1．从实际情境出发，帮助学生掌握用数对确定位置的方法。 学生在生活中已经能用“第几”描述物体的位置，还经历了类似用“第几排第几个”的方式找到 物体的位置，如教室里的座位、电影院的座位等，初步具有用数表示位置的经验。教材充分利用并及 时提升了学生的这些已有经验。例 1 通过呈现确定多媒体教室中学生的座位情境，引出本单元内容的 学习， 借助教师操作台上的学生座位图， 迅速将实际的具体情境数学化， 抽象成在平面图上确定位置， 并帮助学生理解如何用数对确定位置的方法。 2．结合具体情境，初步感知直角坐标系的思想和方法。 结合熟悉的生活情境， 让学生在具体情境中或方格纸上用抽象的数对表示物体的位置， 初步感知 直角坐标系的思想，为后面“图形与坐标”的学习作好铺垫。 位置例如，例 1 学生根据张亮坐在教室的第 2 列、第 3 行用数对（2，3）表示，初步建立与座位示意 图的对应关系，在同样的规则下，再次通过周明坐在教室的第 1 列、第 3 行怎样用数对表示和给出数 对确定位置的活动，加深数对与座位示意图行列的一一对应关系。这样的学习过程有利于学生直观体 会直角坐标系的思想。 例 2 更为直接地呈现了方格纸这一学生熟悉的材料， 其中同样蕴含着直角坐标系的思想， 只不过 没有明确表示出 x、y 轴。不同的是，例 1 中物体的位置相当于方格纸中的每个格子，而例 2 进一步 抽象为一个点，用方格纸上的格点（横线和竖线的交点）来表示。可以说，方格纸是渗透直角坐标系 的有效载体，借助方格纸来学习也是实践直观几何的重要手段。小学几何的学习立足于直观几何，通 过方格纸研究几何图形的有关特点和性质，获得几何活动经验，发展几何直观，逐步培养学生推理的 意识和能力。 四、具体编排 1．例 1：用数对表示具体情境中物体的位置。 学生在生活中已经会用两个数描述位置， 比如第几排第几个等， 这里学习数学上位置的表示方法。 教材呈现的是一个教室，老师的讲桌上有一个座位示意图，哪个学生如果有问题，按一下开关，座位 示意图上的灯就会亮起来。这里编排的层次主要有： （1）明确“列”“行”的含义及一般规则。结合“教师是如何确定张亮的位置”的讨论，使学 生明确：竖排叫做列，横排叫做行；确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后数。 （2）给出数对表示的方法。由小精灵直接给出用数对表示的方法，正是有了前面的规则才能保 证数对表示的唯一性。 （3）明确数的顺序，体会一一对应思想。通过比较王艳和赵雪两位同学的位置进一步明确数对 中两个数是有顺序的。并体会数对和每个人的位置是一一对应的。 2．例 2：在方格纸上用数对确定物体的位置。 教材进一步抽象， 通过方格纸把用数对表示位置的实际问题抽象成用数对表示平面上点的位置的 数学问题，使学生明确如何在方格纸上用数对确定点的位置，感悟数对与物体位置的一一对应关系。 这种方格纸的呈现和数据的表示特点，初步渗透了直角坐标系的思想。 教学中，要注意渗透数形结合思想。如引导学生比较大象馆和海洋馆的位置数对，结合示意图观 察在方格纸上这两个场馆是在同一条横线（行）上，相应的数对有什么特点。提问“如果两个数对中 的第 1 个数相同，这两个场馆的位置有什么特点”，帮助学生初步感受数形结合的思想，加深对方格 纸上用数对确定位置的理解。教学时，还可以根据需要增加一些场馆，或者对数据进行调整。 此外，本单元的练习安排注意体现两方面，一是联系实际。如第 4 题，中药房中根据药方抓药的 场景，进一步让学生用数对表示位置。体会简洁性。二是综合应用。结合前面学习的方向来描述路线 和位置，如第 8 题。也为后面的学习作好铺垫。 四、教学建议 1.充分利用学生已有的生活经验和知识基础，经历用数对表示位置的学习过程。 学生在生活中已经具有大量用数对确定物体位置的经验， 教学中应充分利用这些经验和知识为学 生提供探究的空间，帮助学生将用生活经验描述位置上升为用数学方法确定位置，发展数学思考，培 养空间观念。同时，在“用数对确定位置”的教学过程中应注重学生的自主探究学习，让学生经历表 示物体位置的过程，在比较中发现用数对表示位置的简洁与有效。 2.适时渗透数形结合的思想和方法，感悟数对与位置的一一对应思想。 如练习中的第 7 题，让学生发现图形平移后，位置变了，表示顶点位置的数对也相应的变了，发 现其中的规律。教师在教学中应充分利用这些素材，通过形来研究数的特点，通过数来呈现物体的位 置，在方格纸和用数对表示点的位置的方法之间架起了数与形的桥梁，使学生初步体会数形结合的思 想，并感悟数对和点的位置的一一对应关系。 第三单元 小数除法一、教材内容 1．小数除法的计算方法。 2．商的近似值。 3．循环小数。 4．用计算器探索规律。 5．解决问题。 和原实验教材相比，变化有：一是，引导学生概括总结小数除法的计算法则，例 5 后增加概括总 结法则的活动，出示不完整的计算法则文本。二是，增加循环节的认识。 二、教学目标 1．使学生掌握小数除法的计算方法，能正确地进行计算；能根据算式特点，合理选择口算、笔 算、估算、简算等方法灵活计算。 2．使学生掌握用“四舍五入”法截取商是小数的近似值，能根据实际情况合理运用“进一法” 和“去尾法” 截取商的近似值。 3．使学生初步认识循环小数、有限小数和无限小数。 4．使学生能借助计算器探索规律，并应用规律解决问题。 5．使学生能应用小数除法及其他运算解决一些实际问题。 三、编写特点 1．结合具体情境，充分利用学生的生活经验和已有知识，引导学生自主探索小数除法的计算方 法。 小数除法计算方法的教学,体现了“基于情境、结合意义、探究获得”的基本思路。除数是整数 的小数除法，教材创设跑步情境，利用长度单位千米、米之间的关系，同时结合小数的意义，帮助学 生理解算理，探索“商的小数点”的定位方法；除数是小数的小数除法，也是通过米和厘米的转换以 及“商的变化规律”等已有知识，将其转化为除数是整数的除法进行计算。可见，教材呈现了“算法 掌握”和“算理理解”两者不可偏颇的教学取向。同时，教材十分关注算法探究经验的积累，让学生 逐步体会“将没有学过的知识转化为已经学过知识”的思想。 2．重视计算方法的概括，给出计算法则的结语。 数学与数学学习都不可能“去结论化”。强调“数学活动”、突出“思维过程”“探究过程”、 重视学生的个性化表现，与抽象并概括结论、结语并不矛盾。