同一环状刚体绕不同轴转动其转动惯量为何不同
同一环状刚体绕不同轴转动其转动惯量为何不同
09-04-15 &匿名提问 发布
令现在有一个质量分布均匀的矩形刚体，其长宽分别为a，b质量为m，其质心在这个矩形的几何中心&br&先假定一个轴过质心，矩形绕过质心的轴转动&br&以质心为坐标原点建立坐标系x-y，x轴平行与长。&br&根据转动惯量计算公式&br&J=积分（p^2*dm）..............（1）   &br&其中积分的上下届分别为，x从-a/2到a/2，y从-b/2到b/2   p为某点到质心的距离&br&p=二次根号（x^2+y^2）.......（2）  &br&dm=m/(a*b)*dxdy......（3）&br&把(2),(3)带入（1）并求出积分可以得到，刚体绕过质心的轴的转动惯量为&br&J=(1/12)*m*(a^2+b^2)&br&由于题目上面要我们求的是绕一个角点转动的转动惯量&br&因此由平行轴定理可以得到，令刚体绕一个角点的转动惯量为J0&br&那么，J0＝J+m*d^2...........（5）&br&其中J为绕过质心的轴旋转的转动惯量，d为绕角点的轴与绕质心的轴这两个轴的距离d=0.5*二次根号（a^2+b^2）&br&解答（5）可以得到&br&J0=(1/3)*m*(a^2+b^2)&br&解答完毕
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刚体内有一直线保持不动的运动，简称转动。这固定的直线称为刚体的转轴。显然，刚体内的其他各点分别在垂直于转轴的各平面内作圆周运动，圆心都在转轴上。
刚体内任一点Q和其圆周轨迹中心O'的连线O'Q（图1）称为该点的转动半径。从固定平面Ozx到转动平面OzQ的转角φ，可用来确定该刚体的瞬时位置。转角φ随时间t的变化规律称为刚体的转动方程，写作：
转角φ的变化Δφ与对应时间间隔Δt的比值Δφ/Δt=ω*称为平均角速度。当Δt→0时，ω*所趋的极限ω称为（瞬时）角速度，即
当角速度ω随时间t变化时，其变化Δω与对应时间间隔Δt的比值Δω/Δt=ε*称为平均角加速度。当Δt→0时，ε*所趋的极限ε称为（瞬时）角加速度，即
刚体的角速度和角加速度都可表示为沿转轴Oz（单位矢为k）的滑动矢量。（图2）。角速度矢ω和角加速度矢ε可分别写作ω=ωk，ε=εk。
转动刚体内任一点Q的线速度v等于v=ω×r，且v=ω·O?Q。点Q的线加速度α为：
α=αt+αn=ε×r+ω×v，
且αt =ε·O?Q ， αn=ω·O?Q。
上式中r为转轴上任一点O到点Q的矢径，而αt和 αn分别是点Q的切向和法向加速度（见加速度）。
刚体转动惯量的大小与下列因素有关：
（1）形状大小分别相同的刚体质量大的转动惯量大；
（2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越远转动惯量越大；
（3）对同一刚体而言，转轴不同，质量对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同。
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请问相对误差的保留位数是怎样确定的？ — 苏昊
相对误差一般保留一位有效数字，当要保留的一位正好是“1”时，可以多保留一位。 — 原媛
请问：以40度?90度的摆角测出的K值，在用于其他物体转动惯量计算时、若摆角较小，则算出的转动惯量与摆角较大时的结果相比是不是偏大了？还是没有偏差呢？ — 赵羿
会有偏差，至于测量结果是偏大还偏小，还希望同学能自己分析下。当然也非常欢迎你能到实验室再操作下，以寻求解释。 — 原媛
将金属滑块（以下称为金属圆筒）穿在金属杆上验证平行轴定理时，是把它当质点看待吗？我觉得这样误差太大，计算圆筒对过质心且与中心轴垂直的轴的转动惯量也没那么复杂。下面我提供两种算法，大家看看有没有问题。
有没有发现，其实这两种方法上完全一样，在第一种方法中，先对r、θ积分，最后对z积分，那第一种就变成第二种了。这正好加深对平行轴定理的理解。 — 蒋力夫
