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& 高中数学1.2.5《函数的定义域和值域》湘教版必修1
高中数学1.2.5《函数的定义域和值域》湘教版必修1
资料类别: /
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资料概述与简介
1.2.5　函数的定义域和值域
学习目标 重点难点
1．知道什么是函数的定义域，什么是函数的值域；
2．会求一些常见函数的定义域；
3．会求一些简单函数的值域. 重点：会求一些常见函数的定义域和简单函数的值域；
难点：函数值域的求解.
1．函数的定义域
(1)实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的限制，要符合实际情形．
(2)函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的变化范围．
已知函数解析式求定义域时应注意从哪些方面使表达式有意义？
提示：应注意以下几点：
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数非负；
(3)y＝x0要求x≠0.
求出函数定义域后应写成什么形式？
提示：定义域应写成集合或区间的形式．
2．函数的值域
(1)函数的值域是指函数值的集合．
(2)常数函数y＝c的值域是{c}，一次函数y＝ax＋b的值域是R，反比例函数y＝的值域是{y|y∈R，y≠0}．
函数的值域应写成什么形式？
提示：值域也要写成集合或区间的形式．
一、求函数的定义域
试求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝＋；
(4)y＝；(5)y＝.
思路分析：考查每个函数的解析式，使它的每一部分都有意义，列出不等式或不等式组，求得x的取值范围，即得定义域．
解：(1)要使函数有意义，应满足
即∴定义域为{x|x≠0且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，应满足≥0，即8－x＞0，
∴x＜8，∴定义域为{x|x＜8}．
(3)要使函数有意义，应满足即
∴x＞1，即定义域为{x|x＞1}．
(4)要使函数有意义，应满足x2＋4x≠0，即x≠0且x≠－4.
即定义域为{x|x≠0且x≠－4}．
(5)要使函数有意义，应满足－2≠0，
∴x＞－1且x≠3，故定义域为{x|x＞－1且x≠3}．
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝·；
(3)f(x)＝＋.
解：(1)依题意有1＋x≠0，
∴x≠－1，即定义域为{x|x≠－1}；
(2)依题意有
∴x≥1，即定义域为{x|x≥1}；
(3)依题意有
∴x≥－1且x≠2，即定义域为{x|x≥－1且x≠2}．
1．求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起函数定义域的变化．
2．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：(1)分式中，分母不为零；(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对于y＝x0要求x≠0；(4)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．
3．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
用长为30的铁丝弯成下部为矩形，上部为等边三角形的框架．若等边三角形的边长为x，求此框架面积y与x的函数解析式，并写出其定义域．
思路分析：此框架的面积等于矩形的面积与等边三角形面积之和，由于等边三角形边长为x.所以其高为x，从而面积可求．而矩形的两边长分别为x和，从而面积可求．
解：由于等边三角形的边长为x，由勾股定理可求得其高为x，于是其面积y1＝·x·x＝x2.
又下部矩形的一边长为x，另一边长为＝15－x，所以其面积y2＝x.
于是框架面积y＝y1＋y2＝x2＋x＝x2＋15x.
依题意知∴0＜x＜10.
即该函数的定义域是(0,10)．
用一根长12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，求该铁框架的面积和其一边长之间的函数解析式．
解：设该铁框架的一边长为x m(x＞0)，此时铁框架的面积为y m2，
则该铁框架的另一边长为＝(6－x)m，
由于6－x＞0，所以0＜x＜6.
由题意得y＝x(6－x)＝－x2＋6x.
即该铁框架的面积y(m2)和其一边长x(m)之间的函数解析式为y＝－x2＋6x，x∈(0,6)．
由实际问题列出函数解析式，除了考虑函数解析式自身的限制条件，还要注意实际问题对自变量取值范围的限制．
二、求函数的值域
求下列函数的值域：
(1)f(x)＝x2＋2x－3，x∈{－2，－1,0,1,3}；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝x－1＋.
思路分析：对于(1)可根据自变量的值依次求对应的函数值即得值域；对于(2)，可用逆求法或分离常数法；对于(3)，可先判断其单调性，再结合定义域求出值域．
解：(1)∵f(－2)＝－3，f(－1)＝－4，f(0)＝－3，f(1)＝0，f(3)＝12，
因此函数值域为{－4，－3,0, 12}．
(2)(方法一)由y＝得yx＋2y＝3x－1，
即(3－y)x＝2y＋1，
只要3－y≠0，即y≠3，就有x＝，即对应于这一x值的函数值是y.
故该函数的值域是{y|y∈R且y≠3}．
(方法二)由于y＝＝＝3＋，
当x≠－2时，≠0，
∴3＋≠3，即y≠3.
∴函数值域是{y|y∈R且y≠3}．
(3)由2x＋6≥0得x≥－3，
∴函数定义域是{x|x≥－3}．
又f(x＋h)－f(x)＝(x＋h－1＋)－(x－1＋)＝h＋－，
由于h＞0，x≥－3，
∴h＋－＞0.
因此f(x)在其定义域上是单调递增函数．
∴当x≥－3时，y＝f(x)≥f(－3)＝－4，
即值域是{y|y≥－4}．
求下列函数的值域：
(1)f(x)＝3－2x(x≥0)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝4x＋.
解：(1)当x≥0时，－2x≤0,3－2x≤3，
即y≤3，所以值域为(－∞，3]．
(2)由于f(x)＝＝＝＋，
当2x－1≠0时有≠0，
所以y≠，故值域为.