因此，教材将原来不出结语或通过学生 对话形式将计算法则分解呈现的方式，改为在引导学生自主探究算法、概括算法之后，给出计算法则 的结语，如“计算除数是整数的小数除法要注意什么？”“计算除数是小数的除法的计算法则”“求 商的近似数的方法”等。因为，适当的结语是掌握算法、指导计算操作所必须的，同时，让学生在概 括方法的过程中，体会怎样表达更准确、更完整，本身就是一种思维活动、一种学习过程。 四、具体内容 （一）除数是整数的小数除法 小数除法分两种情况教学：除数是整数的小数除法、一个数除以小数。由于除数是小数的除法要 通过商不变的性质转化为除数是整数的小数除法来计算， 所以除数是整数的小数除法是小数除法计算 的基础。 除数是整数的小数除法安排了 3 个例题。例 1 和例 2 是两种基本情况：例 1 是除到被除数的末尾 没有余数，能除尽；例 2 是除到被除数的末尾还有余数，添０继续除。 例３是特殊情况：被除数的 整数部分不够除，要先商 0。 1．例 1：整数部分够商 1，能除尽。 重点说明商的小数点要和被除数的小数点对齐。 教材呈现了两种方法， 一种是将千米数转化为米 数，把小数除以整数的除法转化成整数除法来做。另一种是一般的小数除以整数的方法。重点放在第 二种方法的理解上，着重说明除数是整数的小数除法的计算步骤与整数除法基本相同，唯一不同的是解决小数点的位置问题。结合数的含义，帮助学生理解“商的小数点要与被除数的小数点对齐”的道 理。 这里 24 表示 24 个十分之一， 除得的结果是 6 个十分之一， 所以小数点要和被除数的小数点对齐。 为了帮助学生理解算理，教学例 1 前，可以先复习整数除法，如，224÷4。让学生明确，每次除 的被除数和商是多少个十，或多少个一，为后面理解算理作准备。 2．例 2：除到被除数的末尾还有余数。 除到被除数的末尾还有余数，要在后面添 0 继续除。同样也是结合数的含义理解。 学习完例 1、例 2 后，小精灵提示学生总结除数是整数的小数除法的方法，教材这里虽然没有给 出法则，但是因为这是小数除法的基础，应该让学生在理解算理的基础上掌握算法。引导学生回顾总 结小数除以整数的计算步骤以及要注意的问题，可以总结成： ①按照整数除法的方法去除，商的小 数点和被除数的小数点对齐。②如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数末尾添 0 再继续除。 3．例 3：特殊情况。 教学被除数比除数小，整数部分不够除 1，商 0，点上小数点再除。事实上，和整数除法相同， 除到被除数的哪一位，商 0，就在那一位写 0，不同的是整数除法最高位上的 0 不写，而小数除法如 果商的最高位是个位商 0，要用 0 占位。 教材没有特别说明验算的方法，让学生用已学的知识自己思考如何验算。 （二）一个数除以小数 小数除法教学的重点， 关键在于把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。 根据除数和被除 数小数位数的情况，安排了 2 个例题。一个是被除数和除法的小数位数相同，一个是被除数比除数的 小数位数少。还有被除数比除数的小数位数多的情况安排在练习中。 1．例 4：被除数的小数位数和除数小数位数相同。 （1）突出基本方法是“把除数转化成整数”。 （2）用虚线框的图示呈现了根据商不变的性质，把除数和被除数同时扩大到原来的 100 倍，使 除数变成整数的过程。之后出示简便的写法。 （3）教学前可先复习商不变性质，帮助学生理解算理。 2．例 5：被除数的小数位数比除数少。 （1）用学生提问“被除数的位数不够怎么办？”引起思考。 （2）通过虚线框里的图示说明在把除数变成整数小数点要向右移动两位，根据商不变性质，被 除数也要右移两位，而 12.6 只有一位小数，所以要在末尾用“0”补足。 （3）至此，小数除法计算的各种情况均已涉及，通过小精灵的话引导学生对小数除法的计算方 法进行总结。在学生概括的基础上，教师加以提炼和完善。还可以总结成三个步骤：一看：看清除数 有几位小数；二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数。当被除数 位数不足时，用“0”补足；三算：按照除数是整数的小数除法的方法计算。 （三）商的近似数 小数除法经常会出现除不尽的情况， 或者商的小数位数较多的情况。 但是在实际工作和生活中， 并不总是需要求出很多位小数的商，而往往只要求出商的近似值就可以了。如在计算钱数时，一般 只精确到角或分，这样就涉及到求计算结果的近似数。 1．例 6：取商的近似数。 （1）体会取商的近似数的必要性。小数除法中取近似数有两种情况，一种是除不尽的时候， 一种是除的尽，但是小数位数比较多，根据实际需要不用这么多。为了让学生体会，教材不再提示 用计算器计算，而是在笔算的过程中感受除不尽的时候，根据实际需要取近似数。 （2）掌握取商的近似数的方法。小精灵给出求商的近似数的一般方法。在学生熟练后，还可 以介绍一种简便的方法，即除到要保留的小数位数后，不用再继续除，只要把余数同除数作比较， 若余数比除数一半小，就说明求出下一位的商小于 5，直接舍去；若余数等于或大于除数的一半， 就说明求出下一位的商等于或大于 5，就在已经求得的商的末一位上加 1。（四）循环小数 1．例 7：教学商从某一位起，一个数字重复出现的情况。 为认识循环小数提供感性材料。 2：例 8 和循环小数的认识。 通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复出现某个数字； 另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。 由此引出循环小数的概念并介绍循环节和简便记法。 教学中注意引导学生探究商循环出现的原因。结合学生发现的规律，理解商出现循环的原因， 是余数的重复出现。 3．有限小数和无限小数。 组织学生结合具体计算，讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况”， 由商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数。 学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，循环小数就是一种无限小数。 （五）用计算器探索规律。 1．例 9。 