延长交于点,由为等腰直角三角形的重心可得;再通过证明为矩形,可得,即可得;连接并延长交于点,过做于,由重心可得;再通过证明得;然后证得为的中点,据中位线定理,即可得;图不成立,.
猜想:(分)证明:如图,延长交于点,点为等腰直角三角形的重心且又,.(分)图结论:证明:连接并延长交于点,过做于,由重心性质可得,,,,,(分)为重心,为中点,,,,,为中点,,(分).(分)
本题主要考查三角形相似的判定及性质,涉及到中位线定理,重心的性质,矩形的性质等知识点,正确作出辅助线是解题的关键.
3996@@3@@@@相似三角形的判定与性质@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3871@@3@@@@三角形的重心@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3899@@3@@@@三角形中位线定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3910@@3@@@@矩形的性质@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@53@@7##@@52@@7##@@52@@7##@@52@@7
第三大题，第12小题
求解答 学习搜索引擎 | 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质:重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1.请你用此性质解决下面的问题.已知:如图,点O为等腰直角三角形ABC的重心,角CAB={{90}^{\circ }},直线m过点O,过A,B,C三点分别作直线m的垂线,垂足分别为点D,E,F.(1)当直线m与BC平行时(如图1),请你猜想线段BE,CF和AD三者之间的数量关系并证明;(2)当直线m绕点O旋转到与BC不平行时,分别探究在图2,图3这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AD,BE,CF三者之间又有怎样的数量关系?请写出你的结论,不需证明.当前位置：
＞＞＞如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝1,取斜边的中点,向斜边作垂线,画出..
如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝1,取斜边的中点,向斜边作垂线,画出一个新的等腰三角形,如此继续下去,直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠,这时这个三角形的斜边为A．B．C．D．
题型：单选题难度：中档来源：不详
D结合等腰直角三角形的性质知，当画到第7个三角形时，所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠，根据勾股定理依次求出各等腰直角三角形斜边的长，寻找规律进行解答．解：由题意知，三角形每个锐角等于45°，画到第7个三角形时，其斜边与△ABC的BC边重叠．∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB=．第七个三角形的斜边长为： =，再依次运用勾股定理可求得第7个三角形的斜边长是．故此时这个三角形的斜边长为故选D．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝1,取斜边的中点,向斜边作垂线,画出..”主要考查你对&&相似多边形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似多边形的性质相似三角形的判定相似三角形的性质相似三角形的应用
相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。（或相似系数）判定:如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.如果所有对应边成比例，那么这两个多边形相似相似多边形的性质：相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。& 四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc易失误比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。相似三角形的应用：应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度）。
发现相似题
与“如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝1,取斜边的中点,向斜边作垂线,画出..”考查相似的试题有：
723014705581693483703069693430733311点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足是E、F，点D为BC的中点。求证：DE⊥DF；_百度知道
点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点，过点P作BA、AC的垂线，垂足是E、F，点D为BC的中点。求证：DE⊥DF；
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连AD ， AP，EF交于O ，因AEPF为矩形 ，即AO=PO=EO=FO ，又连DO ，DO为RT三角形ADP 斜边AP 的中线
，即DO=EO=FO ，而DO又是三角形DEF底边EF 的中线 ，故DE⊥DF
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出门在外也不愁如1图，点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线_百度知道
如1图，点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线
于点R。1.AR与AQ是否相等，并验证。2.如2图，如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，1中的结论还成立吗？请在2图完成图像，并证明。
来自华中农业大学生命科学院
（1）由AB=AC，∴∠B=∠C，又PR⊥BC，∴∠R+∠C=90°，∠BQP+∠B=90°，∴∠R=∠BQP，∵∠BQP=∠AQR，∴∠R=∠AQR，得AR=AQ。（2）当P在CB延长线上时，Q在AB延长线上，R在CA延长线上，∵RQ⊥CP，有∠C+∠R=90°，∠ABC=∠PBQ，而∠PBQ+∠Q=90°，∵∠C=∠ABC=∠PBQ，∴∠R=∠Q不变，即AR=AQ不变。
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