dy/dx-y/x=2x的平方，求一阶线性方程组的解法的解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-21 07:31 标签： 非线性方程
微分方程dy/dx-y/x=2x^2的通解_百度知道
微分方程dy/dx-y/x=2x^2的通解
参考齐程知识用换元：令u=y/x,则dy/dx=x*du/dx+换算代入dy/dx-y/x=2x^2
x*du/dx+u-u=2x^2s剩余自弄吧
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（X^2+C）*X
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出门在外也不愁一阶线性微分方程,可降阶的高阶微分方程_百度文库
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一阶线性微分方程,可降阶的高阶微分方程|一​阶​线​性​微​分​方​程​,​可​降​阶​的​高​阶​微​分​方​程
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你可能喜欢一阶线性微分方程怎么求通解 找不到思路 想直接用公式又配不好_百度知道
提问者采纳
最上面两个式子直接设y=Q(x)·exp(-sinx)和y=Q(x)·exp(cosx)，其中Q(x)为待定函数，代入后就可以消去e的指数函数项按照一般的一阶微分方程求解了。——这是解带指数函数一阶方程常用的办法。第二行左侧的式子同样可以设y=exp[Q(x)]，那么dy=Q`(x)·exp[Q(x)]dx，这样原式可以变成：Q+(x-Q)Q`=0，同上理可解。第二行右侧的式子用代换y=x³Q(x)，那么dy/dx=3x²Q+x³Q`，代入原式变成：3x²Q+x³Q`+(2-3x²)Q=1，剩下的式子很简单就留给lz自己算了。最后一行式子整理成分式形式：dy/dx=2y/(6x-y²)，两侧取倒数得到：dx/dy=3(x/y)-(y/2)，注意观察右侧含有x/y，利用齐次方程的解法令x=uy（注意自变量和函数），那么整理得到：u`-2(u/y)=-1/2；显然再利用齐次方程的解法，令u=vy，得到：v`y-v=-1/2，再分离变量得到：dv/(v-0.5)=dy/y，解得：ln(v-0.5)=y+C，最后把x回代得到：ln[(x/y²)-0.5]=y+C，两边取指数函数得到标准形式：x/y²-(1/2)=Dexp(y)，D=expC为任意常数。
有点看不懂..
不过还好自己看书会做了
可以看下这两个么
一定会采纳的
第一题可以整理得到：(dx/dy)+x=2y[exp(-y)]这是一个以y为自变量，x为函数的一阶线性微分方程，直接套书上的公式就ok了。P=1 Q=2y[exp(-y)]通解就是：x=exp(-y)[∫2y[exp(-y)][exp(y)]dy+C]=(y²+C)/[exp(y)]………………C为任意常数第二题直接移项分离变量有：-dρ/ρ=2exp(2θ)dθ/[1+exp(2θ)]两边积分得到：C-lnρ=ln[1+exp(2θ)]………………C为任意常数两边在做e的指数函数得到：D/ρ=1+exp(2θ)………………D为任意常数，D=exp(C)即ρ[1+exp(2θ)]=D
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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（1）y'+ycosx=e^(-sinx)
解：∵y'+ycosx=e^(-sinx)
==&dy+ycosxdx=e^(-sinx)dx
==&e^(sinx)dy+ycosxe^(sinx)dx=dx
(等式两端同乘e^(sinx))
==&d(ye^(sinx))=dx
==&ye^(sinx)=x+C
==&y=(x+C)e^(-sinx)
∴原方程的通解是y=(x+C)e^(-sinx)。（2）dy/dx+ycotx=5e^(cosx)
解：∵dy/dx+ycotx=5e^(cosx)
==&dy+ycotxdx=5e^(cosx)dx
==&sinxdy+ycosxdx=5e^(cosx)sinxdx
(等式两端同乘sinx)
==&d(ysinx)=-5d(e^(cosx))
==&ysinx=C-5e^(cosx)
==&y=(C-5e^(cosx))cscx
∴原方程的通解是y=(C-5e^(cosx))/sinx。（3）ylnydx+(x-lny)dy=0
解：∵ylnydx+(x-lny)dy=0
==&ylnydx+xdy=lnydy
==&lnydx+xdy/y=lnydy/y
(等式两端同除y)
==&d(xlny)=d((lny)^2/2)
==&xlny=(lny)^2/2+C
==&x=lny/2+C/lny
∴原方程的通解是x=lny/2+C/lny。（4）dy/dx+(2-3x^2)y/x^3=1
解：∵dy/dx+(2-3x^2)y/x^3=1
