设虚数z1,z2满足z1^2=z2 (1)若z1,z2又是一实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2(2)若z1=1+mi,|z1|小于等于根号2,复数w=z2+3,求|w|的取值范围 急_百度作业帮
设虚数z1,z2满足z1^2=z2 (1)若z1,z2又是一实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2(2)若z1=1+mi,|z1|小于等于根号2,复数w=z2+3,求|w|的取值范围 急
设虚数z1,z2满足z1^2=z2 (1)若z1,z2又是一实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2(2)若z1=1+mi,|z1|小于等于根号2,复数w=z2+3,求|w|的取值范围 急
1 z1=a+biz2=a-bi得到：a2-b2=a2ab=-b因为z1和z2是虚实,所以b不等于0所以a=-0.5 b=正负根3/22m2+1小于等于2所以m大于等于-1小于等于1z2=1-mi w=4-mi|w|=根号（m2+16）m2小于等于1,所以|w|大于等于4,小于等于根17【2012届高三一轮复习数系的扩充与复数的】-中国学网-中国IT综合门户网站
本文由龙诗春222贡献
数系的扩充与复数的引入
【考纲要求】 1．复数的概念 ①理解复数的基本概念。②理解复数相等的充要条件。 ③了解复数的代数表示法及其几何意义。 2．复数的四则运算 ①会进行复数代数形式的四则运算。 ②了解复数代数形式的加、 减运算的几何意义。 3． 掌握分数法、 0.618 法及其适用范围， 能运用这些方法解决一些简单的实际问题， 知道优选法的思想方法。 4．了解斐波那契数列{Fn}，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通 过连分数知道
Fn ?1 和黄金分割的关系。 Fn
5．知道对分法、爬山法、分批试验法，了解目标函数为多峰情况下的处理方法。 了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法及其优选的思想方法。 6．了解正交实验的思想和方法，能应用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。 （注：高考中，重点考查优选法的简单运用） 。 11.1 复数基本概念
【学习目标】 理解复数的基本概念。理解复数相等的充要条件。 【知识网络】 复数的基本概念、复数相等的充要条件。 【知识学习】 1．虚数单位：i 满足 i2＝ ，|i|＝ 。 2．复数：z＝a＋bi(a、b∈R)的数，a 称为复数 z 的 ，b 称为复数 z 的 R 当 b＝ 时，复数 z 是实数，当 b≠ 时，复数 z 是虚数，当 a＝ ，b≠ 复数 z 是纯虚数。 3．复数的模：若 z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝ 。 R 4．共轭复数：z＝a＋bi(a、b∈R)与 z ＝ R z· z ＝|z|2，z∈R ? z R
互为共轭复数 ? z＋ z ∈R。 R ? z2 0。
z ，z 是纯虚数 ? z＋ z ＝
5．x1＋y1i＝x2＋y2i(x1、y1、x2、y2∈R) ? R 数不能比较大小。 【典型例题】
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。 不全是实数的两个复
例 1（1）复数 z = A． 1 + 1 i
1 的共轭复数是 1? i
B． 1 ? 1 i
D． 1 + i （ ）
（2） (1 ? i)(1 + 2i) =
a + bi （3）设 a 、 b 、 c 、 d ∈ R ，若 为实数，则 c+di A． bc + ad ≠ 0 B． bc ? ad ≠ 0 C． bc ? ad = 0
A． ? 2 ? i
B． ? 2 + i
D． 2 + i D． bc + ad = 0 ．
（4）若 z1 = a + 2i , z2 = 3 ? 4i ，且 （5）已知 a =
z1 为纯虚数，则实数 a 的值为 z2
?3 ? i 4 (i 是虚数单位),那么 a = ． 1 + 2i 例 2 已知复数 z=1＋i，求实数 a，b 使得 az＋2b z =(a＋2z)2。 例 3 设虚数 z1、z2 满足 z12=z2，若 z1、z2 是一个实系数一元二次方程的两个根，求 z1、z2。 例 4 对任意一个非零复数 z，定义集合 Mz={ω|ω=z2n－1，n∈N}，设 z 是方程 1 x + = 2 的一个根，试用列举法表示集合 Mz。 x 【课内练习】 1． i 是虚数单位， A．1＋i (?1 + i )(2 + i ) 等于 （ ） i3 B．－1－i C．1＋3i
D．－1－3i ）
2．已知复数 z1=3＋4i，z2=t＋i，且
z1· z2 是实数，则实数 t 等于（ A． 3 4 B． 4 3 C．－ 4 3 （ D．－ ） 3 4
