已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R,（1）当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程（2）求f(x)的单调区间（3）f(x)在【0,+无穷）上存在最大值和最小值,求a的取值范围第三问_百度作业帮
已知函数f(x)=(2ax+a^2-1)/(x^2+1),其中a∈R,（1）当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程（2）求f(x)的单调区间（3）f(x)在【0,+无穷）上存在最大值和最小值,求a的取值范围第三问
估计原题为f(x) = (2ax + a&#178; -1)/(x&#178;+1)(1)a = 1,f(x) = 2x/(x&#178; +1)f'(x) = [2(x&#178;+1) -2x(2x)]/(x&#178;+1) = 2(1 -x&#178;)/(x&#178;+1)f'(0) = 2在原点处的切线方程:y - 0 = f'(0)(x - 0) = 2xy = 2x(2)(i) a = 0f(x) = -1/(x&#178; +1)f'(x)= 2x/(x&#178; +1)x < 0:f'(x) < 0,减函数x >0:f'(x) > 0,增函数(ii) a ≠ 0f'(x) = [2a(x&#178; +1) - (2ax + a&#178; -1)(2x)]/(x&#178; +1)= [-2ax&#178; -2(a&#178; -1)x+2a]/(x&#178; +1)&#178;分母总为正,现在只考虑分子.g(x) = -2ax&#178; -2(a&#178; -1)x+2a = -2a[x&#178; + (a - 1/a)x -1]= -2a(x + a)(x - 1/a) = 0x1 = -ax2 = 1/a(a) a< 0:g(x)为开口向上的抛物线x > -a或x
0,增函数1/a < x < -a时,f'(x) < 0,减函数(b) a > 0:g(x)为开口向下的抛物线1/a < x < -a时,1/a < x < -a时,x > -a或x < 1/a时,f'(x) < 0,减函数(3)(i) a = 0时,f(x)只有最小值,不成立(ii)要使f(x)在[0,+无穷)上存在最大值和最小值,须x1,x2均在此区间内,即二者同号,这显然不可能.已知函数f(x)=ax^3-3/2 x^2+1(x∈R),其中a大于0(I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(II)若在区间[-1/2,1/2]上,f(x)＞0恒成立,求a的取值范围._百度作业帮
已知函数f(x)=ax^3-3/2 x^2+1(x∈R),其中a大于0(I)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(II)若在区间[-1/2,1/2]上,f(x)＞0恒成立,求a的取值范围.
（1）f(x)=x^3-3/2 x^2+1;
f `(x)=3x^2-3x;
f `(2)=12-6=6;
f(2)=8-6+1=3所以切线方程为：y-3=6(x-2);
即：6x-y-9=0;(2)f `(x)=3ax^2-3x=3ax(x-1/a);
当0<a=1/2;
x∈(-1/2,0),f `(x)>0;
x∈(0,1/2),f `(x)<0;
所以：f(x)在[-1/2,0]上是增函数；在[0,1/2]上是减函数；
又因为：f(-1/2)=-a/8+5/8<
f(1/2)=a/8+5/8所以f(x)在[-1/2,1/2]上的最小值为f(-1/2)=-a/8+5/8在区间[-1/2,1/2]上,f(x)＞0恒成立;只需-a/8+5/8>0;
a<5所以当0<a<=2时,在区间[-1/2,1/2]上,f(x)＞0恒成立；当a>2时,0<1/a0; x∈(0,1/a),f `(x)<0;x∈(1/a,1/2),f `(x)>0;即：f(x)在[-1/2,0]递增；在[0,1/a]递减,在[1/a,1/2]递增；且f(-1/2)=-a/8+5/8-1/8+1=7/8;f(-1/2)<f(1/a);在区间[-1/2,1/2]上,f(x)＞0恒成立;只需：-a/8+5/8>0;
a<5所以;2<a<5时,适合条件；综上可知：a的取值范围是：（0,5）
(1) a=1 , f(x)=x^3-3/2x^2+1(x∈r), f(x)'=3x^2-3x
x=2 ,f(x)'=12-6=6
切线方程为y=6x-9（2）f(x)'=3ax^2-3x
(a>0)f(x)'=0 得
x在[-1/2,0]
[1/a,∞）单增
1）∵f(x)=x^3-3/2 x^2+1;
∴f `(x)=3x^2-3x;
∴k=f `(2)=12-6=6;
f(2)=8-6+1=3所以切线方程为：y-3=6(x-2);
即：6x-y-9=0;(2)f `(x)=3ax^2-3x=3ax(x-1/a);
①当0<a=1/2;
x∈(-1/2,0),f `(x)>0;当前位置：
＞＞＞过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点..
