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2012年华师大版初二下学期期末初二数学试题(2)
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新人教版八年级（上）数学竞赛试题及答案
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八年级（上）数学竞赛试卷命题人：南康三中　朱萍、曾二生& 　　　考试时间：100分钟&&&&&& 总分：100分一、精心填一填（本题共10题，每题3分，共30分）1.函数y= 中，字母a的取值范围是_____________、2.如图1，∠1=∠2，由AAS判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是____________.3．计算：×2008=_________&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 图1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 图24、写出一个图象经过点(-1,-1),且不经过第一象限的函数表达式&&&&&& 5．已知点P1（a-1，5）和P2（2，b-1）关于x轴对称，则（a+b）2005的值为&&&&&&&&&& ．6．如图2，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是＿＿＿＿＿＿＿7.如图3，AE＝AF，AB＝AC，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠BOC＝__________.8、如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有&&&&&& 个。9．如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x、y有&&&&& 则 =&&&&&&&&& 10．如图5所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的数与数轴上的数－1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数－2007将与圆周上的数字_________重合．&&&&&&&&& 图5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4二、相信你一定能选对！（本题共6题，每题3分，共18分）11．下列各式成立的是（& ）&&& A．a-b+c=a-（b+c）&&&&&& B．a+b-c=a-（b-c）&&& C．a-b-c=a-（b+c）&&&&&& D．a-b+c-d=（a+c）-（b-d）12．已知一次函数y=kx+b的图象（如图6），当y＜0时，x的取值范围是（& ）（A）x＞0&&& （B）x＜0&&&& （C）x＜1&& （D）x＞1
图6&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 图713.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是&&&&&&&&&&& （&& ）A.∠A&&&&&&&&&& B.∠B&&&&&&& C.∠C&&&&&&&& D.∠B或∠C14．某校八（2）班的全体同学喜欢的球类运动用图7所示的扇形统计图来表示，下面说法正确的是（&&& ）A、从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数；B、从图中可以直接看出全班的总人数；C、从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况；D、从图中可以直接看出全班同学现在喜欢各种球类的人数的大小关系15．已知一次函数y=mx+│m+1│的图像与y轴交于点（0，3），且y随x的增大而减小，则m& 的值为（& ）．&&& A．2&&&& B．-4&&&& C．-2或-4&&&& D．2或-416．设y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c为常数)，已知当x=7时，y=7，则x= -7时，y的值等于(&&&& )A、-7&&&&&& B、-17&&&& C、17&&& D、不确定三、认真解答，一定要细心哟！（各6分，共18分）17. 先化简再求值： ，其中 =5，ｙ=2。&
18．如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张庄、李庄送水，修在河边什么地方，（1）到张庄、李庄的距离相等。（2）可使所用的水管最短？（请通过你所学的知识画出这个地点的位置）
&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　　　　　　　　第（1）题图　　　　　　　　　　　　　　第（2）题图　　　　　　　　　　　　　
19．如图所示，两根旗杆间相距12m，某人从B点沿BA走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，求这个人运动了多长时间？&
四、数学知识应用（20题、21题各8分，共16分）20．已知，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，AE=CD，连接AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q（1）求∠BPD的度数；（2）若PQ=3，PE=1，求AD的长。
21．两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数。
五、探究题，努力就会成功（各9分，共18分）22、某军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱的余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图.回答问题：(1) 加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？(2) 求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；(3) 运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地，油料是否够用？请通过计算说明理由．
23．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．(友情提示:角平分线上的点到这个角两边的距离相等)&
一、精心填一填1、a≥1&&& 2、∠B＝∠C&&&&&& 3、1&&&&&&&&&&&&& 4、y=-x-2(答案不唯一)&&& 5、-1&&&&&&& 6、15厘米&&&&& 7、108°&& 8、8&&&&& 9、163/11310、2&& 二、选择题C CADBB三、17、解：原式＝ [（x2-4y2）-（x2+8xy+16y2）]/4y&&&&& (2分)&&&&&&&&& =（-8xy-20 y2）/4y&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (3分)&&&&&&& =-2x-5y&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (4分)当 =5，ｙ=2& 时，原式＝-2x-5y=-2*5-5*2=-20&&& (6分)18、画图正确各2分，结论各1分。19、解析：∵∠CMD=90°，&&& ∴∠CMA+∠DMB=90°．&&& 又∵∠CAM=90°，&&& ∴∠CMA+∠ACM=90°，&&& ∴∠ACM=∠DMB．　　　　　　　　（2分）&&& 又∵CM=MD，&&& ∴Rt△ACM≌Rt△BMD，　　　　　　　　（4分）&&& ∴AC=BM=3，&&& ∴他到达点M时，运动时间为3÷1=3（s）．&&& 这人运动了3s．　　　　　　　　　　　　　（6分）四、20、解（1）证得，△ABE≌△ACD－—－—－（3分）∴∠ABE=∠CAD∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP&&&&&&& =∠CAD+∠BAP&&&&&&& =∠BAC=60°&&& （5分）（２）在RT△BPQ中，∠BPQ=60°，∴∠PBQ＝30°又PQ=3，∴BP=2PQ=6&&&&&& （7分）又PE=1，∴BE=BP+PE=7由（1）得△ABE≌△ACD　　∴AD＝BE＝7　　（8分）
21、解：设大数为x，则小数为999-x，　　　（1分 ）由题意得&&&&&&&&&&&&&&&& （5分 ）解这个方程得：x=857,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （7分 ）∴999-x=142&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 答：大数为857，小数为142。&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （8分）
五、22、解 (1)由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，全部加给运输飞机需10分钟．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2分）(2)设Q1＝kt＋b，把(0,36)和(10,65)代入，得b=36&&&&&&& 10k+b=65　　　　　　　　　　　　　　　　（3分）解得　&& b=36　　　　k=2.9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5分）所以Q1＝2.9t＋36(0≤t≤10)．　　　　　　　　　　　　（6分）(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨．　　　　　　（7分）所以10小时耗油量为：10×60×0.1＝60（吨）＜65（吨）,　　　　 （8分）所以油料够用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（9分）23．解析：CE=CF=GB．　　　　　　　　（1分）&&& 理由：（1）∵∠ACB=90°，&&& ∴∠BAC+∠ABC=90°．&&& ∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°．&&& ∴∠ACD=∠ABC．&&& ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．&&& ∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，&&& ∠CEF=∠CAE+∠ACD，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF（等角对等边）．　　（5分）&&& （2）如答图，过E作EH⊥AB于H．　　　　　　（6分）&&& ∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC．&&& ∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．&&& ∴EH=EC，∴EH=CF．&&& ∵EG∥AB，∴∠CGF=∠EBH．&&& ∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴∠CFG=∠EHB=90°．&&& 在Rt△CFG和Rt△EHB中，&&& ∠CGF=∠EBH，∠CFG=∠EHB，CF=EH，&&& ∴Rt△CFG≌Rt△EHB．&&& ∴CG=EB，∴CE=GB．&&& ∴CE=CF=GB．　　　　　　　　　　　　　　　　　　（9分）