3．设复数 z=1＋ 2i ，则 z2－2z 等于
A．－3 B．3 C．－3i D．3i 2 4．已知复数 z 与(z＋2) －8i 均是纯虚数，则 z= 5．若复数 z 满足 z(1＋i)=2,则 z 的实部是 6．已知 z 是复数，z＋ z &2 的一个充要条件是 z 满足
编者：衡南县第五中学龙诗春 280
m = 1 ? ni ，其中 m、n 是实数，i 是虚数单位，求 m＋ni。 1+ i
8．关于 x 的方程 3x －
a 2 x－1=10i－ix－2ix 有实数根，求实数 a 的值。 2
9．当 m 分别为何实数时，复数 z=m －1＋(m ＋3m＋2)i 是（1）实数？（2）虚数？ （3）纯虚数？（4）零？ 11.2 【学习目标】 会进行复数代数形式的四则运算。 【知识网络】 复数的加减乘除运算。 【知识学习】 1．设 z1 = a + bi, z2 = c + di (a, b, c, d ∈ R) ， 加减法： (a + bi ) ± (c + di ) = __________ . 故有 | z1 + z2 |2 + | z1 ? z2 |2 = ___________ . 乘法： (a + bi )(c + di ) = __________ . 除法：
a + bi (a + bi )( ) ( = = 2 2 c + di c +d c2 + d 2 复数的加法、乘法满足 ，结合律及乘法对加减法的 实数的正整数指数幂运算也能推广到复数集中， )
复数的运算
即 z m ? z n = _________, ( z m ) n = ________, ( z1 ? z2 )n = ______ .(m, n ∈ N * )
3．常用结论：(1±i) ＝
1+ i ＝ 1? i
1? i ＝ 1+ i
1± i 2 ，( ) ＝ 2
2 在实数集中， z12 ＋ z 2 ＝0 ? z1＝z2＝
2 ，在复数集 C 中， z12 ＋ z 2 ＝0 可否有相同的
i 4 n +1 = ____, i 4 n + 2 = ______, i 4 n +3 = ______, i 4 n = _______ . （n∈Z） Z
【典型例题】 例1 ⑴若 (a ? 2i )i = b ? i ，其中 a 、 b ∈ R ， i 使虚数单位，则 a 2 + b 2 = A．０ B．２ C．
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A． i B． ?i C．1 D． ?1 ⑶投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的 概率为 1 1 1 1 A、 B、 C、 D、 3 4 6 12 例2 计算⑴
1 ? 3i 1 + 2i 5(4 + i ) 2 ；⑵ ；⑶ 。 3 + i3 i (2 + i ) ( 3 + i)2
设 z 是虚数，w=z+
1 是实数，且－1＜ω＜2。 z 1? z ，求证：u 为纯虚数；⑶求 w－ 1+ z
⑴求|z|的值及 z 的实部的取值范围；⑵设 u=
u2 的最小值。
例 4 若关于 x 的方程 x2＋(t2＋3t＋tx )i=0 有纯虚数根，求实数 t 的值和该方程 的根。
【课内练习】 1．i 是虚数单位， A．
i =（ 1+ i
1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ i B．－ ＋ i C． － i D．－ － i 2 2 2 2 2 2 2 2 2．设复数： z1 = 1 + i, z2 = x + 2i ( x ∈ R ), 若z1 z2 为实数，则 x=（ ）
1 3．复数（1＋ ）4 的值是（ ） i A．4i B．－4i C．4 D．－4 2 4．如果复数（m ＋i）(1＋mi)是实数，则实数 m=
5．若复数 a + 3i
（a∈R，i 为虚数单位）是纯虚数，求实数 a 的值。 6．对任意一个非零复数 z，定义集合 Mz={ω|ω=zn，n∈N}。 1 （1）设 z 是方程 x + = 0 的一个根，试用列举法表示集合 Mz；若在 Mz 中任意取两 x
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个数，求其和为零的概率 P； （2）若集合 Mz 中只有 3 个元素，试写出满足条件的一个 z 值，并说明理由。 7．已知复数 z=1＋i，如果
z 2 + az + b =1－i,求实数 a,b 的值。 z2 ? z +1
复数几何意义
【学习目标】 了解复数的代数表示法及其几何意义。 了解复数代数形式的加、 减运算的几何意义。 【知识网络】 复数几何意义、加减法的几何意义。 【知识学习】 1．z＝a＋bi(a、b∈R)的几何形式：①点 Z R 用来表示复数的坐标平面称为 ；y 轴（除去原点）称为 数是 ；②向量 OZ ＝ 。
，其中 x 轴称为 ，其上的点表示的复 ，其上的点表示的复数是 。
