（2004o无锡）已知直线y=-2x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y=x2-（b+10）x+c．
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y=-2x+b上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y=-2x+b的解析式．
（1）先表示出B、P的坐标，然后将B代入抛物线的解析式中，将P代入直线的解析式中，联立两式可求出b、c的值，即可确定抛物线的解析式；
（2）可根据直线AB的解析式表示出A、B的坐标，即可求出OA、OB的长，由于∠ABC=90°，在直角三角形ABC中，可用射影定理求出OC的长，然后联立抛物线的对称轴方程即可求出b的值．也就求出了直线AB的解析式．
解：（1）直线y=-2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A坐标为（，0），点B坐标（0，b），
由题意知，抛物线顶点P坐标为（2
∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上，且过点B，
解得b1=-10，c1=-10，b2=-6，c2=-6，
∴抛物线解析式为y=x2-10或y=x2-4x-6；
（2）∵点A坐标（，0），点B坐标（0，b），
∴OA=||，OB=|b|，
又∵OA⊥OB，AB⊥BC，
∴△OAB∽△OBC
∴OB2=OAoOC，
即b2=OCo||，
∵抛物线y=x2-（b+10）x+c的对称轴为x=且抛物线对称轴过点C，
（i）当b≤-10时，-=-2b，
∴b=（舍去）
经检验，b=不合题意，舍去．
（ii）当-10≤b＜0时，=-2b，
（iii）当b＞0时，=2b，
此时抛物线对称轴直线为x=-=＞0，
BC与x轴的交点在x轴负半轴，
故不符合题意，舍去．
∴直线的解析式为y=-2x-2．已知抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OB=OC，tan∠ACO=，顶点为D．
（1）求点A的坐标．
（2）求直线CD与x轴的交点E的坐标．
（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大？请求出此时S的最大值和点N的坐标．
（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为（1，-1）或（1，--1）．
解：（1）当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为C（0，6），
在Rt△AOC中，tan∠ACO=，OC=6，
∴A（-1，0）；
（2）∵OB=OC，
∴B（3，0），
由题意，得，
∴y=-2x2+4x+6=-2（x-1）2+8，
∴D（1，8），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴直线CD的解析式为y=2x+6，
∴点E的坐标为E（-3，0）；
（3）假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，
当AE为平行四边形的边时，F1（2，6），F2（-2，6），
当AE为平行四边形的对角线时，F3（-4，-6），
经验证，只有点（2，6）在抛物线y=-2x2+4x+6上，
∴F（2，6）；
（4）如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，
设N（m，-2m2+4m+6），
当x=2时，y=6，
∴M（2，6），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
∴Q（m，2m+2），
∴NQ=-2m2+4m+6-（2m+2）=-2m2+2m+4，
∵S△ABM=×4×6=12，
∴S=S△ABM+S△AMN=12+S△ANQ+S△MNQ，
=12+×3×（-2m2+2m+4），
=-3m2+3m+18，
=-3（m-）2+，
∴当m=时，S的最大值为，
当m=时，y=-2x2+4x+6=-2×+4×+6=，
∴N（，）；
（5）设直线AM与对称轴相交于点E，
则y=2×1+2=4，
∴点E的坐标是（1，4），
设圆的半径为r，
①圆心在x轴上方时，=，
解得r=-1，
∴点P的坐标为（1，-1），
②圆心在x轴的下方时，=，
解得r=+1，
∴点P的坐标为（1，--1），
综上所述，点P的坐标为（1，-1）或（1，--1）．
（1）先令x=0求出点C的坐标，再利用三角函数值求出求出OA的值，从而得到点A的坐标；
（2）求出OB的长度，得到点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标D，再用待定系数法求出直线CD的解析式，就可以求出直线CD与x轴的交点E的坐标；
（3）根据AE是以点A、C、F、E为顶点的平行四边形的边或对角线可以求出对应F的坐标有3个，将三个坐标代入抛物线的解析式检验就可以确定在抛物线上的点F；
（4）过点N作NQ∥x轴交AM于点Q，根据抛物线的解析式设出点M的坐标，并求出点N的坐标，然后求出直线AM的解析式，再根据解析式以及点N的坐标设出点Q的坐标，然后表示出ABMN的面积S，再根据二次函数的最值问题进行解答即可；
（5）先求出直线AM与抛物线对称轴的交点E的坐标，利用勾股定理求出AE的长度，然后分①圆心在x轴上方②圆心在x轴的下方两种情况，根据相似三角形对应边成比例求出圆的半径r，写出点P的坐标即可．已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2-3,x属于[-1,2],求函数f(x)的最小值_百度知道
已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2-3,x属于[-1,2],求函数f(x)的最小值
提问者采纳
答：f(x)=x^2-2ax+a^2-3f(x)=(x-a)^2-3开口向上，对称轴x=a，定义域为[-1,2]1）x=a&=-1时，x=-1处取得最小值f(-1)=a^2+2a-22）-1&=x=a&=2时，x=a处取得最小值f(a)=-33）x=a&=2时，x=2处取得最小值f(2)=a^2-4a+1
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出门在外也不愁如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．-乐乐题库
& 二次函数综合题知识点 & “如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-...”习题详情
220位同学学习过此题，做题成功率75.9%
如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2012-庆阳
分析与解答
习题“如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C...”的分析与解答如下所示：