其他方法酌情给分。
& 青华园2012中考全托冲刺班--中考提分 创造“神话”.....
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第一题。已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC² 证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB 故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆 故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA 故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC² 第二题。已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P． （1）设DE=m(0&m&12)，试用含m的代数式表示FH:HG的值； （2）在（1）的条件下，当FH:HG=1:2时，求BP的长． 解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M 不难证明：△ADE≌△GMF(AAS) 故：GF=AD=12,FM=DE=m 不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²） 因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²） 在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE² 故：EF=6+m²/12=AF 故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24 故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] (2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2 故：m=4√3 故：AF=EF=10 不难证明：△ADE∽△PAF 故：DE/AF=AD/AP 故：AP=10√3 故：BP＝10√3－12 第三题。在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC) 证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点 故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC 过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点 因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC 故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形 故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN 故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC 故：(1/CE)+(1/BF)= CM/(BC•CQ)+ BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]/ /BC²= 6MN/ BC²=3BC/ BC²=3/BC 第四题。一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证： (BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1 证明：过C作CM‖AB，交XY于M 故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ, 故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX 故：AZ/BZ＝YZ•MX /( MY•XZ) 故：(BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=（XZ/MX）•（MY/YZ）•[Y
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因为∠BDC=∠FGB,∠CBD公共，所以△BGF∽△BDC 所以有 BG/BD=BF/BC ,即BF*BD=BG*BC ....(1) 因为∠BDC=∠CEA,即∠BEF=∠BDA ,∠ABD公共，所以△BEF∽△BDA 所以有 BF/BA=BE/BD ,即BE*BA=BF*BD .....(2) 同理可以证明，△BFG∽△BCD 所以有 CF/BC=CG/CE ,即CG*BC=CE*CF ......(3) 同理可以证明，△CEA∽△CDF ,所以有CE/CD=CA/CF ,即CE*CF=CD*CA ......(4) 由(1)(2)两式得: BE*BA=BG*BC ,因为BG=BC-CG ,所以 BE*BA=BC²-CG*BC ......(5) 由(3)(5)两式得： BE*BA=BC²-CE*CF .......(6） 由(4)(6)两式得： BE*BA=BC²-CD*CA 所以 BE*BA+CD*CA=BC²
1、已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC² 证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC²2、已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P． （1）设DE=m(0&m&12)，试用含m的代数式表示FH:HG的值； （2）在（1）的条件下，当FH:HG=1:2时，求BP的长．解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M不难证明：△ADE≌△GMF(AAS)故：GF=AD=12,FM=DE=m不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE²故：EF=6+m²/12=AF故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）](2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2故：m=4√3故：AF=EF=10不难证明：△ADE∽△PAF故：DE/AF=AD/AP故：AP=10√3故：BP＝10√3－12 3、在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC) 证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC故：(1/CE)+(1/BF)= CM/(BC•CQ)+ BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]/ /BC²= 6MN/ BC²=3BC/ BC²=3/BC4、一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证： (BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1证明：过C作CM‖AB，交XY于M故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ, 故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX故：AZ/BZ＝YZ•MX /( MY•XZ)故：(BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=（XZ/MX）•（MY/YZ）•[YZ•MX /( MY•XZ)]=1