(3)函数定义域为[3，＋∞)，
又f(x＋h)－f(x)＝4x＋4h＋－4x－＝4h＋－＞0.
所以f(x)在[3，＋∞)上单调递增．
故当x≥3时，f(x)≥f(3)＝12，即值域为[12，＋∞)．
1．求函数的值域之前，首先要求出函数的定义域，应在定义域的前提之下求值域．
2．形如y＝的函数，通常可以用逆求法或分离常数法求其值域．
3．形如y＝ax＋b＋的函数，当a与c符号相同时，该函数常常在定义域上具有单调性，因此可以先判断其单调性，再求出定义域，在定义域的基础上求出值域．
1．函数y＝2－的值域是(　　)．
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
解析：当x≠0时，≠0,2－≠2，故定义域是(－∞，2)∪(2，＋∞)，选B．
2．函数f(x)＝(2x－4)0的定义域是(　　)．
B．(2，＋∞)
C．{x|x≠2}
D．{x|x≠4}
解析：依题意知2x－4≠0，x≠2，所以定义域是{x|x≠2}，选C．
3．函数y＝的值域是(　　)．
C．(0，＋∞)
解析：∵x2≥0，∴3x2≥0,2＋3x2≥2,0＜≤.
∴值域为，选A．
4．(2012广东高考，文11)函数y＝的定义域为__________．
答案：{x|x≥－1，且x≠0}
解析：要使函数y＝有意义须即∴定义域为{x|x≥－1，且x≠0}．
5．变量x，y间的关系如表所示：
x 0＜x≤1 1＜x≤5 5＜x≤10 x＞10
(1)变量x，y间的关系是函数关系吗？
(2)如果y是x的函数，求该函数的定义域、值域．
解：(1)对于x在(0，＋∞)内的每一个值，都有唯一的y值与之对应．所以y是x的函数；
(2)定义域是(0，＋∞)，值域是{1,2,3,4}．
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函数y=根号log&4&(负x平方加2x加4)的定义域是？
解:要使原函数有定义,应使
log&4&(-x^2+2x+4)&0
-x^2+2x+4&1
x^2-2x-3&0
(x-3)(x+1)&0
因此原函数的定义域是-1&x&3。
大家还关注高一数学1.设f(x)=3^x+9,则f^-1(x)的定义域是_______2.设f(x)=x²-2x-1,x≥1,则f^-1(2)=_______3.求函数y=3^x-4(x≥2)的反函数我反函数这块特别迷糊,求高手指点,反函数题型的几个解题要点,谢谢啦_百度作业帮
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高一数学1.设f(x)=3^x+9,则f^-1(x)的定义域是_______2.设f(x)=x²-2x-1,x≥1,则f^-1(2)=_______3.求函数y=3^x-4(x≥2)的反函数我反函数这块特别迷糊,求高手指点,反函数题型的几个解题要点,谢谢啦
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1.﹙9.﹢∞﹚2.X=3,X=﹣13.y=㏒下标3 上标X+4.也就是x﹢4=3^y （x≥5）其实我做反函数一块,就是先把X换成Y,y换成x,然后在变形就行了比如第3题,可以转换为x=3^y-4 注意定义域 比如第三题 定义域为(x≥2) 就可以转换为y≥2
1.﹙9.﹢∞﹚2.X=3，X=﹣13.y=㏒下标3 上标X+4。也就是x﹢4=3^y
其实我做反函数一块，就是先把X换成Y，y换成x，然后在变形就行了比如第3题，可以转换为x=3^y-4
注意定义域 比如第三题 定义域为(x≥2) 就可以转换为y≥2，然后求解就可以了...当前位置：
＞＞＞记函数f(x)=2-x+7x+2的定义域为A，g（x）=lg[（2x-b）（ax+1）]（b＞0，a..
记函数f(x)=2-x+7x+2的定义域为A，g（x）=lg[（2x-b）（ax+1）]（b＞0，a∈R）的定义域为B，（1）求A：（2）若A?B，求a、b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：上海模拟
（1）由题意A={x|2-x+7x+2≥0}={x|x-3x+2≥0}=(-∞，-2)∪[3，+∞)，（2）（2x-b）（ax+1）＞0，由A?B，得a＞0，由此，由不等式（2x-b）（ax+1）＞0得x＞b2或x＜-1a，即B=(-∞，-1a)∪(b2，+∞)，比较A，B两个集合可得0＜b2＜3-2≤-1a＜0解得a≥120＜b＜6．综上知，a、b的取值范围是a≥12，0＜b＜6
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据魔方格专家权威分析，试题“记函数f(x)=2-x+7x+2的定义域为A，g（x）=lg[（2x-b）（ax+1）]（b＞0，a..”主要考查你对&&集合间交、并、补的运算（用Venn图表示），对数函数的解析式及定义（定义域、值域）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）对数函数的解析式及定义（定义域、值域）
1、交集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。 （2)韦恩图表示为。
2、并集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。 （2）韦恩图表示为。
3、全集、补集概念：
（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。 &&&&&&& 补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA，读作U中A的补集，表达式为CUA={x|x∈U，且xA}。 （2）韦恩图表示为。1、交集的性质：
2、并集的性质：
3、补集的性质：
&对数函数的定义：
一般地，我们把函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。
对数函数的解析式：
y=logax（a＞0，且a≠1）在解有关对数函数的解析式时注意：
在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。
发现相似题
与“记函数f(x)=2-x+7x+2的定义域为A，g（x）=lg[（2x-b）（ax+1）]（b＞0，a..”考查相似的试题有：
866367555356573088804374246268555217