高数 定积分在几何学上的应用 求曲线的长_百度知道
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由弧微分公式ds=√(1+(y')^2) dx=√(1+sinx)dx故s=∫√(1+sinx)dx 积分区间是（0，π）1+sinx=(sinx/2)^2+(cosx/2)^2+2sinx/2cosx/2故积分可化为 ∫sinx/2dx+∫cosx/2dx=2(sinx/2-cosx/2)带入积分区间可得结果为4
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根据dl=√(1+y`^2)dx=√(1+sinx) dx弧长就等于∫(0--&π)√(1+sinx) dx=∫(0--&π)sinx/2+cosx/2dx
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出门在外也不愁97大学高等数学第五章 定积分及其应用答案
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97大学高等数学第五章 定积分及其应用答案
第五章定积分及其应用；习题5-1；1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意；1?1；?1；xdx,（2）??RRR2?x2dx,（3）?2；解：若x??a,b?时,f(x)?0,则；ba；f(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x)，直线；x?a,x?b及x轴所围成平面图形的面积.若x?；上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x；(1)；(2)
第五章 定积分及其应用习 题
5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）?1?1?1xdx,
（2）??RRR2?x2dx,
（3）?20cosxdx,
（4）??xdx.1解：若x??a,b?时,f(x)?0,则?baf(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围成平面图形的面积. 若x??a,b?时，f(x)?0,则?bf(x)dx在几何a上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，?1?1xdx?(?A1)?A1?0. ( 1 )( 2 )( 3 )(4)（2）由上图（2）所示，?R?RπR2R?xdx?A2?.222（3）由上图（3）所示，?0cosxdx?A3?(?A4)?A5?A3?A5?(?A3?A5)?0. （4）由上图（4）所示，??1xdx?2A6?2?12π1?1?1?1. 22. 设物体以速度v?2t?1作直线运动，用定积分表示时间t从0到5该物体移动的路程S.解：s??50(2t?1)dt3. 用定积分的定义计算定积分?cdx,其中c为一定常数.ab解：任取分点a?x0?x1?x2???xn?b,把[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi](i?1,2?n)，小区间长度记为?xi=xi-xi?1(i?1,2?n),在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i作乘积f(?i)??xi的和式：n?f(?)??x??c?(xiii?1i?1nni?xi?1)?c(b?a),记??max{?xi}, 则1?i?n?bacdx?lim?f(?i)??xi?limc(b?a)?c(b?a).??0i???04. 利用定积分定义计算?1 x2dx.解：f(x)?x2在[0,1]上连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对?0,1? n等分，分点xi?i,i?1,2,?,n?1;?i取相应小区间的右端点，故 nnnni1122?f(?i)?xi???i?xi??xi?xi=?()?3nnni?1i?1i?1i?1=n2?ii?1n2 11111?n(n?1)(2n?1)(1?)(2?)
=n366nn112当??0时（即n??时），由定积分的定义得： ?xdx=．035. 利用定积分的估值公式，估计定积分43?1?1(4x4?2x3?5)dx的值.解：先求f(x)?4x?2x?5在??1,1?上的最值，由32f?(x)?16x?6x?0,
得x?0或x?3. 8比较 f(?1)?11,f(0)?5,35093f()?,81024fmin?5093,1024f(1)?7的大小，知fmax?11，1?1 由定积分的估值公式，得fmin?[1?(?1)]?即?(4x4?2x3?5)dx?fmax??1?(?1)?,15093??(4x4?2x3?5)dx?22. ?15126. 利用定积分的性质说明?1 edx与?edx，哪个积分值较大？ x1x2解：在?0,1?区间内：x?x?e?e
由性质定理知道：2xx2?1 edx??exdx x127. 证明：2e?121???212e?xdx?2。2证明：考虑????12,1??x2?x2?上的函数，则，令y??0得x?0 y?ey??2xe?2?当x?????1??1?,0?时，y??0，当x??0,?时，y??0 2?2???x2∴y?e1?x2在x?0处取最大值y?1，且y?e121?2121?212在x??121122处取最小值e?12.故??212edx???e?xdx??21dx，即2e????12e?xdx?2。8.
