（2002o昆明）已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为（x，y），其中x＞0，y＞0．
（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；
（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：
方法：∵2+
)2+2k（k为常数且k＞0，a≠0），
∴当=0，即时，2+
取得最小值2k．
问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小并求出S的最小值；
（3）如果直线y=mx+2（m＜0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成APQ的面积是矩形ABCD面积的？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
（1）根据矩形的对称性和点A的坐标表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积建立函数解析式；
（2）要求矩形的外接圆的面积，主要是求得矩形的外接圆的半径．根据对称性得矩形的外接圆的圆心是平面直角坐标系的原点，则根据勾股定理求得其外接圆的半径，再进一步表示出其外接圆的面积S．结合（1）中的函数解析式得到S关于x的函数解析式，再根据提供的方法进行分析其最小值；
（3）根据直线的解析式表示出点P，Q的坐标，再运用割补法把三角形的面积转化为规则图形的面积表示出三角形的面积，根据题意列方程求解．
解：（1）建立如图的平面直角坐标系，
根据点A（x，y），得矩形的长是2x，宽是2y，
则有2xo2y=36，即y=（x＞0）；
（2）连接OA，则矩形的外接圆的半径即为OA的长，根据勾股定理，得OA=2+y2
∴矩形的外接圆面积S=π（x2+y2）
∵x2+y2=x2+2=（x-）2+18
∴当x-=0，x=3时，即A（3，3）时S最小，其最小值是18π；
（3）存在．设AB与y轴相交于点E，
由已知，得A（3，3），Q（0，2），P（-，0），
∴S△PAQ=S梯形APOE-S△AQE-S△POQ=3-=6，当前位置：
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已知一次函数y=（4-k）x-2k2+32．（1）k为何值时，它的图象经过原点；（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）；（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x；（4）k为何值时，y随x的增大而减小．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵一次函数y=（4-k）x-2k2+32的图象经过原点，∴-2k2+32=0解得：k=±4∵4-k≠0∴k=-4；（2）∵一次函数y=（4-k）x-2k2+32的图象经过（0，-2），∴-2k2+32=-2解得：k=±17（3）∵一次函数y=（4-k）x-2k2+32的图象平行于直线y=-x，∴4-k=-1∴k=5；（4）∵一次函数y=（4-k）x-2k2+32中y随x的增大而减小∴4-k＜0∴k＞4．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知一次函数y=（4-k）x-2k2+32．（1）k为何值时，它的图象经过原点；..”主要考查你对&&一次函数的定义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一次函数的定义
一次函数的定义：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围时全体实数；③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数。一次函数基本性质：1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。4．在两个一次函数表达式中：当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。5．两个一次函数（y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，该函数的对称轴为－（k2b1+k1b2)/(2k1k2)；当k1,k2正负相同时，二次函数开口向上；当k1,k2正负相反时，二次函数开口向下。二次函数与y轴交点为（0，b2b1)。6．两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。一次函数的判定：①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b的形式；②当k≠0，b=0时，这个函数即是k≠0一次函数，k≠0又是正比例函数；③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数；④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式，它可以转化为含x、y的二元一次方程。
发现相似题
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已知反比例函数y=k-1x（k为常数，k≠1）．（Ⅰ）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若k=10，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵点A（1，2）在这个函数的图象上，∴点A（1，2）满足该图象的解析式y=k-1x（k为常数，k≠1），∴2=k-1，解得，k=3；（Ⅱ）∵这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴该函数的图象在第一、三象限，∴k-1＞0，解得，k＞1；（Ⅲ）∵k=10，∴该函数图象的解析式是：y=9x；当x=3时，y=3，即点（3，3）在该函数的图象上，点B（3，4）不在该函数的图象上；当x=2时，y=4.5，即点（3，4.5）在该函数的图象上，点C（2，5）不在该函数的图象上；
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据魔方格专家权威分析，试题“已知反比例函数y=k-1x（k为常数，k≠1）．（Ⅰ）若点A（1，2）在这个函数的..”主要考查你对&&反比例函数的图像，反比例函数的性质，求反比例函数的解析式及反比例函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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反比例函数的图像反比例函数的性质求反比例函数的解析式及反比例函数的应用
反比例函数的图象：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。反比例函数图象的画法：（1）列表：（2）描点：在平面直角坐标系中标出点。（3）连线：用平滑的曲线连接点。当双曲线在一三象限，K&0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。当双曲线在二四象限，K&0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。 常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。k的意义及应用：过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。推论内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x1,x2，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为不同象限分比例函数图像：常见画法：反比例函数性质：1.当k&0时，图象分别位于第一、三象限；当k&0时，图象分别位于第二、四象限。2.当k&0,在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k&0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。3.当k&0时，函数在x&0上为减函数、在x&0上同为减函数；当k&0时，函数在x&0上为增函数、在x&0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 4.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交. 5. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2 ,且等于|k|.6. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x ，y=-x，对称中心是坐标原点.函数图象位置和函数值的增减：反比例函数:，反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，列表归纳如下：反比例函数解析式的确定方法：由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。
反比例函数的应用：建立函数模型，解决实际问题。 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y=
(k≠0)；②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；③由代人法解待定系数k的值；④把k值代人函数关系式y=
中。反比例函数应用一般步骤：①审题；②求出反比例函数的关系式；③求出问题的答案，作答。
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当常数k为何值时,直线y=x才能与函数y=x2+k相切?并求出切点
y=x²+k求导得y'=2x设直线y=x与抛物线的切点是(m,m)则抛物线过该点且在切点处抛物线的切线的斜率等于1m=m²+k1=2m解得m=1/2,k=1/4即当k=1/4时,直线与抛物线相切,切点为(1/2,1/2)
求导得曲线切点斜率为
2x2x=1 得x=1/2则(1/2,1/2)k=1/2-1/4=1/4
相切，则联立两个方程，只有一个跟 y=x^2+k=x x^2-x+k=0 判别式1-4k=0 k=1/4切点(1/2,1/2)
相切，则联立两个方程，有且只有一个根y=x^2+k y=x两个方程相减得x^2-x+k=0 令有且只有一个根，判别式=1-4k=0 k=1/4 解方程得切点(1/2,1/2)