教材编排分三个层次:用计算器计算―观察发现规律―用规律写商。 教材给出一组算式，让学生用计算器计算出结果，然后寻找商的规律：都是循环小数；循环节都 是被除数的 9 倍。最后根据发现的规律直接写出后面算式的商。培养学生归纳、推理的能力。 （六）解决问题 解决问题中不出有特殊数量关系的连除问题（“双归一”）的类型，数量关系在前面已学，直接 在练习中应用。 1．例 10：根据实际情况用“进一法”和“去尾法”取商的近似值 前面介绍了用四舍五入的方法求商的近似数， 但实际应用中还会用到其他的方法。 比如进一法和 去尾法。教材安排了例 10，强调“在解决实际问题时，要根据实际情况选择适当的方法取商的近似 值”。安排了两道小题，分别教学：在解决问题时，需要根据实际用“进一法”（第 1 小题）和“去 尾法”（第 2 小题）取商的近似值。两题算出的结果都是小数，由于要求的瓶子数和礼品盒数都必须 是整数，因此都要取计算结果的近似值。 教学中让学生明确：在取近似值时，不能机械地使用“四舍五入法”，而是要根据具体情况确定 是“舍”还是“入”。 （七）整理和复习 教材给出整理的线索，帮助学生梳理知识结构。 第 1 题，回顾小数乘除法的计算方法，沟通小数乘除法与整数乘除法的联系，突出转化的思想。 第 2 题，开放性、综合性较强，而且联系实际，注重学生解决问题能力的培养。 五、教学建议 1. 抓住新旧知识的连接点， 在理解算理的基础上， 引导学生通过讨论总结小数除法的计算方法。 本单元内容与旧知识联系十分紧密。 小数除法的计算法则是以整数除法中被除数和除数同时乘上 相同的数（0 除外）商不变，以及小数点位置移动规律等知识为基础来说明的。小数除法的试商方法、 除的步骤和整数除法基本相同，不同的只是小数点的处理问题。因此，要注意复习和运用整数除法的 有关知识，为新知识的学习奠定好基础。 同小数乘法一样，教学中要让学生在理解算理的基础上，及时归纳、总结小数除法的计算方法， 帮助学生形成良好的计算能力。 2.要注意突出重点，攻破难点。 除数是整数的小数除法，要注意讲明商的小数点为什么与被除数的小数点对齐。小数除以小数， 要重点说明除数怎样转化为整数。讲清了一般的计算原理，注意克服难点：小数点的处理问题。学生在计算中经常出现只去掉除数的小数点，而不把被除数的小数点相应地向右移动，或者把小数点的位 置移错，使商的小数点常常处理错。为了帮助学生攻破难点，可适当安排有针对性的单项练习。 {C}{C}{C}{C}{C}{C}如学完小数除法后， 学生计算 “0.63 ÷0.6”的正确率较低，错误主要有两方面。第一，商的小数 点位置不对（如图 1）。例题中没有单独安排“被除数比除数 小数位数多”的类型，只是在“做一做”中以练习形式出现， 而且将被除数、 除数的位数多少的三种情况安排在一节课中对 一些学生来说掌握起来可能有困难。 第二， 商中间的 0 漏掉 （如 图 2）。商中间有 0 的除法仅在三年级“除数是一位数的除法” 时出现过，而四年级“除数是两位数的除法”受到计算步数的制约，避免计算的繁杂，没有将“除数 是两位、商是三位”作为教学要求，因此，商中间有 0 的除法基础是薄弱的。基于这两个原因，教学 中，一方面需要关注要点，重视“除数位数与被除数的小数位数不同”这一除法类型；另一方面，需 要加强商中间有 0 的除法的铺垫与练习，以弥补薄弱，突破难点。第四单元 一、教学内容可能性1．体验事件的确定性和不确定性，列出所有的可能。 2．定性描述可能性的大小。 本单元内容由原实验教材三年级上册移来。 关于“可能性”这一内容，原来的实验教材分两次进行了集中编排。第一次是在三年级上册， 主要是让学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的，知道事件发生的可能性是有大 小的。第二次在五年级上册，使学生对“可能性”的认识和理解逐渐从定性向定量过渡，学会用分数 描述事件发生的概率。但实践表明，低年级学生对不确定现象理解有困难，并且《标准（2011）》对 这部分内容也进行调整，第一学段不再学习概率的内容，将可能性的教学移到第二学段。 二、教学目标 1．在具体情境中，通过现实生活中的有关实例使学生感受简单的随机现象，初步体验有些事件 的发生是确定的，有些是不确定的。 2．通过实际活动（如摸球），使学生能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。 3．通过试验、游戏等活动，使学生感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单 的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能和同伴进行交流。 三、编排特点 1．运用数据分析来体会随机性，强调对可能性大小的定性描述。 在可能性知识的教学中，应加强对学生概率素养的培养，增强学生对随机思想的理解，使学生充 分感受和体验简单随机现象中数据的随机性， 能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描 述，而不要把丰富多彩的可能性内容变成了机械的计算和练习。《标准（2011）》中也提出运用数据 分析来体会随机性，加强对可能性大小的理解，使这部分内容更具可操作性，符合小学阶段学生学习 的特点。 2．提供丰富的现实学习素材，促进数学知识的理解。 本单元教材不仅利用丰富多采的呈现形式，为学生提供现实的、有趣的学习素材，同时注意所设 计的教学活动能使学生经历知识的形成过程。首先，教材选取学生熟悉的生活情境作为教学素材，以“联欢会上抽签表演节目”（例 1）、大量的活动（做一做、例 2）等来丰富学生对不确定现象的体 验， 使学生初步了解现实世界中存在着的不确定现象， 并逐步知道事件发生的可能性有大有小； 其次， 教科书中设计了多种不同层次的、有趣的活动和游戏，如摸棋子试验、涂色活动、抽签游戏、抛硬币、 掷骰子等， 这些活动都特别注意联系学生的生活实际， 不但便于教师组织教学， 更使学生在大量观察、 猜测、试验、思考与交流的数学活动中，逐步丰富对随机现象和可能性大小的体验，经历知识的形成 过程；再次，教科书第 49 页编排了“生活中的数学”，一方面可以加深学生对所学数学知识的理解， 另一方面也使学生感受到可能性知识与生活的联系，有利于培养学生的应用意识。 