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你可能喜欢【学法指导】从不定积分的一题多解浅析高等数学的发散思维（华南师范大学 龚友运 增城学院公共课教学部， 广东 广州 511363 ）摘要： 发散思维是多方向性和开放性的立体思维方式， 是创造性的核心.一题多解是培养发散思维最有效的途 径之一.本文以计算不定积分的 “一题多解” 为例， 给出发散思维在高等数学中的应用实例.
关键词： 发散思维； 收敛思维； 一题多解； 不定积分高等数学的学习是离不开逻辑思维 （又称抽象思 ? 维 的.美国心理学家吉尔 福特根据人的思维方式的不 ） 同， 把思维分为求同思维和求异思维.所谓求同思维 （又 称为集中思维、 聚敛思维、 收敛思维、 聚合思维、 辐合思 维 ， ） 就是多种信息输入、 一种信息输出的思维； 具体来 说， 就是利用公理、 定义、 定理， 使思维规范化， 掌握知 （又称扩散思维、 辐射思维、 识一般规律.所谓求异思维 发散思维、 放射思维 ， ） 就是一种信息输入、 多种信息输 公式、 已知条件等产生多 出的思维； 也就是利用定理、 新的构思， 发现和解 种想法， 广开思路， 提出新的假设、 决新问题. 前苏联著名教育学家、心理学家赞可夫 （Л? В? Ванков 说过： 凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东 ） “ 西， 是很容易从记忆中挥发掉的.” 发散性思维的形成是 以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力的.为 此， 教师可选择具体例题， 创设问题情境， 使学生乐于 “一题多解” 为例， 给 进行求异思维.以下以不定积分的 出发散思维在不定积分中的应用实例. 例1 计算不定积分%I= x 乙姨1+x3 2=乙x（x +1）- x dx= 乙x 姨1+x 姨1+x2 22dx-x 乙姨1+x2dx= x- 2 3姨1+x2 +C；乙 = 乙 +1- 1 d （姨1+x ） 乙 +1 d （姨1+x ） 乙 （x ） = （x ） - d思路3： %I=2 2x 乙姨1+x3dx= x2d 姨1+x2 ） （222（姨1+x2 ） x- 2 姨1+x2 +C； = 3 思路4： 姨1+x2 ， x= 姨t2- 1 ， 令t= 则 dx= %I= ? x 乙 姨x1+x2t dt， t2- 1 姨 t3- t +C=2dx=乙t -t 1 tdt = 乙（t - 1）dt= 1 322x2- 2 姨1+x2 +C； 3 其次， 考虑利用第二类换元积分法. 由于被积函数含有式子 姨1+x2 ，在第二换元积分 法中， 该式通常运用三角代换 （含双曲代换 ， ） 于是有 思路5： 令x=tant， dx=sec2tdi， 则 I= sin3t dt= cos4t 1 乙cos t-t1 d（cost）=- cost + 1 cos 34 3 2dx乙tan t?sec tdt= 乙 sect23分析： 观察和积累是发散思维的基石.计算不定积 分， 必须以扎实而丰富的基础知识为依据 【如： 常用的 23个不定积分基本公式、 求不定积分的常用方法 （第一 第二类换元积分法、 分部积分法） 代数 、 类换元积分法、 式及三角函数式的恒等变形等】 ，使思维向多方向扩 展， 尽可能多地提出多种设想、 寻求多种解答思路. 首先， 考虑利用第一类换元积分法， 于是有 思路1： %I=1 +C=- 1+x2 姨 cos3t2 2 + 1 （1+x2 +C= x - 2 姨1+x2 +C； ） 3 3 3 ） 令x=sht， 则dx=chtdt， 再次， （sht cht－ I= 思路6： cht乙乙x3 dx= 1 2 姨1+x2乙x2 （dx2 = 1 ） 2 姨1+x2乙3 22 dt= （sht 3dt = （ch2t- 1 d ） ）（cht = 1 ch3t- cht +C= x - 2 ） 3 3乙乙x2+1- 1 d （1+x2 ） 姨1+x2 =1 21 2乙姨1+x2d （1+x2 - 1 ） 2乙d（1+x）= 1 （1+x） 3 姨1+x2 2 2-（1+x2 +C= x- 2 姨1+x2 +C； ） 3 由于被积函数是代数式，故可以考虑将它进行代 数式的恒等变形， 根据第一换元积分法， 又有 I= 思路2：姨1+x2 +C考虑利用分部积分法. 