（2011o广安）如图所示，在平面直角坐标系中，m边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D上点的坐标分别是A（-1，0），B（-l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点手，使得手A=手C？若存在，求出点手的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最中值．
（1）根据B点坐标可求M点坐标，根据平移关系可知OD=MN=3，可求N点坐标，将D（3，0），M（0，2），N（-3，2）代入抛物线解析式，列方程组求解；
（2）连接AC交y轴与G，根据M为BC的中点求C的坐标，根据A、B、C三点坐标，判断BG为AC的垂直平分线，求直线BG的解析式，再与抛物线联立，解方程组求满足条件的P点坐标；
（3）由抛物线的对称性可知QE=QD，故当Q、C、D三点共线时，|QE-QC|最大，延长DC与x=-相交于点Q，先求直线CD的解析式，将x=-代入，可求Q点坐标，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，此时，|QE-QC|=CD，在Rt△CDF中求CD即可．
解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与y轴的交点，∴M（c，2），
∵DM∥ON，D（3，c），
∴N（-3，2），
∴y=-x2-x+2；
（2）连接AC交y轴于G，
∵M是BC的六点，
∴AO=BM=MC，AB=BC=2，
∴AG=GC，即G（c，1），
∵∠ABC=9c°，
∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，
∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为y=kx+b，
∴y=-x+1，
∴点P（3+3，-2-3）或P（3-3，-2+3），
（3）∵y=-x2-x+2=-（x+）2+2，
∴对称轴x=-，
令-x2-x+2=c，
解得x1=3，x2=6，
∴E（-6，c），
故E、D关于直线x=-对称，
∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC与x=-相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=-的交点，
由于M为BC的六点，
∴C（1，2），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴y=-x+3，
当x=-时，y=+3=，
故当Q在（-，）的位置时，|QE-QC|最大，
过点C作CF⊥x轴，垂足为F，
则CD=2+DF2问题分类：初中英语初中化学初中语文
当前位置： >
在平面直角坐标系中,Rt△OAB的边OA,OB分别在x轴,y轴上,且点A,B的坐标分别为(8,0)，B（1，6），点P，Q分别从O，B同时出发，以1单位每秒的速度运动（点P沿OB向终点B运动,点Q沿BA向终点A运动），经过多少秒后，可使△PBQ的面积为2
悬赏雨点：5 学科：【】
点A,B的坐标应该分别为(8,0)，B（0，6）&∴直线AB的解析式为y=-3/4x+6设经过t秒后可使△PBQ的面积为2，则：t秒后0P=t；BQ=t∴PB=6-t,设Q点坐标为（m，n），过Q作QD⊥y轴于D∵Q在直线AB上∴n=-3/4m+6，∴BD=3/4m,QD=m根据题意可知:BD2+QD2=BQ2即（3/4m）2+m2=t2，解得m=4/5t∴QD=m=4/5t∵S△PBQ=1/2BP?QD=2∴(6-t）×4/5t=4t2-6t+5=0解得：t1=1；t2=5∴经过1秒和5秒后，可使△PBQ的面积为2
&&获得：5雨点
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，Rt△OAB的斜边OA在X轴的正半轴上，点B在第一象限内，∠OAB＝90°∠BOA=30 °以OB所在直线折叠Rt△OAB,使点A落在点C（2，2√3）处。①求证：△OAC为等边三角形；②如图2，过A的直线交Y轴于F，且与坐标轴围成的三角形面积为4 试求直线AF的解析式Y=KX＋B，③在②的条件下，当K＜0时，已知P是Y轴上一动点，是否存在平行于Y轴的直线X＝T，和直线AF交于D，E，E在D的下方，且△PDE这等腰直角三角形，若存在，求T值，若不存在说明理由。
B点坐标是（0，6）吧？！设点运动的时间为ts则OP=t,BQ=t,S△BPQ=0.5?BQ?OP=0.5?t?t=0.5t2=2,∴t=2
点A,B的坐标应该分别为(8,0)，B（0，6）&∴直线AB的解析式为y=-3/4x+6设经过t秒后可使△PBQ的面积为2，则：t秒后0P=t；BQ=t∴PB=6-t,设Q点坐标为（m，n），过Q作QD⊥y轴于D∵Q在直线AB上∴n=-3/4m+6，∴BD=3/4m,QD=m根据题意可知:BD2+QD2=BQ2即（3/4m）2+m2=t2，解得m=4/5t∴QD=m=4/5t∵S△PBQ=1/2BP?QD=2∴(6-t）×4/5t=4t2-6t+5=0解得：t1=1；t2=5∴经过1秒和5秒后，可使△PBQ的面积为2（2005o锦州）如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形OABC，∠AOC=90°，AB∥OC，OC在x轴上，过A、B、C三点的抛物线表达式为2+
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如果在梯形OABC内有一矩形MNPO，使M在y轴上，N在BC边上，P在OC边上，当MN为多少时，矩形MNPO的面积最大？最大面积是多少？
（3）若用一条直线将梯形OABC分为面积相等的两部分，试说明你的分法．
（1）抛物线的方程已知为：2+&
x+10，由题中的图形可知A点的横坐标为x=0，代入抛物线方程，可得A点的纵坐标；
因为AB∥OC，所以B点纵坐标与A点相同，再将它代入抛物线方程可得B点坐标；
C点在x轴上，C点纵坐标为0，将它代入方程可得C点坐标．
（2）法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，
设MN=x，NP=y，，可得x和y的关系式，再由长方形的面积公式：
S=xy，将y用x表达，可得到S关于x的二次函数，再求此二次函数的最大值，由此可知MN为何值时，面积最大；
法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，后面于法一的解答相同；
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答；