3．注重方法的指导和知识的整理。 要体验随机现象中数据的随机性， 就要求学生在进行相关试验活动或游戏活动时必须遵守一定的 规则，例如摸球时不能看着球摸，也不能摸完一次后不摇匀球就接着摸，这样都不能很好地体现随机 性。教材在相关例题及习题中明确提出了“放回去摇匀再摸”“按要求涂一涂”“随意摸一张”等要 求，对学生的试验和游戏活动进行方法的指导，使学生能更好地体验数据的随机性。 四、具体编排 1．主题图。 主题图从学生已有的生活经验出发，呈现了学生熟悉的“联欢会上抽签表演节目”的场景，使学 生体验在现实生活中存在着不确定现象，充分感受数学与生活的联系。 教师还可以利用买体育彩票、抽奖等现实题材来引入可能性的内容。 2．例 1：体验事件发生的确定性和不确定性。 由主题图的情境自然引出例题的学习。 原来教材安排的摸球活动， 这里的抽签游戏更贴近学生的 生活，也更容易让学生理解和体验，可以让学会亲历事件发生的必然性和随机性。 例题通过一次一次的抽签的活动， 让学生亲身感受、 体验事件发生的确定性和不确定性。 第一次， 小明可能会抽到什么节目？这里让学生体会有三种可能，每个结果发生的可能性是相同的。小明抽到 跳舞后，剩下的两张，小丽可能会抽到什么?体会有两种可能，并且不可能是跳舞。最后只剩唱歌， 小雪一定会抽到它。 学生在活动过程中，通过观察、实践、描述和交流充分感受事件发生的确定性和不确定性。 3．例 2：正向体会可能性的大小。 例 2 和例 3 都是体会可能性的大小，分别从正反两个方向体会。 例 2 编排分两个层次：一是，列出可能发生的结果。通过摸棋子活动，让学生通过动手试验后列 出所有可能发生的结果。也可以让学生先猜测后验证。二是，通过统计规律，感受可能性的大小。接 下来，让学生在收集、分析数据以及讨论交流统计结果的活动中，初步感受随机事件发生的统计规律 性，并知道事件发生的可能性是有大小的。最后，引导学生根据试验的统计结果对下一次试验的情况 作出推测，使学生进一步感受可能性的大小。要注意让学生明白：单次试验的结果是不确定的，但当 大量重复试验就呈现一种规律。 比如老师可以提问： 再摸一次一定能摸到红色的棋子吗？让学生体会： 再摸一次，两种颜色的棋子都有可能，但是摸出红色的可能性大。 4．例 3：逆向推理，体会可能性的大小。 教材同样是通过统计规律，让学生感受可能性的大小。 这里是根据摸棋子试验的统计结果来推测原来盒子里的球那种颜色的多， 通过实际验证， 进一步 体会随机事件发生的统计规律性，感受可能性的大小。 教学时可以分小组活动，记录统计的结果，从每次摸出的情况到小组统计的结果，最后到小组汇 总的结果，让学生感知和理解试验次数足够多时，实验数据呈现出的统计规律性。 五、教学建议 1．引导学生借助观察、猜测、实验等来体验事件的确定性与不确定性，感受可能性的大小。 对于不确定性现象和可能性，第二学段的学生在生活中已经有了一定的经验和体验。在教学中， 不管是在学生熟悉的生活情境还是感兴趣的游戏活动中（如掷硬币、玩转盘、摸卡片等），教师都应注意创设各种问题情境，充分调动学生的主动性和积极性，鼓励学生亲自动手试验，在试验中体验事 件发生的可能性，让学生在具体的操作活动中进行独立思考并主动与同伴交换自己的想法，引导学生 在观察、猜测、试验与交流等数学活动中，充分感受和体验不确定现象和事件发生的可能性，经历知 识的形成过程。 但也要注意一点， 虽然在这儿都是借助于实验来验证， 但也要逐渐引导学生从实验结果所呈现的 规律性来认识可能性的大小，为后面的学习打下良好的基础。 2．把握好教学要求。 本单元主要是让学生对随机现象“初步体验”和“感受”，因此，教师在引导学生感受“确定事 件” “不确定事件”以及“事件发生的可能性大小”时，只要让学生能够结合具体的问题情境，用“一 定（肯定）”“不可能”“可能”“经常”“偶尔”等词语来描述事件发生的可能性就可以了，不必 要求学生使用有关术语进行解释，也不必要求学生求出可能性的具体大小。 综合与实践 一、利用的数学知识 1．组合（两个骰子上的数字之和）。 2．事件的确定性和不确定性、列举所有可能出现的结果（每个骰子上可能的结果是 1 至 6 六个 数，组成的和可能是 2 至 12 的所有数，不可能是 1 或 13 等数）。 3．可能性大小（组成的和是 2 至 12 中任一个数，但发生的可能性大小是不同的）。 二、活动步骤 （一）示范游戏 1．体验确定现象与不确定现象，列举所有可能的结果。（运用组合的知识，判断哪些和不可能 出现，哪些和可能出现。） 2．教师提出游戏规则，学生猜想结果。11 个可能结果中教师选 5 个，学生选 6 个，学生错误地 认为赢的可能性比教师大。 3．开始游戏。学生总是输，产生认知冲突，从而引起进一步探索的欲望。 （二）小组内游戏，探索结论。 通过小组内游戏的方式，进行实验，利用统计的方式呈现实验的结果，初步探索教师总能赢的原 因。要引导学生在实验的结果中寻找统计学上的规律。 （三）理论验证 通过组合的理论来验证实验的结果。可以用不同的方式来进行组合，让学生探讨每个“和”所包 含的组合情况的多少与这个“和”出现的次数之间的关系。 掷一掷第五单元 一、教学内容 1．用字母表示数。简易方程2．解简易方程（解方程、实际问题与方程）。 和原实验教材相比，变化有：一是，增加用字母表示常见数量关系的例题，为解决实际问题列方 程作准备。二是，根据课标要求，明确给出等式的性质（原来只是借助天平平衡来理解），利用等式 的性质解方程。三是，解方程和列方程解决问题分开编排，分散难点，并且解方程的类型更全面。 二、教学目标 1.使学生初步认识用字母表示数的作用， 发展符号意识， 能够用字母表示学过的运算定律和计算 公式，能够在具体的情境中用字母表示常见的数量关系。初步学会根据字母所取的值，求含有字母式 子的值。2.使学生初步了解方程的作用，初步理解等式的基本性质，能用等式的基本性质解简易方程。在 这过程中初步体会化归思想。 3.使学生感受数学与现实生活的联系， 初步学会列方程解决一些简单的实际问题。 在这过程中获 得数学建模的初步体验。培养学生根据具体情况，灵活选择算法的意识和能力。 三、编排特点 1.重视用字母表示数量关系的教学。 学生在日常生活和前面的学习中已经接触到了用字母表示数，学习了用符号表示一个特定的数、 用字母表示运算定律等，所以教材就不再从用字母表示特定的数、一般的数起步，而是直接从用含有 字母的式子表示数量关系开始。 