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柯西不等式各种形式的证明及其应用
本文介绍了柯西不等式的各种形式及其证明方法,也简单介绍了柯西不等式相关背景知识及其应用。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等
式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，
正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式
在一般形式中，令n?2,a1?a,a2?b,b1?c,b2?d，得二维形式
?n????akbk??k?1?
等号成立条件：ad?bc?a/b?c/d?
扩展：?a12?a2?a3?????an??b1?b2?b3?????bn???a1b1?a2b2?a3b3?????anbn?
?当ai?0或bi?0时，ai和bi都等于0，?等号成立条件：a1:b1?a2:b2?????an:bn??
?不考虑ai:bi,i?1,2,3,???,n?
二维形式的证明：
??a,b,c,d?R?
?ac?bd?ad?bc
?ac?2abcd?bd?ad?2abcd?bc??ac?bd???ad?bc???ac?bd?
等号在且仅在ad?bc?0即ad=bc时成立
等号成立条件：ad?bc
三角形式的证明：
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柯西不等式各种形式的证明及其应用_学习总结_总结/汇报_应用文书。本文介绍了柯西不等式的各种形式及其证明方法,也简单介绍了柯西不等式相关背景知识及其应用。... 柯西不等式的形式、证明及其应用_数学_自然科学_专业资料。龙源期刊网 .cn 柯西不等式的形式、证明及其应用 作者:李斌 来源:《中学生...+xn 的最大值, 上面我们介绍了柯西不等式及各种形式,并证明了一 般形式, 在此基础上并阐述了它的一些应用. ——————————————————— 参考文献:...(安徽师范大学数学系,安徽蚌埠233000) 摘要:探讨了柯西不等式多种证明方法,通过一系列的例题,反映了柯西不等式在函数求最值、证明不等 式及其在几何上的广泛应用... 柯西不等式的证明及应用_数学_自然科学_专业资料。第4 2卷第1期201 3年1... 使之适合于柯西不等式的各种形式 .3.1 导出重要公式 ( )点到直线的距离...柯西不等式的证明及其应用赵增林 (青海民族大学,数学学院,青海,西宁,810007) 摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,本文用五种不同的方法证明了柯西不等式,... 柯西不等式的证明与应用_上__文学_高等教育_教育专区。8 中等数学 柯西不...1.2 柯西不等式的变形 柯西不等式有多种变形 ( 如积分形式 、概 率形式 ...柯西不等式的证明及应用_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载 柯西不等式的证明及应用_数学_自然科学_专业资料。l}r 警课哥 { 辅导 2013第26... 格式:doc 关键词:暂无乘机安全小贴士 飞机安全座位图 十种方法让您避免晕机 ... 柯西不等式的证明及其应用摘要 柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的...柯西不等式_百度文库
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柯西不等式|
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二维形式的柯西不等式58
不等式选讲第11课时；二维形式的柯西不等式；学习目标：1；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用；教学过程：；一、引入：；除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯；1、什么是柯西不等式：；定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d；(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2，；其中等号当且仅当ad?bc时成立；证明：略；推论：；1
不等式选讲第11课时二维形式的柯西不等式学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2，其中等号当且仅当ad?bc时成立。证明：略。推论：1． a2?b2?c2?d2?|ac?bd|(当且仅当ad=bc时，等号成立.)2．(a?c)(b?d)?(ac?)2.(a,b,c,d?R?)(当且仅当ad=bc时，等号成立.)3．a2?b2?c2?d2?|ac|?|bd|（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立）例1：已知a,b为实数，求证(a?b)(a?b)?(a?b) 4422332说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。 例题2：求函数y?5x?1??2x的最大值。分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（|ac?bd|?a2?b2?c2?d2）解：函数的定义域为【1，5】，且y&0y?5?x?1?2??x?52?(2)2?(x?1)2?(?x)2?27?4?63当且仅当2?x?1?5?5?x时，等号成立，即x?课堂练习：1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)22.求函数y?3x?5?6?x的最大值.例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证127时，函数取最大值63 2711??4 ab111111分析：注意到??(a?b)(?)，有了(a?b)(?)就可以用柯西不等ababab式了。课堂练习： 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 几何意义：设?，?为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a,b），B（c,d），那么它们的数量积为????ac?bd， 而|?|?a2?b2，|?|?c2?d2，所以柯西不等式的几何意义就是：|?|?|?|?|???|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设?