老师，验证平行轴定理时，以前的讨论说I0是横杆的转动惯量和滑块相对滑块质心转轴的转动惯量之和，但是这里I0是由d = 5.00 cm时的I计算得到近似值，也就是根据公式，I0=I1-m1*d1^2-m2*d2^2得到的，其中I1为d=5cm时测得的转动惯量，但是这个公式运用本身就需要平行轴定理成立，若用了这个公式不就是默认平行轴定理成立吗？ — 许勇
老师您好，我测量的几组数据里面都是实际值大于理论值，感觉可能好像只有K值会随角度的变化而变化，但具体是怎么变化的呢？我做实验时几乎每次都控制角度在40-90之间啊，而且都比较一致。 — 刘通
老师，我不太明白，为什么在以后的每个实验测量转动惯量时都没有像刚开始测量K值时那样要考虑金属载物盘的转动惯量？
金属载物盘只是作为塑料圆柱和金属圆筒的载体，后面测量其他物体转动惯量的时候可没有用到它来帮助固定位置，那还需要考虑吗？ — 高渊
预习的时候以为每个都是需要放在载物盘上，做完实验就明白了。
好吧，预习的问题建议还是留到实验中解决。
老师，我想问一下，就是做实验时验证平行轴定理时，I0+mx2中x为前后两次转轴的距离吧，那为什么其不始终为0？转轴不都是那根轴吗？在测5厘米，10厘米，15厘米…时谢谢
x是滑块距离转轴的距离，转轴不变，滑块在平行移动，不改变怎么验证呢。 — 高渊
可是书上讲的x为前后两次转轴的距离，见大学物理简明教程P66，表示看到的确实是这样的。
我这儿没有简明教程，大学物理通用教程倒是有一本，不过我想内容上估计差不多，你说的“x为前后两次转轴…”是否有误？应该是前后两轴的距离，一个轴是指转轴、另外一个轴是指物体质心轴，这样的话与实验教材和实验内容中的描述一致，而也应该是这样的。 — 高渊
老师，有点想不通。。既然扭摆运动具有角简谐运动的特性，那么在考虑摩擦阻力矩后，应该可以类比于阻尼运动。除了受迫振动外，物体运动的周期不应该都是由它本身的性质决定的吗，为什么摩擦力矩会对周期的测定产生影响呢？是不是由于角振幅的减小，使得K值发生了一定的改变导致的？
是今天下午实验室问这个问题的同学吧，你的想法是正确的。 — 高渊
老师，这个实验里天平的不确定度怎么算？Ub1是估读引起的，这里应该不考虑把？Ub2的话a是什么？ — 许灏
电子天平是数字显示的，虽然没有估读，但Ub1还是有的，就取最小精度即可，比如天平显示到小数点后第二位，Ub1就取0.01g；至于a为0.02g，P14页例题中有；不过话说回来这三个实验没要求大家算不确定度啊。 — 高渊
老师，我写试验报告的时候发现，验证转动惯量的平行轴定理时，I0其实应该可以等于金属细长杆中的I，但我算了一下，还是原先的方法算得的相对误差小，是不是用原先的计算方法能平衡掉一些误差？我一时间也没想到比较合理的解释。求助~ ——赵张琛
关于平行轴的这个I0，肯定是不等于金属细长杆中I0，虽然也比较接近，但这个不是算法造成的，至于为何，本讨论区有以往同学和老师的讨论内容可以参考，实在看不明白，周二89节我在804，可以来讨论一番。 — 高渊
抱歉到今天才回复，我刚刚看到陈亦丁和老师的讨论，就是说I0是横杆的转动惯量和滑块相对于通过自身质心的转轴的转动惯量之和，所以肯定大于原先金属细长杆中的I,同时，也就意味着无论滑块的位置，通过自身质心的转动惯量是不变的。应该是这么理解的吧？
“I0是横杆的转动惯量和滑块相对于通过自身质心的转轴的转动惯量之和”，还得包括附件的转动惯量啊，而且这里头的滑块注意是指两个滑块，至于滑块绕自身质心的转动惯量当然是不变的。 — 高渊
今天带我们试验的就是您啊，我回去看了签名后来才意识过来。哦哦，对的，这个我还漏了。总体来说这个试验误差还是很小的，像今天做液氮的数据处理发现误差极大，只能好好分析一下误差了。。
液氮实验误差很大很正常啊，出现误差的环节太多了。 — 高渊
老师，我想请问下为什么我在验证平行轴定理时真实值总比测量值大呢？与摩擦力有关吗？谢谢！——曾婧
请问老师附件数据表格中记录木球数据表格下的注释为什么是“T0为金属球的附件装置的摆动周期”呢？看了一下后面金属杆的注释，是不是这里写错了呢？