用代数式表示数量关系， 即根据数量关系的陈述写出代数式， 这是进一步学习代数知识的基本技 能。对小学生来说，受以往学习习惯、思维方式的影响起初会有一些困惑。因此，为了突破难点，保 证基础，教材加强了用字母表示数的教学。除了原有的两个例题之外，还增加了两个例题，学习表示 稍复杂的数量关系，也为后面学习列方程解决实际问题作准备（具体内容如下表）。相应地还增加了 一个练习。 例1 例2 例3 例4 例5 用字母表示数量关系(a＋30) 用字母表示数量关系 6x 用字母表示运算定律和计算公式 用字母表示数量关系(1200－3x) 用字母表示数量关系(3x＋4x)同时，还加强了代入求值的教学，使学生不断看到，用含字母的式子既可以表示数量关系，又可 以表示一个量， 当用一个合适的数代替字母并求值， 就得到了一个具体的数。 从而帮助学生逐步感悟、 适应字母代数的特点。 2.以等式的基本性质为解方程的依据，突显利用等式性质解方程的优势。 根据《标准（2011）》的要求，从小学起引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。 这不仅有利于改善和加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生代数思维习惯的培养。 以等式性质作为解简易方程的依据后，利用等式基本性质解方程的优越性变显现出来了。例如， 解形如的方程，都可以归结为，等式两边减去与加上，得与；解形如与的方程，都可以归结为，等式 两边除以与乘上，得与。这样解决方程显然比原来依据逆运算关系解方程，思路更为统一。 3.加强列方程解决实际问题的教学，适当分散难点。 教材一方面在第一节， 加强用含有字母的式子表示数量关系的教学， 为学习列方程解决实际问题 奠定了更为坚实的基础。另一方面，解方程单独编排，并且解方程的类型更全面，分散难点。 在“解方程”这部分内容中，方程没有刻意一一从现实情境引出；而且解方程的过程，充分借助 实物直观、几何直观，发挥数形结合的优势，帮助学生理解方程变形、求解的过程。待学生有了一定 的解方程基础后，在“实际问题与方程”这部分内容中，再由实际问题引入前面没有出现过的方程。 这样处理，两部分内容各有侧重，既分散了教学的难点，又关注了数学知识与现实世界的联系，有利 于提高教学的有效性，切实加强数学应用意识的培养。教材对 “实际问题与方程” 这部分内容进行调整， 并有所加强。 一共安排 5 个例题 （具体如下表） 。 这部分的 5 个例题，如果用算术方法解答，都需要逆向思维，从而便于突出等量关系的分析，突出列 方程解决实际问题的特点。例1 例2 例3 例4 例5x+b=c 的应用 ax?b=c 的应用 ax+ab=c 的应用 x+bx=c 的应用 ax+bx=c 的应用四、具体内容 （一）用字母表示数 1．例 1：用字母表示加减的关系。 重点让学生体会还有字母的式子表示数量关系的特点：具有一般性，可以看作一个具体的量。具 体编排体现“具体―一般―具体”的过程。 （1）重视抽象概括。用含有字母的式子表示数量关系和一个量，这是列方程的基础。教材采用从 个别到一般的归纳思路，先列出用具体的数表示的式子，让学生看到这些式子，每个只能表示个别现 象，提出问题：怎样才能用一个式子表示一般情况呢？由此引出含有字母的式子。使学生看到用含有 字母的式子表示，不仅简单明了，而且具有一般性，经历抽象概括的过程。 （2）渗透函数思想。让学生体会：a＋30 随着 a 的变化而变化，它们之间一一对应，以渗透函数 思想。 （3）取值范围。关于字母的取值范围应该让学生明确，在一个实际问题中，字母的取值范围是由 实际情况决定的。 （4） 代入求值。 代入求值是由一般到具体的过程， 通过正反两个思维过程， 帮助学生进一步理解， 含有字母的式子也可以表示一个具体的数量。如：当 a 是一个具体的岁数时，a＋30 也是一个具体的 岁数。 2．例 2：乘除的数量关系。 （1）编排和例 1 相同。同样是从具体到一般的抽象、归纳过程，再从一般到具体的代入求值。 （2）介绍字母与数相乘的习惯写法。 3．例 3：运算定律、计算公式。 （1）体会数学符号语言的优越性。对比用语言描述和用字母表示运算定律，体会到：用字母表 示，一目了然，准确、简明、易记。 （2）代入求值。以正方形的面积和周长为例，教学怎样用字母表示计算公式，怎样把已知数据 代入公式求值。介绍平方的书写方法，数与字母相乘的书写习惯。 4．例 4：两级运算。 例 4 例 4 和例 5 是新增的， 目的是让学生学会用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系， 为后面 列方程解决实际问题作准备。 这里数量关系比前面进了一步， 含两级运算， 重点是还是用含有字母的式子表示数量关系和一个 量。有了前面学习的基础，这里可以让学生独立思考，写出代数式，代入求值。 5．例 5：两积之和（ax+bx）。 （1）借助直观图帮助学生理解并用含有字母的式子表示。（2）引导学生化简式子。根据乘法分配律进行化简，学生熟练后可以直接写出 7x。 （3）拓展例题。将式子改为 4x-3x，让学生说出它的含义，再说出化简的结果。这时将出现数 与字母相乘的特殊情况，即“1 与字母相乘，1 可省略”，可用来检查前面学习的书写习惯。 （二）解简易方程 1．方程的意义。 方程是含有未知数的等式，因此教学方程的概念要从认识等式开始。教材采用连环画的形式，通 过天平演示，经历由数的等式到含有未知数的等式，通过不等到相等的比较，为引入方程提供丰富的 感性认知基础。 教学时，可制作动画或自制的天平教具来演示。因为精密的天平仪器小，学生不易看清，也不容 易取得平衡。 通过实物演示得到了一个方程，接下来再通过图示得出第二个方程。然后以两个方程为例，给出 方程概念的描述。为了丰富对方程的感知，让学生自己写出一些方程，并呈现三个同学在黑板上写的 方程，初步感知方程的多样性。 2．等式的性质。 原来没有直接出示等式性质，但是解方程时不利于学生的描述，这次正式总结出。通过插图演示 天平平衡的实验，探究等式基本性质。 用连环画式的插图，一方面提示教师可以怎样演示，另一方面也给学生思考、感悟天平保持平衡 的变化规律，提供了直观的观察材料。要注意的是，教具演示能使学生看到动态的过程，获得实实在 在的真切感受。