，?为平面上的两个向量，则|?|?|?|?|???|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x2?x3)2?(y2?y3)2?(x1?x3)2?(y1?y3)2 分析：（课件）思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？ 小结：灵活运用类似a+b=1等式子，把问题化成可以应用柯西不等式的结构，是解决问题的关键。 作业：P37页，4，5， 7，8，9 不等式选讲第12课时一般形式的柯西不等式学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学过程：一．复习：定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2，其中等号当且仅当ad?bc时成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）设?，则|?|?|?|?|???|，?为平面上的两个向量，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x2?x3)2?(y2?y3)2?(x1?x3)2?(y1?y3)2二．新课类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到(a1?a2?a3)(b1?b2?b3)?(a1b1?a2b2?a3b3)2当且仅当
共线时，即 β?0 ，或存在一个实数k，使得ai?kbi(i?1,2,3)时，等号成立.这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？4、定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i?1，2，…，222222n）为任意实数，则：?aii?1n2?bi?(?aibi)2，其中等号当且仅当2i?1i?1nnbb1b2????n时a1a2an成立（当ai?0时，约定bi?0，i?1，2，…，n）。证明：构造二次函数：f(x)?(a1x?b1)?(a2x?b2)???(anx?bn) 222即构造了一个二次函数：f(x)?(?ai)x?2(?aibi)x??bi 222i?1i?1i?1nnn由于对任意实数x，f(x)?0恒成立，则其??0，即：??4(?ab)iii?12n2?4(?ai)(?bi)?0， 22i?1i?1nnn即：(?aibi)?(?ai)(?bi)， 22i?1i?1i?1nn等号当且仅当a1x?b1?a2x?b2???anx?bn?0， 即等号当且仅当。 n）bb1b2????n时成立（当ai?0时，约定bi?0，i?1，2，…，a1a2an如果ai（1?i?n）全为0，结论显然成立。二、典型例题：例1、 已知a1,a2,…,an都是实数，求证：???an)2?a1?a2???an n分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例2、 已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 & ab + bc + cd + da
分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。例3、已知
x?2y?3z?1,求
x2?y2?z2 的最小值.分析：由 x?2y?3z?1以及 x2?y2?z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。 练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求149??的最小值。 xyz2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求3a?2b?的最大值。选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求111??的最小值。（08东莞二模） abc6．已知x+y+z=25，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)三、小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。 五、作业：P41习题3.2
2，3，4，5包含各类专业文献、行业资料、生活休闲娱乐、应用写作文书、专业论文、文学作品欣赏、二维形式的柯西不等式58等内容。
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4-5 不等式选讲介绍(北京会议)|
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浅谈柯西不等式的证明、推广及应用.doc8页
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【标题】浅谈柯西不等式的证明、推广及应用
【作者】詹 志 明
【关键词】?欧氏空间归纳法矩阵积分线性相关二项定理
【指导老师】陈 波 涛
【专业】数学与应用数学
【正文】1引言柯西不等式在初等数学、高等代数、微积分、概率论、线性代数等领域有广泛的应用。在其不同的领域中有着不同形式和内容，又统一于欧氏空间两向量的内积运算中。而对柯西不等式的证明也可以用不同的方法给出，并由此推广出柯西不等式的各种推广形式。而将柯西不等式及推广应用于对一些复杂问题的求解、证明，能使该问题更加简单、严谨。一些数学工作者对有关柯西不等式研究与应用的范围不断拓展，方法层出不穷，更加丰富了柯西不等式，并对其广泛的应用，推动了数学的发展。本文从柯西不等式的本质出发对其证明，推广出新的定理，并对柯西不等式及其推广作广泛的应用。本文分三个部分对其研究：一是通过不同的方法对柯西不等式作出严谨的证明；二是对柯西不等式本质的研究给出其推广，并对推广作严谨的证明；三是对柯西不等式及其推广应用于一些问题的解法及证明中去；四是对柯西不等式在不同数学领域的探讨小结。2?柯西不等式的简介柯西不等式:设，?，…?与?,?,…?是两组实数,则下列不等式成立,有?≤（2―1)?当且仅当时,等号成立.证明:?因为在欧氏空间?里,对于任意两个向量?=()?=（），有?=?+?+?，=?=?，?=因而，若令?=（?，），?=（?，），由引理即得?≤将(2－1)改写成下列等价形式?≤(2―2)3柯西不等式的各种形式及相互间的联系柯西不等式在不同的数学领域有不同的形式和内容,如在微积分中的柯西不等式称柯西-许瓦兹不等式；在线性代数中的柯西不等式又称为柯西-布涅
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