第12章无穷级数近年试题
第12章无穷级数近年试题
　　1213高数B　　一、填空题(每小题2分，共10分)　　(5) 幂级数?nnx的收敛半径为 . n2n?1?　　二、选择题(每小题2分，共10分)　　(4) 下列级数中，条件收敛的是　　n?1(A) ?(?1). (B) 2nn?1n　　??(?1)n. (C) ?(?1)n. (D) ??n2nn?1n?1?(?1)n. ?2nn?1?　　(5) 若幂级数?anxn在x?2点收敛，则它在x??2点　　n?0　　(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 不能确定.　　三、计算题(每小题8分，共40分)　　1 (5) 判定级数?(?1)nln(1?)的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛? nn?1?　　五、综合题(每小题10分，共20分)　　1(1) 求幂级数?xn的收敛域及和函数.　　n?1n　　1112高数B　　?　　一、填空题(每小题2分，共10分)　　?n3. 已知级数?un的部分和Sn?，则?un=_______. 2n?1n?1n?1?　　二、选择题(每小题2分，共10分)　　5. 若?a　　n?1?n(x?1)n在x?3处发散，则它在x??1处( )　　(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D) 不能确定　　三、计算题(每小题8分，共40分)　　5. 计算级数?(n?1)(x?1)　　n?0　　??n的收敛域及和函数. 四、解答题(每小题11分，共33分) (?1)2.　　判别级数?. n?1n?2　　1011高数B　　二、单项选择题(每小题3分，共15分)　　(1) 设a?0为常数，则?n?1?a(?1)n(1?cos)为 ( ) n　　A 绝对收敛; B 条件收敛; C 发散; D 收敛性取决于a的值.　　(5) 设幂级数?a?　　nx 的收敛半径为3，则幂级数?nan(x?1)n?1的收敛区间为( ) n?　　n?0n?1　　A. (?3,3); B. (?2,4); C.[?2,4);D. [?2,4].　　五、计算题Ⅱ(每小题8分，共16分)　　?　　求级数?(?1)n　　(1) n　　4n(2n?1)(x?1)2的收敛半径，收敛域.　　n?1　　(2) 利用逐项求导或逐项积分，求级数x?x3x5x2n?1　　3?5???2n?1??的和函数.　　0910高数B　　一、填空题(每小题2分，共10分)　　5、写出f(x)?xarctanx的麦克劳林级数________________________.　　二、选择题(每小题2分，共10分)　　?　　5、如果liman?1　　n??a?1,则幂级数?a3n　　nx ( )　　n8n?0　　(A)当x?2时,收敛; (B) 当x?8时,收敛;　　(C) 当x?1　　8时,发散; (D)当x?1　　2时,发散.　　三、(10分)判别下列级数的敛散性.　　??　　1、?sin? 2、　　n?13n?(?1)n?1nn?13n?1　　四、计算题(每小题10分，共40分)　　??　　4、求幂级数?(n?1)(x?1)n的收敛域及和函数，并求(n?1)　　n?0?n?02n的值.　　0809高数B　　一、填空题(每小题3分，共18分)　　6、将函数f(x)?1展为(x?1)的幂级数为x　　二、选择题(每小题3分，共15分)　　5、对于无穷级数?un下列结论正确的是( )　　n?1?　　(A)若limun?0，则级数收敛; (B) 若级数收敛，则必有limun?0; n??n??　　(C)若级数发散，则必有limun?0; (D)以上说法都不对. n??　　四、计算题(每小题8分，共32分)　　4、求幂级数?12nx在收敛域内的和函数. 2nn?1?　　六、证明题(7分)　　若an?0，且an是方程x?nx?1的一个根，n为正整数，证明级数　　0405高数A　　一、选择题(单项选择题，每小题4分，满分40分)。　　4.若级数2?an?1?n发散. ?axn　　n?0?n在x?2处收敛,则此级数在x?1处[ ]　　A. 绝对收敛; B.条件收敛; C.发散; D.不确定　　n6.下列级数中，条件收敛的级数是 [ ] nA ?(?1); B 2n?10n?1n??(?1)n?1?n?11;C 2n?(?1)　　n?1?n?1?1???; D ?2??(?1)　　n?1?n?13n.　　二、填空题(本题共5小题，每题4分，满分20分)　　4. 函数sinx的麦克劳林级数为__________.　　五、(满分10分)求幂级数　　0607高数A ?(2n?1)xn?1?n的收敛区间及和函数。　　一、 填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)　　14. 