但演示过后，呈现在学生眼前的，只剩最后的结果状态。而连环画式的插图，没有实 物演示那么生动，但可以保留初始状态和结果状态，便于学生观察、比较。 教学中注意引导学生双向观察，可以丰富学生的感性认识。同时引导学生自己总结规律。等式性 质 1 的演示过程中可以用等式来表示，这样从直观演示过渡到等式，帮助总结。等式的性质 2 可以放 手让学生自己总结，通过交流完善对 0 的补充说明。 3．解方程。 （1）例 1：解形如 x+a=b 的方程。 利用等式性质解方程，理解解方程和方程的解的概念。 ①这里借助三幅天平演示图展现了解方程的完整思考过程。 为了便于通过图示说明解方程的全过 程，这里的数据比较小。但是学生可能一眼就能看出结果，为提高学习掌握新方法的积极性，可以明 确指出，要根据等式性质来解方程。在这里要暂时避开算法多样化的讨论。 ②结合解方程的过程给出方程的解和解方程的概念，不再单独编排。 ③检验。由小精灵给以提示，介绍了验算的全过程，就是前面所学的代入求值的过程。 （2）例 2：解形如 ax=b 的方程。 编排思路同例 1。练习中尝试解形如 x÷a=b 的方程。 （3）例 3：解形如 a-x=b 的方程。 这是新增的，解方程的类型更全面。 重点突出转化思想。教材以 20－x＝9 为例，讨论形如 a－x＝b 的方程的解法，思路是转化为 x ＋b＝a，即转化为例 1 的形式。这里不再依靠天平的图示，意在及时抽象，启发学生直接依据等式性 质进行转化。a÷x＝b 类型的方程让学生自主探索。 教学中注意让学生积累解方程的经验。 完成基本类型的方程求解后， 小精灵提示学生总结解方程 的思考方法（利用等式性质）、解题步骤、要注意的问题。 （4）例 4：解形如 ax+b=c 的方程。 （5）例 5：解形如 a(x+b)=c 的方程。 这两种都是新增的稍复杂的类型。 同样也是利用转化的方法， 将解较复杂的方程转化为前面的基 本类型来求解。教学重点是把什么看作一个整体。4．实际问题与方程。 （1）例 1：基本类型。 ①经历列方程解决实际问题的基本方法。这里的问题比较简单，容易发现数量关系。学生也比较 容易直接利用算术方法求解，教材在这里尊重学生的经验，先出示了算术解法。以此鼓励学生自己想 方法解决问题的积极性。 接下来引出列方程的方法来解决。 这是学生第一次接触列方程解答实际问题， 对将所求数量设为 x，对未知数参加列式，都会感到不习惯。所以，教材引导学生将未知数设为 x, 列出方程。 ②体会列方程解决问题的特点：用字母表示未知数，未知数参与列式。其中寻找等量关系是列方 程的关键，教材用色块予以凸显，但它不是解题书写的要求，主要是帮助学生列方程。 ③淡化算术方法和列方程方法的对比。这里的数量关系简单，体现不出列方程的优势，重在经历 一般方法，规范书写格式。 （2）例 2：列方程解形如 ax±b=c 的问题。 ①体会优越性。这里的问题如果用算术方法解决需要逆思考，思维难度较大，学生容易出现先除 后减的错误。而用方程解，思路比较顺，体现了列方程解决问题的优越性。 ②注重数量关系的分析。这里的数量关系，学生常有不同的分析（如下）。学生有必要的话，可 以画线段图帮助分析。如： 黑色皮的块数×2－4＝白色皮的块数 黑色皮的块数×2－白色皮的块数＝4 黑色皮的块数×2＝白色皮的块数＋4 ③总结列方程解决实际问题的基本步骤。教材给出了基本步骤，提升学生的学习经验。 （3）例 3：列方程解形如 ax±ab=c 的问题。 这里的数量关系是两积之和，是典型的数量关系，生活中很常见。而且，理解了两积之和的数量 关系，也就容易理解两积之差、两商之和（差）的数量关系。同时，两个积中有相同的因数，可以根 据分配律，得到含小括号的方程。所以例 3 具有举一反三的典型意义。 （4）例 4：列方程解形如 ax±bx=c 的问题。 ①含有两个未知数。此类问题称为“和差、和倍、差倍问题”，其特点是：含有两个未知数，知 道这两个未知数的倍数关系，以及它们的和或差，求两个未知数（如本例）。如果用算术方法解比较 难。改用方程解，都可归结为解形如 ax±bx=c 的方程，思路统一，解法一致，学会其中之一的解法， 其他类似的问题，如“和差”就很容易类推解决。 ②设未知数。解决这类问题，首先要确定一个未知数为 x，另一个根据两者之间的关系用含有 x 的式子来表示。但这里重点是设谁是 x，一般为了解方程方便，设倍数关系中的单位量为 x。也可以 利用线段图帮助学生思考。 （5）例 5：解决问题。 这里是行程中的相遇问题，比较经典，这里以解决问题的形式进行编排，让学生体会方程解的优 越性。 这里的方程形式与例 3 相同，重点是借助线段图来帮助学生分析数量关系，列出方程。 五、教学建议 1.关注由具体到一般的抽象概括过程。 本单元的知识大多比较抽象。 教学时要充分利用学生原有的相关认知基础， 关注由具体实例到一 般意义的抽象概括过程。无论是学习用字母表示数量关系，还是学习方程的概念或等式的性质，既要 发挥具体实例对于抽象概括的支撑作用， 又要及时引导学生超脱实例的具体性， 实现必要的抽象概括。 2.有意识地渗透数学的思想方法。 本单元的内容蕴涵较为丰富的数学思想，如抽象思想、推理思想、化归（转化）思想、等价思想、 模型思想等。比如：解方程的过程实际上是一连串依据等式性质的演绎推理过程， 最终将原方程转化为与其等价的 “x ＝？”的形式。“x＝？”是方程变形的目标。教学时，应要求学生做得对、说得清，从而在理解变 形依据、过程的基础上掌握所学方程的解法。 列方程的过程实际上是一个用数学符号提炼现实生活中特定关系的过程，也就是数学建模过程。 教学时，应启发学生学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关 问题。 3.重视解决实际问题能力的培养，注重数量关系的分析，体会列方程解决实际问题的优越性。 列方程解决实际问题的思考过程比较直接、简明，能使某些实际问题的解决化难为易。让学生体 会列方程的优越性。同时，引导学生掌握列方程解决问题的基本步骤，还要注意引导他们逐步学会根 据问题特点，灵活选择便于思考的简便解法，进而丰富解题策略，发展思维的灵活性。第五单元 一、教学内容 1．平行四边形的面积。 2．三角形的面积。 3．梯形的面积。 4．组合图形的面积。 5．估计不规则图形的面积。多边形的面积和原实验教材相比，变化主要是增加方格纸上不规则图形的面积估算。 二、教学目标 1．