==&x^3dy+(2-3x^2)ydx=x^3dx
==&e^(-1/x^2)dy/x^3+(2/x^6-3/x^4)ye^(-1/x^2)dx=e^(-1/x^2)dx/x^3
(等式两端同乘e^(-1/x^2)/x^6)
==&d(e^(-1/x^2)y/x^3)=d(e^(-1/x^2)/2)
==&e^(-1/x^2)y/x^3=e^(-1/x^2)/2+C
==&y=(1/2+Ce^(1/x^2))x^3
∴原方程的通解是y=(1/2+Ce^(1/x^2))x^3。（5）(y^2-6x)dy/dx+2y=0
解：∵(y^2-6x)dy/dx+2y=0
==&y^2dy-6xdy+2ydx=0
==&dy/y^2-6xdy/y^4+2dx/y^3=0
(等式两端同除y^4)
==&-d(1/y)+2d(x/y^3)=0
==&-1/y+2x/y^3=2C
==&x=Cy^3+y^2/2
∴原方程的通解是x=Cy^3+y^2/2。
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出门在外也不愁求微分方程y平方dx-(y平方+2xy-x)dy＝0的通解_百度知道
求微分方程y平方dx-(y平方+2xy-x)dy＝0的通解
y^2 dx - (y^2 + 2xy - x) dy = 0，将 y 看成自变量. 方程可以化为：dx/dy + (1 - 2y)/y^2 * x = 1. 然后利用一阶线性方程 dx/dy + p(y) * x = q(y) 的公式：x = e^(- ∫ p(y) dy) * (C + ∫ q(y) * e^( ∫ p(y) dy) dy)这个题目里面，p(y) = (1 - 2y) / y^2 ，q(y) = 1. 代入上式计算得到：x = e^(- ∫ (1 - 2y) / y^2 dy) * (C + ∫ e^( ∫ (1 - 2y) / y^2 dy) dy)= y^2 * e^(1/y) * (C + ∫ e^(-1/y) / y^2 dy)= y^2 * e^(1/y) * (C + e^(-1/y))= C * y^2 * e^(1/y) + y^2.其中，C为任意常数.
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dx/dy=1+2x/y-x/y^2 dx/dy-(2/y-1/y^2)x=1 这是一阶线性方程，可用公式
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出门在外也不愁一阶线性微分方程的通解公式 (x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)^3,求y的通解_百度知道
一阶线性微分方程的通解公式 (x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)^3,求y的通解
解：∵(x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)³& & &==&(x-2)dy=[y+2*(x-2)³]dx& & & & &==&(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx& & & & &==&[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx& & & & &==&d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]& & & & &==&y/(x-2)=(x-2)²+C & (C积数)& & & & &==&y=(x-2)³+C(x-2)& & &∴原程通解y=(x-2)³+C(x-2) & (C积数)&&&明白面式面
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(x-2)dy-ydx=(x-2)dy-yd(x-2)联想于除式做微候d(f(x)/g(x))=(gdf-fdg)/(g^2)形式类似凑形式：[(x-2)dy-yd(x-2)]/(x-2)^2
[类比f(x)=y,g(x)=x-2 ]=d[y/(x-2)] 右边式d[(x-2)^2]逆运算
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微(或导数)公式反着用已：d[y/(x-2)]=[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²；d[(x-2)²]=2*(x-2)dx；所[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx
==&d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]题按阶线性非齐微程数变易做应该比种更容易
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