函数y?关于x的幂级数展开式为21?x　　二、单项选择题(本题共5小题，每题4分，满分20分)　　3. 下列级数中，条件收敛的级数是 [ ]　　?1 (A) ?; (B )　　n?1n?n?100; (C) ?3nn?1??(?1)nn1; (D) . sinn(?1)??2n?1nn?1?　　D　　24. 若?an收敛，则级数?an [ ]　　n?1n?1??　　(A) 一定收敛; (B ) 一定发散; (C) 绝对收敛; (D) 收敛性不能确定. D　　?1n　　如果?an是正项级数, 则级数?a收敛;　　例如,但是?发散 n?1nn?1n?1n?1??2n?　　1n六、(本题满分10分)已知幂级数?x，求其收敛区间、和函数, 并求出数项n?1n?　　级数?n?1?12nn的和.　　七、(本题满分5分) 已知级数?un和?vn都收敛, 试证明：级数22　　n?0n?0??　　?(u　　n?0?n?vn)2收敛;　　0708高数A　　xn　　3. 幂级数?n的收敛域为_____ __ .　　n?1n3?　　5. 函数f(x)?sinx关于x的幂级数展开式为二、单项选择题(本题共5小题，每题4分，满分20分　　3. 下列级数中，绝对收敛的级数是 ( ).　　(A)　　?1x2n?1　　六、(9分)求级数?的和函数, 并求级数?的和. n2n?1(2n?1)4n?1n?12?(?1)n?1?n1(?1)n; (B ) ?; (C) 2nnn?1??n?nn2; (D) ?(?1). (?1)?3n?1nn?1n?1?n　　un?1x2n?12n?1六、解:lim||?lim|?2n?1|?|x|2 1分 n??n??2n?1xun　　当|x|?1时级数收敛，且x??1时,级数发散,所以收敛域为(-1,1). 2分 在收敛域内　　?xx2n?1　　S(x)?????x2n?2dx 3分 0n?12n?1n?1?　　?　　??x　　0(?xn?12n?2)dx??1 5分 01?x2x　　?　　?11?xln 7分 21?x1111S()=ln3 9分 =?2n?)2n?1?11=?n2n?1(2n?1)4　　0809高数A　　一、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)　　5. 函数f(x)?1关于(x?1)的幂级数展开式为x　　二、选择题(每题2分，满分10分)　　5. 下列级数中，绝对收敛的级数是 ( ).　　1(A) ?(?1)n; (B ) nn?1　　??(?1)n; (C) ?3n?1n?2(n?1)?n; (D) ?(?1)n2n. (?1)?2n?1n?1n?1?n五、(8分)求幂级数　　0910高数A　　?(2n?1)xn?1的收敛域及和函数。　　一、填空题(每小题3分，共18分)　　6. 函数f(x)?sin2x关于x的幂级数展开式为.　　二、选择题(每小题3分，共18分)　　2.下列级数中绝对收敛的级数是 [ ]　　(A)　　n?1?(?1)?n1n??nnnn3; (B) ?(?1); (C) ?(?1); (D) . (?1)?nnn?13nn?2n?1n?1n?1?n　　五、(8分)求级数?nxn的收敛域及和函数.　　n?1?　　1011高数A　　二、选择题(每小题3分，共15分)　　3、limun?0是级数n???un?1?n收敛的 ( )　　A、充分条件 B、必要条件 C、充分非必要条件 D、充要条件　　4、若?a(x?5)n　　n?1?n在x?3处收敛，则它在x??3处 ( )　　A、发散 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、不能确定　　五、(10分)求幂级数?nxn?1?n?1的收敛域，及其在收敛区间内的和函数;并求n的?n?12n?1?　　值.　　1112高数A　　二、选择题(每小题2分，共10分)　　(5) 下列级数中, 条件收敛的是 (A) ?(?1)　　n?1　　??n?11n3. (B) ?(?1)n?1n?1?3n. nn(C) ?(?1)n. (D) 2n?10n?1　　三、计算题(每小题10分，共40分)　　(4) 求幂级数?(n?1)xn的收敛域及和函数.　　n?0?n?1?1?(?1)??. ??2?n?1?　　1213高数A　　一、填空题(每小题2分，共10分)　　(5) 幂级数?nnx的收敛半径为 . n2n?1?　　二、选择题(每小题2分，共10分)　　(5) 若幂级数?anxn在x?2点收敛，则它在x??2点　　n?0?　　(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 不能确定.　　三、计算题(每小题8分，共40分)　　1(4) 判定级数?(?1)nln(1?)的敛散性,并指出是绝对收敛还是条件收敛? nn?1?　　1(5) 求幂级数?xn的收敛域及和函数. n?1n　　?