没写错啊，你这是在预习实验吧？到实验室看一下器材你就明白了。 — 高渊
谢谢老师，我的确是在预习的时候提出这个问题的，不过那时候想问的是为什么对于木球测的是金属球的附件装置，是不是应该改成木球的金属附件装置呢？ — 钱佳烨
《基础物理实验》教材上是木球，不过实验中所用球的密度约为2.73g/cm3，和铝的密度差不多，一般木材密度小于1g/cm3，铁、铜一般都7～8g/cm3之间，所以应该写成金属球，只不过一不留心又常常会写成木球。 — 高渊
在看了刘淑君和陈亦丁两位同学的问题讨论之后我还是有一点不明白，老师在回答刘同学的问题的时候说I≠I0，I0包含在I里面，那么为什么不把I0设为I-m1d1^2-m2d2^2,而要用“以d=5 时的I为I0，对于整个系统来说质心轴仍旧是转动轴，而且操作良好计算正确的话误差完全可以控制在&2%”，也就是用I来表示I0呢？这是先整体考虑I0再分开计算各个d值时的I么？但这样的确容易让人顺着系统的思路进行下去，搞不明白这个实验为什么是用来验证平行轴定理的。 — 郝梓涵
本实验提供的表格中，就是把I0设为I-m1d1^2-m2d2^2的，你看表格中以d=5 时的I和I0+m1d1^2+m2d2^2的数值空格不是合并成一格了嘛。是不是那两段讨论太长了同学你看糊涂了啊？ — 高渊
我大概是把“以d=5 时的I为I0，对于整个系统来说质心轴仍旧是转动轴”这句话理解错了……
仔细看了一下，不能怪你糊涂，是我在回答问题过程中虽然前面回答正确，后面由于偷懒拷贝了该同学的一段话，造成前后有点矛盾了，所以修改了一下，抱歉。 — 高渊
请问游标卡尺的不确定度限值是多少啊？？跟米尺一样吗？
序号仪器设备/测量工具型号最小分度不确定度限值参考文献*）
1钢尺 15cm 1mm 0.1mm [1]P14
钢尺 30cm 1mm 0.15mm [1]P14
钢尺 100cm 1mm 0.2mm [1]P14
2游标卡尺 精度1/50 0.02mm 0.02mm [1]P14
3千分尺 25mm 0.01mm 0.004mm
4读数显微镜 50mm 0.01mm 0.02mm [1]P88
*） [1]《基础物理实验》沈元华、陆申龙主编 北京 高等教育出版社 2003年12月
请问老师 对思考题的第二题拓展一下 如果我还想知道这个不规则物体的转动轴在哪里 要怎么测量？
同学你这个问题不对劲啊，不知道转动轴在哪里？那岂不是不知道该物体怎么转的，这还测量什么啊。。。。转动轴是需要先设定的。 — 高渊
老师请问试验中的阻力矩是否是大致恒定的？还是随着摆角θ的改变而改变？我假设阻力矩不变时对θ''=-ω^2θ加入恒定的阻力矩再解微分方程发现阻力矩恒定的时候解得的单位圆角速度ω是不变的。阻力矩对于周期的测量值到底有影响吗？还是一开始对阻力矩恒定的假设就不成立？谢谢老师~
从阻力矩的定义上来说就不是一个恒定量嘛,不同质量和质量分布的物体带来的阻力应该是不一样的,阻力到转轴的距离也是不一样的,再说ω要是不变那岂非所有物体转动周期都一样? — 高渊
使水准泡居中的原因是什么啊？还有我实验做到一半，那泡泡就有点歪了，那么影响的数据是偏大还是偏小，这个影响大不大？
水平泡，测量前仪器未调节水平，应调节底座三个旋钮使得泡居中，实验过程中不得再移动转动装置。偏大偏小自己分析或者分别测量后比较可得，影响大小要看你仪器倾斜程度了。 — 高渊
老师，请问实验室的米尺，电子天平，周期测定仪的不确定度限值各位多少？不然无法做不确定度分析啊~~~谢谢了。
米尺和电子天平的不确定度限值在绪论课作业题目中有，周期测定仪的不确定度限值不详，你若想算一下暂取0.02s吧。本实验做误差分析即可，不用计算具体的不确定度大小。 — 高渊
我觉得在验证平行轴定理的时候，那个数据处理的方法是不是有问题？我觉得不能用d=5时的I作为I0吧，要不然移物体和移轴就不等效了，平行轴定理是要过质心的轴和平行于它的轴之间的距离，如果是d=5 时的I为I0的话，基准就不是过质心的轴了，和平行轴定理说的就不一样了，而且经过那样的处理确实偏差很大，很不合理。——刘淑君（）/