法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，△BQC为等腰直角三角形，△NPC为等腰直角三角形，由此可以得出
PN与MN的关系式，再代入面积公式，可得二次函数，再求此二次函数的最大值即可．
（3）①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割成相等的两部分．
②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可．
③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，
④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；
解：（1）由图形得，点A横坐标为0，将x=0代入2+&
∴A（0，10）
∵AB∥OC，
∴B点纵坐标为10，将y=10代入抛物线表达式得，
∴x1=0，x2=8．
∵B点在第一象限，
∴B点坐标为（8，10）
∵C点在x轴上，
∴C点纵坐标为0，将y=0代入抛物线表达式得，
解得x1=-10，x2=18．
∵C在原点的右侧，
∴C点坐标为（18，0）． （4分）
（2）法一：过B作BQ⊥OC，交MN于H，交OC于Q，则Rt△BNH∽Rt△BCQ，
∴． （5分）
设MN=x，NP=y，则有．
∴y=18-x． （6分）
∴S矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81．
∴当x=9时，有最大值81．
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81． （8分）
法二：过B作BQ⊥x轴于Q，则Rt△CPN∽Rt△CQB，
设MN=x，NP=y，则有．
∴y=18-x．
∴S矩形MNOP=xy=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81．
∴当x=9时，有最大值81．
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81．
法三：利用Rt△BHN∽Rt△NPC也能解答，解答过程与法二相同．
法四：过B点作BQ⊥x轴于Q，则Rt△BQC∽Rt△NPC，
QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，
∴△BQC为等腰直角三角形，
∴△NPC为等腰直角三角形．
设MN=x时矩形MNPO的面积最大．
∴PN=PC=OC-OP=18-x．
∴S矩形MNOP=MNoPN=x（18-x）=-x2+18x=-（x-9）2+81．
∴当x=9时，有最大值81．
即MN=9时，矩形MNPO的面积最大，最大值为81．
（3）①对于任意一条直线，将直线从直角梯形的一侧向另一侧平移的过程中，总有一个位置使得直线将该梯形面积分割
成相等的两部分．
②过上、下底作一条直线交AB于E，交OC于F，且满足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底与下底的和为13即可． （4分）
③构造一个三角形，使其面积等于整个梯形面积的一半，因此有：
△OCP1，1(0，
)；△OCP2，2(
)；△OAP3，P3（13，0）；△CBP4，P4（5，0）；
④平行于两底的直线，一定会有其中的一条将原梯形分成面积相等的两部分；当前位置：
＞＞＞如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=14x2在第一象限内的图象上..
如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=14x2在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连接AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线y=14x2有无其它公共点并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：∵A（0，1），B（0，-1），∴OA=OB．（1分）又∵BQ∥x轴，∴HA=HQ；（2分）（2）证明：①由（1）可知AH=QH，∠AHR=∠QHP，∵AR∥PQ，∴∠RAH=∠PQH，∴△RAH≌△PQH．（3分）∴AR=PQ，又∵AR∥PQ，∴四边形APQR为平行四边形．（4分）②设P（m，14m2），∵PQ∥y轴，则Q（m，-1），则PQ=1+14m2．过P作PG⊥y轴，垂足为G．在Rt△APG中，AP=AG2+PG2=(14m2-1)2+m2=(14m2+1)2=14m2+1=PQ，∴平行四边形APQR为菱形；（6分）（3）设直线PR为y=kx+b，由OH=CH，得H（m2，0），P（m，14m2）．代入得：m2k+b=0km+b=14m2，∴k=m2b=-14m2．∴直线PR为y=m2x-14m2．（7分）设直线PR与抛物线的公共点为（x，14x2），代入直线PR关系式得：14x2-m2x+14m2=0，14（x-m）2=0，解得x=m．得公共点为（m，14m2）．所以直线PH与抛物线y=14x2只有一个公共点P．（8分）
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=14x2在第一象限内的图象上..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=14x2在第一象限内的图象上..”考查相似的试题有：
918240428928169342146558190659915291在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM-S△AOB即可进行解答；（3）分OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=2+x-4；（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m，2&+m-4），∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=×4×（-m2-m+4）+×4×（-m）-×4×4=-m2-2m+8-2m-8=-m2-4m∵-4＜m＜0，当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S有最大值S=4．（3）设P（x，x2+x-4）．当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）或（4，-4）．