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求无穷级数1-1/2-1/3+1/4+1/5-1/6-1/7+...一只....
如题...mathematica是怎么办到的...
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Mathematica玩家
我又不是Mathematica，我怎么知道Mathematica是怎么算的？我只能告诉你我是怎么算的。要算的是：拆成两部分，一部分是：这个公式还挺出名的。不过不要问我它是怎么证的。还有一部分是：这其实就是log的泰勒展开。然后加起来就得到答案了。不过对软件来说这不是一件容易的事情。这个求和sympy、maxima和yacas三个开源数学软件都没算出来。
ich bin zurück!
没记错的话， 回答里的第一个公式是莱布尼茨证明的。证明也很简单，我们知道对等式两端积分：如果我们取积分上下限分别为1和0：另一方面，所以于是Q.E.D.
这个级数还有其他写法，比如下面两种形式：Sum[((1/2 + I/2) I^i (-I + (-1)^i))/i, {i, 1, Infinity}] // FullSimplifySum[((-1)^i*(Cos[(i*Pi)/2] - Sin[(i*Pi)/2]))/i, {i, 1, Infinity}] // FullSimplify
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高等数学下无穷级数习题课
导读：例4（2009C）幂级数?nn=1，例3（2008A）已知幂级数?an(x+2)n在x=0处收敛，则幂级数?an(x-3)n的收敛，例1（1997A）设幂级数?anx的收敛半径为3，2006C）若级数?an收敛，则级数D，例6(2004A)设?an为正项级数，则级数?an收敛，则级数?an发散，(C)若级数?an收敛，(D)若级数?an发散，例3（2000A）设级数?un收敛，则必收敛的级数为en-(-1)nnx的收敛半径为
例4（2009C）幂级数?nn=1￥￥n=01e￥例3（2008A）已知幂级数?an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数?an(x-3)n的收敛n=0域为.2 ￥n=0(1,5].例2（2003A）设x=?ancosnx(-p￡x￡p)，则a2=
。=1。例1（1997A）设幂级数?anx的收敛半径为3，则?nan(x-1)n+1的收敛区间为
。 (-2,4)。nn=1n=1￥￥例8（2006A，2006C）若级数?an收敛，则级数
Dn=1￥(A)?n收敛。
（B）?(-1)nan收敛。 (C) ?anan+1收敛。 (D)n=1n=1n=1￥￥n=1n=1￥￥￥?an+an+1收敛。 2n=1￥例7（2005C）设an&0,n=1,2,?，若?an发散，?(-1)n-1an收敛，则下列结论正确的是
(A) (C)?a2n-1收敛，?a2n发散。 (B) ?a2n收敛，?a2n-1发散。n=1n=1n=1n=1￥￥￥￥?(an=1￥2n-1+a2n)收敛。
(D)￥?(an=1￥2n-1-a2n)收敛。例6(2004A) 设?an为正项级数，下列结论中正确的是 Bn=1(A) 若limnan=0，则级数?an收敛。n?￥n=1￥(B) 若存在非零常数l，使得limnan=l，则级数?an发散。n?￥n=1￥(C) 若级数?an收敛，则limn2an=0。n=1￥n?￥(D) 若级数?an发散，则存在非零常数l，使得limnan=l。n=1n?￥￥例5(2004C) 设有下列命题：(1) 若?(u2n-1+u2n)收敛，则?un收敛。n=1n=1￥￥(2) 若?un收敛，则?un+1000收敛。n=1n=1￥￥￥￥￥￥un+1(3) 若lim&1，则?un发散。
(4) 若?(un+vn)收敛，则?un，?vn都收敛。n?￥unn=1n=1n=11=n则以上命题中正确的是 B
(A) (1) (2)。(B) (2) (3)。(C) (3) (4)。an+n2￥n=1￥(D) (1) (4)。，n=1,2,?，则下列命题正确的是 B 。例4（2003C）设pn=￥，qn=￥an-n2(A) 若?an条件收敛，则?pn与?qn都收敛。n=1￥n=1￥(B) 若?an绝对收敛，则?pn与?qn都收敛。n=1￥n=1￥n=1￥(C) 若?an条件收敛，则?pn与?qn敛散性都不定。n=1￥n=1￥n=1￥(D) 若?an绝对收敛，则?pn与?qn敛散性都不定。n=1n=1n=1例3（2000A）设级数?un收敛，则必收敛的级数为 D 。n=1￥(A)?(-1)nn=1￥unn（B）?un2
（C）?(u2n-1-u2n)
(D) ?(un+un+1)n=1n=1n=1￥￥￥ì1??x,0￡x￡￥?a0?2例2（1999A）设f(x)=í，S(x)=+?ancosnpx,-￥&x&+￥,其中?12n=1?&x&12-2x,??2??15an=2òf(x)cosnpxdx,(n=0,1,2,?)，则S(-等于 C 。20(A)1133(B) -
(D) - 2244￥￥l例1（1996A）设an&0(n=1,2,?)，且?an收敛，常数l?(0,p/2)，则级数?(-1)n(ntana2n
A 。nn=1n=1(A) 绝对收敛（B）条件收敛发散
= (C)n（D）敛散性与l有关￥￥n=1n=1例15（2009A）设an为曲线y=x与y=x求S1与S2的值。 ￥n+1S2=?a2n-1，（n=1,2,?）所围成区域的面积，记S1=?an，S1=1，S2=1-ln2 2例14（2007A）设幂级数?anxn在(-￥,+￥)内收敛，其和函数y(x)满足n=0y￠￠-2xy￠-4y=0,y(0)=0,y￠(0)=1.(I)证明：an+2=2an,n=1,2,?; n+1(II)求y(x)的表达式.