由于无法测量滑块绕质心转动周期，所以用d=5时的I来算I0，但注意：I≠I0，I0包含在I里面，这一点同学你是不是误解了？对于d=5cm时的整个系统来说质心轴仍旧是转动轴，而且操作良好计算正确的话误差完全可以控制在&2%。 — 高渊
以整体为研究对象我是考虑过的，但是以整体为研究对象的话，移动物体后物体的转动轴和过质心的轴是同一轴，转动惯量的改变并不是转轴的改变引起的，而是质量分布改变引起的呀，这好像就不能用平行轴定理了吧？
参看下面陈亦丁同学提问的讨论吧。 — 乐永康
这个讨论平台还真是养在深闺人未识啊…老师啊，这个讨论起来明显比较麻烦。不如像核心课程一样开一个类似的专门讨论网页。
我们倒是觉得这样的讨论很方便啊，欢迎就此进行讨论。 — 乐永康
验证转动惯量平行轴定理部分，推荐的数据表格里没有滑块重量，可能会导致忘记测量–Erwin Yang
谢谢提醒,已经加上. —
参考表格中,4的第二个表格应该是木球,不是金属球吧?–Henry Su
是木球，已在表格中更正。 —
请问在金属细长杆加上滑块后分别对称和不对称放置的两个实验中，我所测量到的数据里，对称放置的实际值总小于理论值，而不对称的时候刚好反过来了，这里面有什么原因还是纯属巧合呀？
滑块的转动惯量你是如何计算的？我们每周二下午1：30到4：30实验室都是开放的，建议你到时对本实验做一个深入的测量。 —
我想问一下最后数据处理的时候要不要进行不确定度的计算?如果要算，估读的不确定度和仪器的不确定度限值分别是多少。如果不需要，那什么时候需要进行不确定度的计算。——杨海洋
本实验不需要算不确定度，故各测量仪器的不确定度限值未提供。是否计算不确定度要看各个实验的实验内容的具体要求。 — 高渊
我想问一下要把本页上上的数据表格抄到预习报告吗？
可以抄在后面,不抄也行,只要记录整齐,不是非得有表格的. — 高渊
我想问后面选做的不对称部分如何用最小二乘法拟合呢？两个d是不一样的，如何确定直线方程中的k呢？
可以将2个D的平方和当作一个参量进行拟合. — 高渊
(接上)可是那两个滑块的质量我测得的都不一样的，两个d如何合并？
两个mD2的和作为变量可以吗？ — 乐永康
抱歉来晚咯。。。这个这个。。。乐老师把K给干掉了。。。由于很难保持两个滑块质量完全相同，一般建议把质量取平均值，误差无法避免，可写在分析中 — 高渊
高老师，两个mD2的和作为自变量来处理数据，还是可以求出K的吧？ — 乐永康
一般用两个D2的和作为自变量. — 高渊
在实验处理时发现验证平行轴定理是用公式【I=I0+m1(d1^2-d0^2)+m2(d2^2-d0^2)，d0为I0时滑块距转轴的距离】比用原公式所得误差更小，为什么？个人认为可能不应该直接用滑块到转轴的距离d1和和d2。在这里请教了。–陈亦丁
陈亦丁同学的观点是有道理的，但这是为什么呢？。正确使用平行轴定理的关键在于正确地理解I0。陈亦丁同学对I0是怎么理解的？其他同学有什么见解？
请各位同学先谈谈自己的看法。我会在晚些时候提供一个我自己的理解。 — 乐永康
各位同学都是只提问题，不参与讨论啊？有点失望。
对一个形状不变的刚体来说，平行轴定理中的I0是指转轴通过质心时的转动惯量。而对于我们的实验体系，为了避免转动时因转轴偏离质心而引入额外的摩擦，转动对象的质量始终是对称分布的（转轴一直过质心）。不过，在分析的时候，我们可以先只考虑一个滑块时的情形。这时，I0是横杆的转动惯量和滑块相对于通过滑块质心的转轴的转动惯量之和。有两个滑块的时候，也要类似处理。不知道这一点是否就是陈亦丁同学看到的结果的原因。 — 乐永康
这个问题困惑了不少同学,还是乐老师解释的比较易懂,以后让同学就来看这儿. — 高渊
可是I0为什么是横杆的转动惯量和滑块相对于质心的转动惯量之和呢？不应该是滑块相对于转轴的转动惯量吗？既然这样，不就没有办法验证平行轴定理了吗—高立
I0只是个符号,你可以拿它来定义不同的转动惯量,我们给出的参考表格里头是代表横杆的转动惯量和滑块相对于质心的转动惯量之和.若还是不清楚来找我问吧. — 高渊
I0包含横杆和支撑的转动惯量，是实验方法引入的一个常数。这不影响验证平行轴定理。就如线性拟合的时候，我们用的方程是y=kx+b，无论b是什么值，y和x都是线性依赖关系，而在b=0时，我们说两者成正比。 — 乐永康