过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点．（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（2）求证：直线PQ过定点；（3）若a≠0，试求S△APQ：|OA|的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：四川省月考题
解：（I）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）由题意可得，kAP==，由导数的几何意义可得，kAP=2x1，∴=2x1，整理可得，同理可得﹣1=0，从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，∴x=a±，k1=，k2=，∴k1·k2==﹣4，即k1·k2为定值﹣4．（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于y'=2x，故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2，则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．（Ⅲ）即A（a，0）点到PQ的距离，要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离d===≥，当且仅当，即a2=时取等号，∴最小值为．
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据魔方格专家权威分析，试题“过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点..”主要考查你对&&导数的概念及其几何意义，导数的运算，基本不等式及其应用，直线的倾斜角与斜率，直线的方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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导数的概念及其几何意义导数的运算基本不等式及其应用直线的倾斜角与斜率直线的方程
平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．常见函数的导数：
（1）C′=0&；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
导数的四则运算：&
（1）和差：（2）积：（3）商：
复合函数的导数：
运算法则复合函数导数的运算法则为：复合函数的求导的方法和步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量； （2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数。求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。&基本不等式：
（当且仅当a＝b时取“=”号）； 变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 ②；③；④； 对基本不等式的理解：
(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即 对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，； （2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，； （3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
应用基本的不等式解题时：
注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
利用基本不等式比较实数大小：
(1)注意均值不等式的前提条件．(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式．(3)注意“1”的代换．(4)灵活变换基本不等式的形式，并注重其变形形式的运用．重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是等，不仅要掌握原来的形式，还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．(5)合理配组，反复应用均值不等式。&
基本不等式的几种变形公式：
直线的倾斜角的定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。
直线的斜率的定义：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tanα。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。直线斜率的性质：
当时，k≥0；当时，k＜0；当时，k不存在。 直线倾斜角的理解：
（1）注意“两个方向”：直线向上的方向、x轴的正方向； （2）规定当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0度。
直线倾斜角的意义：
①直线的倾斜角，体现了直线对x轴正向的倾斜程度；②在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角；③倾斜角相同，未必表示同一条直线。
直线斜率的理解：
每条直线都有倾斜角，但每条直线不一定都有斜率， 斜率不存在；当 也逐渐增大； 且逐渐增大。直线方程的定义：
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
基本的思想和方法：
求直线方程是解析几何常见的问题之一，恰当选择方程的形式是每一步，然后釆用待定系数法确定方程，在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。
直线方程的几种形式：
1.点斜式方程：（1），（直线l过点，且斜率为k）。（2）当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 2.斜截式方程：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线的方程为：y=kx+b，它不包括垂直于x轴的直线。 3.两点式方程：已知直线经过（x1，y1），（x2，y2）两点，则直线方程为：4.截距式方程：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为：（a、b≠0）。5.一般式方程：（1）定义：任何直线均可写成：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的形式。（2）特殊的方程如：平行于x轴的直线：y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：x=a（a为常数）。 几种特殊位置的直线方程：
求直线方程的一般方法:
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．应明确直线方程的几种形式及各自的特点，合理选择解决方法，一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在两坐标轴上的截距用截距式；已知两点用两点式，这时应特别注意斜率不存在的情况．(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程，如果已知直线过一个定点,可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．
发现相似题
与“过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点..”考查相似的试题有：
800936766852852045335859263970281089已知A(0,4),P是抛物线y=x^2+1上任意一点,求|PA|的最小值._百度作业帮
已知A(0,4),P是抛物线y=x^2+1上任意一点,求|PA|的最小值.
设P（t,t^2+1）,则|PA|^2=(t-0)^2+(t^2+1-4)^2=2t^2-6t+9=2(t-3/2)^2+9/2≥9/2,所以|PA|的最小值为(3√2)/2.已知函数f(x)＝alnx－x2＋1. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值； (2)求证：f(x)≤0对任意x&0恒成立的充要条件是 a＝2； (3)若a&0，且对任意x1、x2(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2
已知函数f(x)＝alnx－x2＋1. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值； (2)求证：f(x)≤0对任意x&0恒成立的充要条件是 a＝2； (3)若a&0，且对任意x1、x2(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2
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已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；(2)求证：f(x)≤0对任意x&0恒成立的充要条件是 a＝2；(3)若a&0，且对任意x1、x2(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围． (1)解析：∵函数f(x)＝alnx-x^2+1，其定义域为x&0∴f’(x)＝a/x-2x==& f’(1)＝a-2∵f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0∴f’(1)＝a-2=4==&a=6，f(1)＝-1+1=0则切线方程y=4(x-1)==&b=-4∴a=6,b=-4 (2)证明：充分性∵a=2==& f(x)＝2lnx-x^2+1令f’(x)＝2/x-2x=0==&x=1f’’(x)＝-2/x^2-2==&当x&0时，f’’(x)&0，∴函数f(x)在x=1处取极大值f(1)=0∴a=2时，对任意x&0，f(x)≤0恒成立必要性∵函数f(x)＝alnx-x^2+1，其定义域为x&0令f’(x)＝a/x-2x=0==&x=√(2a)/2
(a&0)f’’(x)＝-a/x^2-2==&当x&0时，f’’(x)&0，∴函数f(x)在x=√(2a)/2处取极大值f(√(2a)/2)=a(ln(2a)/2-ln2)-a/2+1令a(ln(2a)/2-ln2)-a/2+1=0==&a=2∴对任意x&0，f(x)≤0恒成立，则a=2综上，a=2是f(x)≤0对任意x&0恒成立的充要条件 (3)解析：∵函数f(x)＝alnx-x^2+1，其定义域为x&0当a&0时，对任意x1,x2∈(0,+∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|成立即，|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|==&|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|&=1==&|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|&=1由导数定义可知，即|f’(x)|&=1f’(x)＝a/x-2x&=1==&a&=x-2x^2==& g(x)最大值为1/4（不合题意）f’(x)＝a/x-2x&=-1==&a&=2x^2-x设g(x)=2x^2-x==&g(x)最小值为-1/4∴a的取值范围为a&=-1/4&
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