y(x)2?axnn=0￥n=?a2n+xn=0￥2n+1￥212n+11=?=x?x2)n=xex. n=0n!n=0n!n+1￥(-1)例13（2008A）f(x)=1-x，用余弦级数展开，并求?n2n=1￥2的和 (-1)np2= ?2n12n=1￥￥￥a04(-1)np2+?cosnx，x?[-p,p] 1-x=+?ancosnx=1-23n2n=1n=1例12（2007C）将函数f(x)=1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间.x2-3x-4n1￥x-1n1￥1n(x-1)=-?(-?(-1),收敛区间为：x-1&2，即-1&x&3. f(x)=215n=0310n=02nx-3x-4x例11（2006A）将函数f(x)=展成x的幂级数。2+x-x2￥n-1 1￥?1?n+1÷xn,x?(-1,1)。 ?(-1)+?n÷??3n=0è2÷(-1)x2n+1例10（2006C）求幂级数?的收敛域及和函数s(x)。n2n-1()n=1收敛域为[-1,1]。￥ s(x)=2x2arctanx-xln(1+x2)，x?[-1,1]。1x2n的收敛区间与和函数。n(2n-1)2例9(2005A) 求幂级数?(-1)n-1(1+n=1x2,x?(-1,1). 收敛区间为(-1,1)。
2xarctanx-ln(1+x)+1+x2例8（2005C）求幂级数?(n=1￥1-1)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x)。 2n+1ì11+x1?x?(0,1)?ln-?2x1-x1-x,S(x)=S1(x)-S2(x)=í ?=x0.?0,??证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当a&1时，例7 (2004A)设有方程xn+nx-1=0，其中n为正整数。a级数?xn收敛。
利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性，敛散性可用比较审敛法判定。￥n=1￥(-1)n1-2x例6（2003A）将函数f(x)=arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和。1+2xn2+1n=0￥￥(-1)n4n2n+1(-1)nppp111,x?(-,，?=-f(= f(x)=-2?n+1n=02n+1x2n例5（2003C）求幂级数1+?(-1)（x&1）的和函数f(x)及其极值。2nn=1 12f(x)=1-ln(1+x)，x&1,f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1。2￥n1+x2ì￥?(-1)n?arctanx,x10试将f(x)展开成x的幂级数，并求?的和。 例4（2001A）设f(x)=í2?1-4n1,x0=n=1???(-1)n22nf(x)=1+?x， x?[-1,1]
21-4nn=1￥￥ (-1)np1=- ?21-4n42n=1￥1xn的收敛区间，并讨论区间端点处的收敛性。 例3（2000A）求?nn+-3(2)nn=1收敛区间为[-3,3)。例2（1998A）设正项级数{an}单调减少，且?(-1)an发散，试问?(nn=1n=1￥￥1n是否收敛？并说明理由。 an+11的和。 例1（1996A）求级数?2nn=2n-12￥ 153=-ln2。 ?2n84n=2(n-1)2￥ 1．已知级数?(-1)n=1￥n-1an=2,?an=1￥2n-1=5,求?an。n=1￥￥?2nsin1?÷?nn÷1．若lim?n=1，则级数?an是否收敛。 ÷n?￥?÷è?n=1cosnq。 1．q?R，试讨论级数的敛散性?nn=1￥1．判别敛散性：（1）?n=1￥￥lnnn4￥￥￥?11n+1l?nlndx（2）??（3）（4）（5） 1-cos???? ò01+x21+è1n-nn=1n=2n=1n=1nn￥1111．判别级数?[-ln(1+的敛散性nn=1nn1．设f(x)在[0, +￥)上单调增加有界，求证：?éêf(n)-òf(x)dxùú收敛。n-1?n=1?￥1．讨论?sin的敛散性n=1￥f(x)1=0，证明?f(绝对收敛。 1．设f(x)在x=0的某一邻域内具有不为零的二阶连续导数，且limx?0nxn=1￥(-3)n1．?n=?(-1)nun的敛散性。 nn=1(3+2)nn=1￥￥(1．已知 limnun=0，?(n+1)(un+1-un)收敛，证明：?un收敛。n?￥1．判别下列命题的正误1(1) ?an发散（an&0）?an3