第一题。已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC² 证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB 故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆 故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA 故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC² 第二题。已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P． （1）设DE=m(0&m&12)，试用含m的代数式表示FH:HG的值； （2）在（1）的条件下，当FH:HG=1:2时，求BP的长． 解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M 不难证明：△ADE≌△GMF(AAS) 故：GF=AD=12,FM=DE=m 不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²） 因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²） 在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE² 故：EF=6+m²/12=AF 故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24 故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] (2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2 故：m=4√3 故：AF=EF=10 不难证明：△ADE∽△PAF 故：DE/AF=AD/AP 故：AP=10√3 故：BP＝10√3－12 第三题。在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC) 证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点 故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC 过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点 因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC 故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形 故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN 故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC 故：(1/CE)+(1/BF)= CM/(BC•CQ)+ BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]/ /BC²= 6MN/ BC²=3BC/ BC²=3/BC 第四题。一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证： (BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1 证明：过C作CM‖AB，交XY于M 故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ, 故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX 故：AZ/BZ＝YZ•MX /( MY•XZ) 故：(BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=（XZ/MX）•（MY/YZ）•[Y 回答者： qaz2455 - 门吏 三级
5-20 18:371、已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC² 证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB 故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆 故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA 故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC² 2、已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P． （1）设DE=m(0&m&12)，试用含m的代数式表示FH:HG的值； （2）在（1）的条件下，当FH:HG=1:2时，求BP的长． 解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M 不难证明：△ADE≌△GMF(AAS) 故：GF=AD=12,FM=DE=m 不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²） 因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²） 在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE² 故：EF=6+m²/12=AF 故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24 故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] (2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2 故：m=4√3 故：AF=EF=10 不难证明：△ADE∽△PAF 故：DE/AF=AD/AP 故：AP=10√3 故：BP＝10√3－12 3、在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC) 证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点 故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC 过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点 因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC 故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形 故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN 故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC 故：(1/CE)+(1/BF)= CM/(BC•CQ)+ BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]/ /BC²= 6MN/ BC²=3BC/ BC²=3/BC 4、一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证： (BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1 证明：过C作CM‖AB，交XY于M 故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ, 故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX 故：AZ/BZ＝YZ•MX /( MY•XZ)
第一题。已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC² 证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB 故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆 故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA 故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC² 第二题。已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P． （1）设DE=m(0&m&12)，试用含m的代数式表示FH:HG的值； （2）在（1）的条件下，当FH:HG=1:2时，求BP的长． 解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M 不难证明：△ADE≌△GMF(AAS) 故：GF=AD=12,FM=DE=m 不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²） 因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²） 在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE² 故：EF=6+m²/12=AF 故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24 故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] (2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2 故：m=4√3 故：AF=EF=10 不难证明：△ADE∽△PAF 故：DE/AF=AD/AP 故：AP=10√3 故：BP＝10√3－12 第三题。在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC) 证明：因为等边三角形ABC，P、Q为AB、AC中点 故：AB＝AC＝BC，BP＝1/2AB=1/2AC=CQ=1/2BC 过Q作QM‖BE，交BC于M；过P作PN‖CF，交BC于N；PN、QM交于O点 因为P、Q为AB、AC中点，故：PQ‖BC，PQ＝1/2BC 故：四边形PDCN、DQMB均为平行四边形 故：DQ＝BM,PD=CN，故：MN＝1/2BC=PQ=BM+CN 故：CQ/CE=CM/BC,PB/BF=BN/BC 故：(1/CE)+(1/BF)= CM/(BC•CQ)+ BN/(BC•PB)=(2CM+2BN)/BC²=[2(BM+CN)+4MN]/ /BC²= 6MN/ BC²=3BC/ BC²=3/BC 第四题。一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证： (BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=1 证明：过C作CM‖AB，交XY于M 故：BX/CX=XZ/MX=BZ/CM，CY/YA=MY/YZ=CM/AZ, 故：AZ=YZ•CM/MY,BZ=XZ•CM/MX 故：AZ/BZ＝YZ•MX /( MY•XZ) 故：(BX/CX)•(CY/YA)•(AZ/BZ)=（XZ/MX）•（MY/YZ）•[Y
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１．已知，正方形ABCD，E，Ｆ分别为BC，DC中点。连AF，DE交于G，连BG．求证：∠1=∠2.
2.如图，E是边长为1的正方形ABCD上对角线BD上的一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR等于？
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