由于人们已经熟悉了运用第一换元积分法与第二 换元积分法来计算不定积分， 因此， 在利用分部积分法 来计算不定积分时，可以考虑与前两种积分方法结合 使用. 如本例将分部积分法与第一换元积分法结合使 用， 又有 思路7： I= x 乙姨1+x3 2dx=乙x d（姨1+x ）=x 姨1+x2 2 2 32乙x3 dx= 姨1+x2乙x3+x-x dx 姨1+x2乙2 （1+x2 =x2 姨1+x2 - 2 （1+x2 +C= x- 2 ） ） 姨1+x2 xd 3 3姨1+x2 +C；- 73 -【学法指导】 思 路 8： I= x 乙 姨1+x3 2dx=姨1乙 x姨1- xx432dx= 1 2乙4（ =1 姨1+x2 d 姨1- x4 ） ［姨1- x2 ?姨1- x4 2乙姨1- x可以证明， 它们仅仅相差一个常数. 思路1：先把 1 变形为secx，再利用求导公式 cosx ） ? （tanx '=sec2x， ） 可得%I= （secx '以及secx tanx 以及 1 乙cosxd（姨1- x2 ） = 1 ［ 姨1- x2 ）姨1+x2 + 1 ］ （ （1+ 姨1+x2 d 2 2 x2 = x- 2 姨1+x2 +C； ） 3 想象和联想是发散思维的双翼，计算不定积分除 了以上介绍的三种常用的第一换元积分法、第二换元 积分法、 分部积分法外， 还有一些特殊的方法， 要勤于 思考， 充分地想象与联想.如： 欧拉换法、 利用微分与积 分的关系等均可作为计算不定积分的思维方向，这样 就有 欧拉代换法， 姨1+x2 =t-x， 令 思路9：2 2 3 ） dt= dt， 则x= t - 1 ， （1+ 1 ） I= （t - 1 dt= 1 t3- 3 24 2t t2 8t4 8 3 t- 3 + 1 3 +C= 1 （x+ 姨1+x2 ）+ 3 （x+ 姨1+x2 ） 8 8t 24t 24 3 3 +C； 3 8 （x+ 姨1+x2 ） 24 （x+ 姨1+x2 ）乙乙secx（secx+tanx）dx secx+tanx 1 %%%%%%% 类 似 可 得 ： 乙 %= secx+tanxdx= secxdx=乙d （secx+tanx =In | ）secx+tanx|+C； 思 路 2： %%I= secx secx- tanx dx （ ） secx- tanx 或者是= C； 1 乙 cosx dx= 乙 secxdx = 乙 secx tanx- secx dx= （ ） 乙 secx-1tanx d （tanx- secx）=In | tanx- secx 思 路 3： %%I= secx- tanx|+C； secx 立即可以 若将tanx、 分别变形为 sinx 及 1 ， cosx cosx 得到： 1 + sinx 1 dx= cosx cosx %I= dx= 思路4： cosx cosx 1 + sinx ） （ cosx cosx 1+sinx cos2x dx= 1 d 1+sinx ） （ =In| 1+sinx |+C； 1+sinx 1+sinx cosx cosx cosx cosx 类似可得： 1 - sinx 1 dx= cosx cosx 思路5： I= dx= cosx cosx 1 - sinx ） （ cosx cosx 1- sinx cos2x dx= 1 d 1- sinx ） （ =In| 1- sinx |+C； 1- sinx cosx cosx 1- sinx cosx cosx乙1 cosxdx=乙 secxdx=乙乙secx-1tanx d （secx- tanx）=In|secx- tanx|+乙欧拉代换法， 姨1+x2 =xt-1， 令 思路10：2 则t= 1+ 姨1+x ， xI=- 164乙 -t 1） dt=（t -41） + 3（t 8- 1） +C （t2 4 2 2 2 3 63x x = + +C； 2 2 3 （1+ 姨1+x ） 3 （1+ 姨1+x2 ） 设%I= 思路11： x 乙姨1+x3 2乙乙乙dx= 2+bc+c 姨1+x2 +A （ax ）乙乙姨dx 1+x2两边求导得x3 = （2ax+b 姨1+x2 + 2+bx+c ） （ax ） 姨1+x2乙乙乙x + A 2 姨1+x 姨1+x2 于是有 x3= （2ax+b （1+x2 + 2+bx+c ? ） ）（ax ） x+A 由待定系数法解得a= 1 ， b=0， 2 ， c=A=0 3 3 最后得到 x 乙姨1+x3 2乙dx= x - 2 姨1+x2 +C. 32I= 思 路 6：1 乙cosxdx=cosx 乙cos x2dx=1 乙cosxdx=乙以上用不定积分基本公式求不定积分的常用方 法， 通过一题多解体现了求不定积分的发散思维， 从而 得到求不定积分的不同解题思路.以下再通过三角函数 式 （或代数式 的恒等变形等， ） 使思维向多方向扩展， 可 以得到求不定积分的不同解题思路. 例2 求不定积分%I= 1 乙cosx dx.1 d （sinx = 1 In| 1+sinx |+C； ） 2 1- sinx 1- sin2x 思路7： 利用恒等式 sin2x+cos2x=1变形， 有I= dx=2 2 21 乙cosx分析：此题不能直接利用公式求出 1 的原函 cosx 1 作不同的变形， 数， 但是可通过对 从而得出不同 cosx 的解法. 并且以下多种思路所得到的原函数不尽相同，x+cos 乙sin cosx x dx= 乙cosxdx+ 乙sin x dx cosx =sinx+ 乙sin xcos x dx=sinx+ 乙 sin x d （sinx ） cos x 1- sin x =sinx+ 乙sin x+1- 1 d （sinx =sinx- 乙（sinx + 乙 1 ） d ） 1- sin x 1- sin x2 2 2 2 2 2 2 2d （sinx =sinx- sinx+ 1 In| 1+sinx |+C= 1 In| 1+sinx |+C； ） 2 1- sinx 2 1- sinx- 74 -【学法指导】 思路8： 利用恒等式cosx=cos2 x - sin2 x 变形， 有I= 2 2 1 乙cosx dx= 是模仿例题解决问题的思想方法，教师若仅仅满足于 统一方法、 统一格式的统一行动， 结果 这种统一思路、 是容易将学生统一于同一思维定式之中。若加强 “一空 多填、 一式多变、 一题多问、 一题多解、 多题类解， 一法 多用、 多法一用” 等训练， “思维定式” 克服 的影响， 则可 以打破这种思维的僵化。教学中应努力寻求发散思维 量的突破，持之以恒，必然会导致发散思维品质的飞 跃。 著名科学家爱因斯坦说： 想象力比知识更重要。 “ 因为知识是有限的， 而想象力概括着世界上的一切， 推 想象力是创新的基础， 想象力丰富的思维 动着进步。” 是通向成功的指路明灯，没有想象，就没有科技的进 步。发散思维能充分发挥人的想象力， 让人思路活跃、 思维敏捷， 能提出大量解决问题的方案， 有多种想法可 供选择， 能够别出心裁， 永远保持思维的活力。 总之， 我们应该提倡发散思维， 因为发散思维是多 方向性和开放性的思维方式， 它同单一、 刻板和封闭的 思维方式相对立。发散性思维承认事物的复杂性、 多样 性和生动性， 在联系和发展中把握事物。发散性思维仿 “触角”不拘泥于一个方向、 ， 一个框架而 佛具有众多条 向四面八方延伸， 可使学生的思维纵横交错， 形成丰富 多彩的、 生动的 “意识网”从而迅速、 ， 灵活地提出各种 各样的解决问题的方案。 以下两个问题， 至少能用八 （或以上） 种不同的方 法求解， 有兴趣的读者不妨一试。