(n3N)nn=1￥(2) ?(a2n-1+a2n)收敛 ??an收敛n=1n=1￥￥(3) (5)?an=1￥￥n收敛 ??a2n收敛n=1￥￥(4) limun=l10 则?un和?vn有相同的敛散性n?￥vn(6)
?an,?bn至少一个发散，则?(n+n)发散
?anbn收??an2,?bn2均收敛n=1n=1(7) 若?an为正项级数，1．已知级数?n=1￥￥an+1wn&un&vn,?wn,?vn收??un收敛 (8) &1??an收敛an(x-a)n在x=2收敛，试确定a的取值范围。 n1．设幂级数?n=0￥￥111(x-a)n在x=-2条件收敛，证明：幂级数?()n在x=发散。 122x-aln(n+2)4n+()2n=01．设幂级数?an(x+1)n在x=-2时条件收敛，则在x=2处的收敛性如何？n=01．已知幂级数?an(x+2)在x=0处收敛，则在x=-4处发散，求幂级数?an(x+2)n的收敛性域。nn=0n=0￥(-1)1+x()1．将fx=arctan展开成x的幂级数，并求?。1-xn=02n+1￥(-1)n-1n11．将函数f(x)=2在x=1处展开为幂级数，并求?2nxn=1￥ì(-1)n?1+x2?1．设f(x)=í的和。 arctanx x10
试将f(x)展开成x的幂级数，并求?2?1-4nxn=1??￥(x2+x+1)n11．求?的收敛域及?。(1)n(n+1)nn+n=1n=1￥￥￥n?12n?1．设有幂级数
??xn，求 （1）收敛半径与收敛域 +??nn=1èn￥（2）和函数在收敛区间内的导函数x￥?d?e-1n展开为x的幂级数，试求的和。 1．将函数 f(x)=???èxdx?n(+1)!n=1￥￥1n-1x2n1．求和函数：（1） ?n,x?[-2，2]
(3) (n+1)(n+2)xn ?n=0(2n!)n=1n2n=0￥（4）?(2n+1)xnn=0￥ n2+1n（5）?nn=02n!￥ (6)?(-1)n=1￥n-1x2n n(2n-1)1．将函数f(x)=x+1(0￡x￡p)展开成正弦级数。 1．将函数f(x)=1-xìx?1．f(x)=?í?0??2(-1)(0￡x￡p)展开成余弦级数，并求?n2n=1￥n-1的和。0￡x￡11&x￡2展开为付氏级数，并求?nn=1￥12之和。ì?x2,
-1￡x￡0?1．设为f(x)周期为2的周期函数，在[-1, 1)上定义为f(x)=í，则f(x)的付里叶级数在?2,
0x1&&???x=0收敛于___________.1．1设f(x)=x, x?[0, 1]，3而S(x)=?ancosnpx,x?(-￥, +￥)n=1￥，其中?1?-+S(-1)=___________. n=,2,3,?，则S?an=2òf(x)cosnpxdx, 1?0è3包含总结汇报、旅游景点、专业文献、出国留学、外语学习、IT计算机、办公文档、人文社科、经管营销、计划方案、行业论文以及高等数学下无穷级数习题课等内容。
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第十章无穷级数.doc30页
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教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
教学重点 ：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、，和的麦克劳林展开式；
教学难点：
比较判别法的极限形式；
莱布尼茨判别法；
任意项级数的绝对收敛与条件收敛；
函数项级数的收敛域及和函数；
泰勒级数；
1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数
给定一个数列 u1
u3 un 则由这数列构成的表达式 u1
u3 un 叫做常数项 无穷级数
简称常数项 级数
即 其中第n项u n 叫做级数的一般项 级数的部分和
作级数的前n项和
称为级数的部分和 级数敛散性定义
如果级数的部分和数列有极限s
则称无穷级数收敛
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高等数学_第十二章_无穷级数
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