求函数f(x)??x2在闭区间[-1，1]上的平均值.111π?12π2解：平均值???xdx???1?(?1)??12249. 设f(x)在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何a?(0,1)有证明：?1aa f(x)dx?a?f(x)dx. 1?a f(x)dx?a?f(x)dx=?f(x)dx?a?f(x)dx?a?f(x)dx 1aa?(1?a)?a f(x)dx?a?f(x)dx=(1?a)af(?)?(1?a)af(?)a1?(1?a)a[f(?)?f(?)]，其中
0???a,a???1又f(x)单调减，则f(?)?f(?)，故原式得证. 习 题
5.21. 计算下列定积分 （1）?4 2? （2）?x2|x|
（3）?|sinx|
(4) ?max{x,1?x}dx.?2 12π1解：（1）?4 112?xdx??(2?x)dx??(x?2)dx?(2x?x2)?(x2?2x)?40222022424（2）?1?2x2|x|dx=?(?x3)dx+?x3dx=??2 01x440??2x441=4+ 117?. 44（3）?102π0|sinx|dx=?π0sinxdx+?2ππ(?sinx)dx=(?cosx)0?cosxπ2ππ=2+2=4.(4)?max{x,1?x}dx=?(1?x)dx??1xdx?.21201342. 计算下列各题： （1）?10x100dx，
（2）?41xxdx，
（3）?exdx,
（4）?10100dx, 21x（5）?sinxdx,
（6）?10xedx,
（7）?sin(2x?π)dx,1e11lnxdxtanx4x,
（10）?, （11）?0cos2xdx
0100?x22xπ20π20π（8）? x(1?x)dx,（9）?114x?解：（1）?xdx=.
（2）?xdx=x234?114. 31100x991xx11x?（3）?0edx?e0?e?1.
（4）?0100dx=.ln（5）?sinxdx??cosxπ20π20π20xxedx??1.
（6）?10211xe?0ed(x2)?222x21? e?1. 2（7）?sin(2x?π)dx=11sin(2x?π)d(2x?π)?cos(2x?π)=?1. =2?20eπ20π2(8)?e1lnx1e11x=?lnxd(lnx)=ln2x?. 2x2144111dx(10) ?=?011xdx11arctan=arctan=.x?()10π241（10）?π40tanx(tanx)tanxd(tanx)dx==?cos2x2π40= 1. 23. 求下列极限1?cosπx0解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得 x?1x?（1） limx1sinπtdt?arctant?.
（2）limx2dtlimx?1x?x1sinπtdt=limx?1(?sinπtdt)?1x1?cosπx2(1?cosπx)?=limsinπx11?lim()??x?1?πsinπxx?1?ππarctanx?x2（2）lim?arctant?dt?型x???lim?arctanx?21?12x?1?22x?2?limx??? ?limx????22?limarctanx??x44. 设y??x (t?1)dt，求y的极小值解： 当y??x?1?0，得驻点x?1，y''?1?0.x?1为极小值点，11y(1)?(x?1)dx?- 极小值 ?02?x?1,x?12?5. 设f?x???12，求?f?x?dx。0x,x?1??2解：?f?x?dx???x?1?dx?? 21211812?1?xdx??x2?x??x3? 2?2?061312?1x?sinx,0?x??6. 设f?x???2，求??x???f?t?dt。 ?其它?0,解：当x?0时，??x???f?t?dt??0dt?00011?cosxsintdt? ?022x?0xx当0?x??时，??x??x当x??时，??x???f?t?dt??0f?t?dt??f?t?dt???x?0x1sintdt??0dt?1，?2x?0?0,?1?故??x????1?cosx?,0?x???2x????1,7. 设f?x?是连续函数，且f?x??x?2解：令即A??f?t?dt，求f?x?。 111?10f?t?dt?A，则f?x??x?2A，从而?0f?x?dx??0?x?2A?dx?1?2A 211?2A，A??，∴f?x??x?1 22包含各类专业文献、生活休闲娱乐、应用写作文书、高等教育、文学作品欣赏、中学教育、专业论文、幼儿教育、小学教育、各类资格考试、行业资料、外语学习资料、97大学高等数学第五章 定积分及其应用答案等内容。　
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解：所求面积=∫&0,π/4&dθ∫&cosθ,2cosθ&rdr
=∫&0,π/4&[((2cosθ)^2-(cosθ)^2)/2]dθ
=(3/2)∫&0,π/4&(cosθ)^2dθ
=(3/4)∫&0,π/4&[1+cos(2θ)]dθ
(应用倍角公式)
=(3/4)(π/4+1/2)
=3(π+2)/16。
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