（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．
解：（1）设抛物线为y=a（x-4）2-1，∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0-4）2-1，a=14；∴抛物线为y=14(x-4)2-1=142-2x+3；（3分）（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当14(x-4)2-1=0时，x1=2，x2=6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，∴OB=2，AB=22+32=√13，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴ABBC=OBCE，即√134=2CE，解得CE=√1313，∵√1313＞2，∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为y=-12x+3；（8分）设P点的坐标为（m，14m2-2m+3），则Q点的坐标为（m，-12m+3）；∴PQ=-12m+3-（14m2-2m+3）=-14m2+32m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=12×（-14m2+32m）×6=-34（m-3）2+274；∴当m=3时，△PAC的面积最大为274；此时，P点的坐标为（3，-34）．（10分）
此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．
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如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，...
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经过分析，习题“如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C...”相似的题目：
如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，0）、C（1，3√3），将△OAC绕AC的中点G旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax2-2√3x经过点A，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式；（2）判断点B是否在抛物线上；（3）若点P是x轴上A点左边的一个动点，当以P、A、D为顶点的三角形与△OAB相似时，求出点P的坐标；（4）若点M是y轴上的一个动点，要使△MAD的周长最小，请直接写出点M的坐标．
如图，在平面直角坐标系xoy中，点A在y轴上坐标为（0，3），点B在x轴上坐标为（10，0），BC⊥x轴，直线AC交x轴于M，tan∠ACB=2．（1）求直线AC的解析式；（2）点P在线段OB上，设OP=x，△APC的面积为S．请写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）探索：在线段OB上是否存在一点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（4）当x=4时，设顶点为P的抛物线与y轴交于D，且△PAD是等腰三角形，求该抛物线的解析式．（直接写出结果）&&&&
已知抛物线y=x2-4x+1，将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．（1）求平移后的抛物线解析式；（2）由抛物线对称轴知识我们已经知道：直线x=m，即为过点（m，0）平行于y轴的直线，类似地，直线y=m，即为过点（0，m）平行于x轴的直线、请结合图象回答：当直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，实数m的取值范围；（3）若将已知的抛物线解析式改为y=x2+bx+c（b＜0），并将此抛物线沿x轴向左平移-b个单位长度，试回答（2）中的问题．&&&&
“如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-...”的最新评论
该知识点好题
1如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为&&&&
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有&&&&
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是&&&&
该知识点易错题
1如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有&&&&
2如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为&&&&
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
…（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．”相似的习题。教师讲解错误
错误详细描述：
如图所示，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，已知BC平行于x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8），抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
【思路分析】
（1）根据对称轴x=- ，代入求出即可；（2）令x=0，求出C的坐标，根据对称求出B的坐标，由AC=BC=5，OA=4，得到A的坐标，代入解析式即可求出解析式；（3）根据线段的垂直平分线定理得到PA=PB，根据勾股定理即可求出P的坐标．
【解析过程】
（1）∵抛物线定点的横坐标x＝−=2.5，∴抛物线的对称轴是直线x=2.5；（2）解：令x=0，则y=4，∴点C的坐标为（0，4），又BC∥x轴，点B，C关于对称轴对称，∴点B的坐标为B（5，4）由AC=BC=5，OA=3，点A在x轴上，∴点A的坐标为A（-3，0），∵抛物线过A，∴9a+15a+4=0，解得a=-，∴抛物线的解析式是y=-x2+x+4；（3）存在，设P点坐标为P（2.5，m），由PA=PB，∴PA2=PB2，∴5.52+m2=2.52+（4-m）2，∴m=-1，∴P点坐标为（2.5，-1）．
（1）抛物线的对称轴为直线x=2.5；（2）A（-3，0），B（5，4），（0，4），抛物线解析式为y=-x2+x+4；（3）存在，点P（2.5，-1）．
本题主要考查对线段的垂直平分线定理，勾股定理，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
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