让学生通过动手操作、实验观察等方法，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式。 2．让学生会用面积公式计算平行四边形、三角形和梯形的面积，并能解决生活中一些简单的实 际问题。 3．让学生认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积。 4. 让学生会用方格纸估计不规则图形的面积。 三、编排特点 1．加强知识之间的联系，促进知识的迁移和学习能力的提高。 教材以图形内在联系为线索，以未知向已知转化为基本方法开展学习。安排顺序：2．体现动手操作、合作学习的学习方式，让学生经历自主探索的过程。 各类图形面积公式的推导均采用让学生动手实验，先将图形转化为已经学过的图形，再通过合作 学习探索转化后的图形与原来图形的联系，发现新图形的面积计算公式这样一个过程。同时按照学习 的先后顺序，探索的要求逐步提高。 教材在编排平行四边形的面积公式推导过程中， 增加了一个小组讨论活动： 观察原来的平行四边 形和转化后的长方形，你能发现它们之间有哪些等量关系？这是推导面积公式的关键，也是学生学习 的难点。教材这里适时给出了相应的引导，帮助学生思考。在三角形和梯形的面积公式推导过程中， 分别增加了转化过程的示意图，帮助学生更好地探究和推导面积公式。 3．在解决实际问题中，渗透估测意识、策略。 教材新增来一个解决问题的例题，教学估算不规则图形的面积。在生活实际中，经常会接触到不规则图形，它们的面积无法直接用面积公式计算。那么如何估测 它们的面积呢？教材安排了借助方格纸估计不规则图形（树叶）面积的内容，培养学生估测的意识和 解决实际问题的能力。 四、具体编排 （一）主题图 设计了一幅街区图。 由小精灵提出观察的要求： “你发现了哪些图形？你会计算它们的面积吗？” 引入面积计算的教学。 （二）平行四边形的面积 教材分以下三个步骤安排。 （1）从主题图中的两个花坛（一个长方形，一个平行四边形）引出如何计算平行四边形面积的问 题。 （2）先用数方格的方法试一试。在方格纸上呈现一个平行四边形和一个长方形让学生数，说明 不满 1 格的按半格计算。完成填表后，发现等底等高的长方形和平行四边形的面积相等，为转化作准 备。 （3）探究平行四边形面积计算公式。突出转化思想，用割补的方法把一个平行四边形转化为一 个长方形，教材用直观图展示了这一过程，通过观察两个图形之间的联系，引导学生推导出平行四边 形面积的计算公式。最后结合平行四边形的图示，用字母表示面积计算公式。 例 1 是平行四边形面积公式的应用,教学中注意培养良好的书写习惯。 （三）三角形的面积 1. 继续用转化的方法探究。 有了推导平行四边形面积公式的经验， 这里放手让学生自己去探究。 继续渗透转化思想，帮助学生理解把未知转化为已知，就能解决问题的思路。也就是把三角形转化为 已经知道面积计算公式的图形。转化的方法可以割补，也可以拼摆。教材通过拼摆两个同样的三角形 转化为平行四边形的方法，这种方法推导过程简单，学生比较容易理解和掌握，便于推导公式。 2. 推导过程学生独立完成。转化以后，放手让学生自己观察，写出三角形的面积计算公式，特 别要强调除以 2 的理解。最后用字母表示出面积计算公式。 3．例 2 同样是三角形面积公式的应用。 （四）梯形的面积 1．转化的方式有多种：一种是分割的方法，把梯形剪成两个三角形，或将梯形剪成了一个平行 四边形和一个三角形；一种是拼摆的方法，用两个一样的梯形拼成一个平行四边形。这些转化方法都 是可以的，但其中用两个一样的梯形拼成一个平行四边形的方法，比较容易推导和理解，另外两种因 为涉及代数式的运算，学生的推导有困难。因此教学时可以以拼摆方法为研究重点，让学生叙述推导 的过程，得出梯形面积计算公式。其他方法可视学生接受能力，进行介绍。 2．例 3 是梯形面积公式的应用。 3．“你知道吗？”介绍古代割补的转化方法，教学中可以适当拓展，丰富学生转化的方法。 （五）组合图形的面积 教材提供了几个生活中的具体物品，使学生认识组合图形是由几个简单图形组合而成的。然后要 求学生找一找生活中的组合图形。例 4 教学组合图形面积的计算，由于一个组合图形可以有不同的分解方法，也就有不同的面积计算方法，教材展示了两种方法。当然，学生可能还会有其他不同的方法， 通过交流要让学生体会怎样分解能使计算更简便。（六）估计不规则图形的面积 例 5 编排了不规则图形面积的估计。编排意图主要是： 1.培养估算意识。 教材安排了借助方格纸估计不规则图形（树叶）的面积，这是估算思想在图形与几何中的应用。 2.培养估算策略。 不规则图形不像规则图形，可以找到面积计算公式，我们只能估算出它的面积。而估算策略最重 要的是要根据要估计的事物找到一个适合的测量标准，然后利用这个测量标准去估计。比如，前面我 们学习的长度的估计，估计学校到家的路程，可以借助步长、单位时间走的距离或者自己熟悉的一个 长度等， 来进行估计。 这里不规则图形的面积估算， 同样也要找到一个度量的标准，根据树叶的大小， 我们选择了每个小方格面积为 1cm2 的方格纸，当然学生也可以利用其他熟悉的测量标准来估计，比 如用一个已知面积的图形（物品）来估计。 教学中，可以直接出示树叶，让学生思考怎样来估计它的面积，通过交流体会选择测量标准的重 要性。 3.体会估算方法多样。 借助方格纸估计树叶的面积，首先可以确定它的面积范围。如教材所示，分别数出满格和不是满 格的格子数，就能确定面积的区间。接下来，学生可以用自己的方法进行估计，比如取面积区间的中 间值；或者借助前面学习平行四边形面积时的经验，把不是满格的看作半格，估计出面积；或者把超 过半格的当一格，不到半格的忽略不计（也就是四舍五入）的方法；等等，只要合理都可以。还可以 引导学生：如果想估的更准确一些，可以将方格纸的每个小方格等分成更小的正方形，就能探索更接 近实际面积的估计值。也就是说，选择的测量标准面积越小，得到的估计越精确。 此外，还可以将不规则图形近似看作为规则图形来估计面积，利用方格纸的刻度，找出计算规则 图形面积的条件进行估算。教材也呈现了这样的方法，将树叶转化为近似的平行四边形来估计面积。 (七) 整理和复习 1.突出转化。 复习面积计算公式的推导过程，重点是突出转化的思想。 2.建立联系。 让学生发现梯形和平行四边形、三角形面积公式的内在联系：当梯形的上、下底相等时就成了平 行四边形的面积，梯形的上底为 0 时就成来三角形面积。