测I0时其测得的转动惯量为I杆+I1+I2+m1d1^2+m2d2^2,其中I1,I2为两个重物以质心为转轴的转动惯量。对之后任意给定的d1'，d2',都有I=I杆+I1+I2+m1d1'^2+m2d2'^2,我们可以看到如果直接取第一次测得的转动惯量为I0不能为我们的数据处理提供方便，因为我们要和楼主一样算一个平方差，想要简化计算，把I0定义为I杆+I1+I2是好的。——章希煜
呃….好像有点明白了，但是不对称放置时为什么会出现更大的误差呢？是否是因为仔细分析会使公式很复杂而不考虑？–陈亦丁
我觉得（不一定对啊！）：不对称放置时，转轴要保持平衡还需要一个额外的力，由于此力的力臂较小，这个力会比较大，也就是会引入额外的摩擦，使得转动周期测量不准确。 — 张皓
呵呵，好像不是太难想到吧！以后自己努力多分析，譬如现在再对照你自己滑块不对称放置时的测量结果做点讨论，看看这样的分析是否合理. — 乐永康
我也准备讨论这个问题啊，数据应该是隐含着一个合理的解释而不是随机误差，因为我的不对称数据误差比对称数据误差大一个数量级，而且在对照试验的理论值更大的一次实验的测得值也总是偏大，反之也是（比如重滑块10.00cm 轻滑块5.00cm时的测得值偏大理论值约2%，轻滑块5.00cm，重滑块10.00cm时的测得值偏小理论值约2%），上面说的理论值是已经计入质量不同因素的理论值。但是还是想不到可能的解释，我觉得应该不是摩擦力的问题，因为摩擦力应该总是使测得值偏大或偏小的吧。。。— 甘家雨
首先从百分偏差来看，不对称使得误差大是肯定的，那么造成这个的原因除了摩擦力增大，还存在着其他的因素，比如金属细杆弯曲度的影响等，轻重滑块距离变化造成的偏差方向不同也还得在同一台仪器上测量更多组数据作比较，并且在其他仪器上也加以验证才能进行推断。 — 高渊
金属细杆弯曲应该不是主要因素，因为重滑块在远端造成更大的弯曲反而会降低转动惯量的测得值。可是现在没有机会再去做更多实验了。— 甘家雨
你说的没错，还得排除是否偶然因素或者比如K值的精确度带来的影响，需要一定的重复测量才能下定论。周二下午还是可以去做一下的，毕竟这实验操作起来特方便，测几个数据花不了多少时间。 — 高渊
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21:51 由 刘通
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定轴转动刚体的角动量和转动惯量
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来源：　　作者：孙炳华徐春环;
计算转动惯量的方法　 转动拨量反映了刚体转动状态改变的难易程度，即刚体的转动惯性。转动俱量的大小不仅与刚体的质量有关，而且与刚体的质量分布有关。同一刚体对不同的转轴，转动俱量亦不相同。关于转动惯量的计算归纳起来可有下面四种方法。第一种方法可根据转动拨量的定义直接去求（见图1）均匀细棒垂直通过质心转轴的转动拨量，设棒长为1，总质量为m，则线密度为nr，rt，l，丑一m／1，I一」x‘din—1二县广ndx一大叫“一六ml‘＿。，。‘。，、一。一、。、’l－‘“＊2’”1厂“““第二种方法就是利用平行轴定理‘”来计算。只要知道刚体绕通过质心转轴的转动拨量Ic，就可求出将轴朝任何方向平行移动一个距离d以后，刚体绕此轴的转动拨量：IDS卜十11d’。例如均质细棒绕端点D的转动拨量可直接运用平行轴定理即可求出：I。一Ic＋md’一大mlZ＋m（全月一13ml‘．—”一12”‘””“‘”2”第三种方法就是利用正交轴定理“’来计算。例如：有一块长方形匀质薄板长为a，宽为b。质量为m，试求绕中心垂直干板面轴的转动俱量。（见图2）首先可根据定义求出绕b边的转动拨。l－‘l“。in丑＊宜在＊儿“】n咒0m＝】n互“－－00X～(本文共计2页)　　　　　　　　　　
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