乙cos21 dx= x - sin2 x 2 2乙sin21 x（cot2 x - 1) 2 2dx=2乙1+cot x 2 x） d （cot =In 2 2 x 1- cot x 1- cot 2 2 1 1 乙cosx dx= 乙cos+C；或者是 I= 思路9：21 dx= x - sin2 x 2 221 dx=2 x（1- tan2 x ） 2 2 1+tan x 2 =In +C； 1- tan x 22乙cos1 乙1- tanx 2d （tan x ） 2思路10： 用万能代换t=tan x 变形， 有I= 21 乙cosx dx=1+tan x 2 1 ? 2 dt=2 2 dt=In 1+t +C=In 1- t 1- t2 1+t2 1- t2 1- tan x 2 1+t2 +C。 发散思维的特点是思路广阔， 寻求变异， 对已知信 息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息， dx ； （1 求不定积分%I= ） x 1+x4 （ ） 是一种开放性的立体思维， 是创造性的核心。发散思维 dx 灵活性、 独创性的特点， 可以打破思维的 具有流畅性、 ） 。 （2 求不定积分I= 8 ） x（1+x2 僵化， 开拓思路， 冲破思维消极因素的束缚。高等数学 参考文献： 教学中，有意识地抓住这些特性对学生进行训练与培 [1]方秋金.数学学习论选讲[M].北京师范大学出版社， 1992. 养， 既可提高学生的发散思维能力， 也有利于培养学生 [2]何广荣.提倡发散思维%搞好数学教学[J].数学通报， 1986， 的解决问题的灵活性和提高学生的数学素养。 （3 . ） 发散思维训练的方法是多种多样的， 如纵横发散、 [3]郭思乐.努力提高学生的数学思维素质[J].数学通报， 1993， 变更命题发散、 逆向发散、 构造发散、 分解发散等， 还可 （1 . ） 采用 “发散性提问、 延迟评价、 集体讨论” 的策略来促进 [4] 美 查尔斯， （ ） 麦科伊.我怎么没想到？[M].曹彦博， 译.北京： 思维发散。一题多解则是培养发散思维最有效的途径 中信出版社， 2002. 之一。 [5]龚友运， 等.高等数学一册[M].武汉： 华中科技大学出版社， 数学教学中通常遵循概念、 公式、 例题， 然后通过 2006. 做练习题掌握新知识的学习程序。从例题到习题常常 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% （上接 83 页 ）乙乙乙 乙课堂教学相结合， 更好地实现 “理解性输入” 的足量性 和交际性。 四、 结语 第二语言的学习有其特殊性。目前， 由于英语学习 者语言输入量的不足和质量不高，造成学习者的语言 基础薄弱， 语言交际能力差。因此， 大学英语教师应尽 力创造真实的语言环境， 指导学生正确进行语言输入， 从而提高其英语语言的交际能力。参考文献： [1]Nunan， David.Second Language Teaching and Learning.Beijing： Foreign Language Teaching and R esearch Press/ Hein-le&Heinle/ Thomson Learning Asia， 2001. [2]Ellis， od.The Study of Second Language Acquisition.ShangR hai： Shanghai Foreign Language Education Press， 1997 [3]Krashen， Stephen D.Language Acquisition and Language Education： Extensions and Applications.London： Prentice Hall International， 1989 [4]文秋芳.英语学习策略论[M].上海： 上海外语教育出版社， 2000. [5]桂诗春.新编心理语言学[M].上海： 上海外语教育出版社， 2000. [6]蒋祖康.第二语言习得研究[M].北京： 外语教学与研究出版 1999. 社，- 75 -
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