帮助学生理解和记忆公式。 五、教学建议 1．经历探究过程，渗透转化思想。 各类图形面积公式的推导均采用让学生动手实验，将图形转化为已经学过的图形，再探索转化后 的图形与原来图形的联系，发现新图形的面积计算公式这样一个过程。按照学习的先后顺序，探索的 要求逐步提高。 2．注意培养学生灵活运用公式进行计算的能力。 如计算梯形的面积，不一定要把上底、下底、高都找到才能计算。练习中就有根据上底、下底之 和来计算面积的，教学中，注意培养学生灵活运用公式计算的能力，加深对公式的理解。 第七单元 一、教学内容 植树问题。 数学广角本单元内容由原实验教材四年级下册移来，例 3 调整为封闭曲线上的植树问题。 二、教学目标 1．引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会植树问题的模型思想。 2．通过画线段图初步培养学生探索解决问题有效方法的能力。 3． 让学生尝试用植树问题的方法来解决实际生活中的简单问题， 培养学生解决实际问题的能力。 三、编排特点 （1）题材更为丰富。 与原实验教材相比，本次修订后的“植树问题”新增了一些生活中的“植树问题”。如例 3 探讨 在一条封闭曲线上植树的问题。另外，教材在“做一做”和练习中增加了 “每两棵梧桐树中间栽一 棵银杏树”“马拉松比赛设置饮水点”“项链上的水晶”等实际问题，一方面激发学生的学习兴趣和 探究欲望，另一方面帮助学生多角度、有效地体会和运用植树问题的数学思想和方法。 （2）突出线段图的教学，帮助学生直观理解植树问题的数学模型。 在“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学 模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，教材突出了线段图的教学，通过几何直 观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。例 1 先画出形象的线段图，然后抽象成线段图表示两端都 栽的情况，例 2 通过迁移呈现出两端都不栽的线段图， “做一做”的第 2 题，让学生通过迁移画出 一端栽另一端不栽的线段图， 最后例 3 让学生理解在封闭曲线上植树的线段图的画法以及沟通它和一 条线段上植树中的一端栽另一端不栽的联系。教材通过突出线段图的教学，帮助学生直观理解不同情 况下植树棵树、分割点和间隔数之间的关系，由此理解和建立植树问题的数学模型。 四、具体编排 1．例 1：一条线段上植树（两端都栽）。 植树问题教学的重点是解决点和间隔的关系，建立相应的模型。但是当数据比较大时，不利于学 生发现规律，所以教材编排上体现了化繁为简和建模的思想。 例 1 是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况， 让学生在解决这个问题的过程中发 现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。 （1）渗透化繁为简的思想，经历解决问题的过程。 通过学生的话“100m 太长了，可以先用简单的数试试”渗透化繁为简的解决问题的方法，接下 来的编排渗透了“猜测―探索―归纳―应用”的解决问题的策略。 （2）重点培养学生借助线段图建立数学模型的能力。 教材呈现学生用画示意图或线段图的方法帮助思考， 通过观察两端都栽树的示意图或线段图， 把 分割点和栽树的棵树一一对应起来，发现并初步总结栽树的棵数与间隔数之间的关系。再让学生在 30m、35m 上加以验证，从而建立起一条线段两端都栽这类植树问题的数学模型。从而找到解决问题 的方法。 2．例 2：一条线段上植树（两端都不栽）。 例 2 是关于一条线段的植树问题的另一种情况， 即两端都不栽树的情况。 教材继续通过画线段图 的方法帮助学生分析、理解，找出一般规律来解决问题，突出学生的迁移能力培养。 有了例 1 的基础，可以放手让学生独立思考。学生自然会想到借助线段图来分析，教材呈现学生 画线段图进行分析，发现当两端都不栽树时，植树的棵数比间隔数少 1，然后利用发现的规律解决例 题的问题。 一端栽另一端不栽的情况放在“做一做”第 2 题让学生自己探究。通过画线段图，可以与例 1、 例 2 的对比来获得对这一基本模型的理解，同时运用发现的规律解决要求的问题。 3．例 3：封闭曲线上植树。 （1） 突出画图的策略。例 3 是在一条首尾封闭的曲线上植树的问题。 编排思路和例 1 相同， 继续渗透化繁为简的思想和 画图的策略。借助图示探索规律，建立模型。 （2）注重模型的对比与沟通。 通过小精灵的问题“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”启发学生联系已有的知识找出这种 植树问题的规律，即栽树的棵树正好等于间隔数，也就相当于一条线段上植树的一端栽另一端不栽的 情况，渗透转化的数学思想。 五、教学建议 1.经历建模的过程，感悟思想方法。 “数学广角” 的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。 具体到本单元， 教学时，教师应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同的情 形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。比如例 1 的 教学，可以让学生经历猜想、实验、归纳、推理的过程，渗透简单的化归、数形结合、一一对应、模 型、推理等数学思想，激发学生学习数学的兴趣。 2.突出画图（线段图）的策略。 几何直观是课标的核心概念之一， 帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。 本单元通过画示意图 或线段图来解决植树问题，可以更直观理解、更好地发现规律，建立模型，找出解决问题的方法。 另外，学生在学习中容易将两端都栽、一端栽另一端不栽、两端都不栽三种情况弄混。事实上， 学生不用记每种模型的结论，遇到问题，只要画个线段图，问题就迎刃而解了，从而体会到画图策略 的价值。
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