2．复数 z＝a＋bi(a、b∈R)就是点点 Z，就是向量 OZ ，因而复数的加减法就是向 R 量的加减法。 3．复数的模|z|＝r 的几何意义就是复平面上到原点的距离为 r 的点的集合，其轨 迹是以原点为圆心，r 为半径的圆。 【典型例题】 例 1（1）复数 z =
?1+ i ? 1. 在复平面内，z 所对应的点在（ ） 1+ i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知|z|=1，则|z＋
1 |＋|z－6|最小值是（ 2 1 2
（3）若 z 是复数，|z ＋2－2i|=1,则|z－2－2i|的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2 2 （4）复数 z 满足|z－1| －|z＋1| =4,则复数 z 在复平面内对应的点所在轨迹方程 是 。 z 例 2 已知 z 是复数，z＋2i, 均为实数（i 是虚数单位） ，且复数（z＋ai）2 在 2?i 复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围。
编者：衡南县第五中学龙诗春 283
例 3 对于任意两个复数 z1=x1＋y1i, z2=x2＋y2i,(x1,x2,y1,y2 为实数)， 定义运算※为： ω P 点 z1※z2= x1x2＋y1y2,设非零复数ω1， 2 在复平面上对应点为 P1， 2， O 为坐标原点， ω1※ω2=0，在△P1OP2 中求∠P1OP2 的大小。 例 4 设复数 z 满足|z|=5,且（3＋4i）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角 平分线上，| 2z －m|=5 2 ( m∈R)，求 z 和 m 的值。
【课内练习】 1．在复平面内，复数 A． 第一象限
i 2 ＋(1＋ 3 i) 对应的点位于( 1+ i B． 第二象限 C． 第三象限
) D．第四象限 （ ）
2．已知复数 z 满足|z＋i|＋|z－i|=4,则 z 在复平面内对应点的轨迹是 A．圆 B．线段 C．焦点在虚轴上的椭圆
D．焦点在实轴上的椭圆 ）
3．已知复数 z 满足|z＋3－4i|=2，则|z|的最大值和最小值分别是（ A．1 和 9 B．3 和 7 C．5 和 11 D．4 和 10
4．设 z 是复数，则由 z、|z|
、 z 、| z |、|z| 、| z | 、z 、 z 所组成的集合中，最 多含有的元素个数是 A．5 B．6 （ ） C．7
→ → 5．非零复数 z1、z2 满足关系|z1|=|z2|=1，且|z1＋z2|=|z1－z2|，则以OZ1 ，OZ2 为邻 边的四边形是 6．设复数 z 满足 。
1? z = i ，则|1＋z|= 1+ z
7．方程 z＋| z |=2＋1 的解是
8．m 分别为何实数时，复数 z=m2－1＋(m2－3m＋2)i (1)表示的点位于第二象限； （2）表示的点位于复平面内的直线 y=2x 上。
r 3 9．已知复数 z= + ri , 2 2
且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|。
10．在复数范围内解方程 z + ( z + z )i =
3?i (i 为虚数单位)。 2+i
编者：衡南县第五中学龙诗春 284
【学习目标】 掌握分数法、0.618 法及其适用范围，能运用这些方法解决一些简单的实际问题， 知道优选法的思想方法。了解斐波那契数列{Fn}，理解在试验次数确定的情况下分 数法最佳性的证明， 通过连分数知道
Fn ?1 和黄金分割的关系。 知道对分法、 爬山法、 Fn
分批试验法，了解目标函数为多峰情况下的处理方法。了解多因素优选问题，了解 处理双因素问题的一些优选方法及其优选的思想方法。 【知识网络】 优选法、单峰函数、单因素问题、好点与差点、黄金分割法、分数法及其应用。 【知识学习】 1．最佳点：人们为了达到优质、高产、低消耗等目的，需要对有关因素的最佳组 合进行选择，这种最佳因素称为最佳点。关于最佳点的选择问题，称为优选问题。 2．优选法：根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验， 以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法。 3．单峰函数：如果函数 f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最大值点（或最小值点）C， 而在最大值点（或最小值点）C 的左侧，函数单调增加（减少） ，在点 C 的右侧，函 数单调减少（增加） ，则称这个函数为区间[a，b]上的单峰函数。规定：[a，b]上 的单调函数也是单峰函数。 4．单因素问题：在一个试验过程中，只有（或主要有）一个因素在变化的问题， 称为单因素问题。 5．好点与差点：设 x1 和 x2 是因素范围[a，b]内的任意两个试点，并把试点中效果 较好的点称为好点，效果较差的点称为差点。 6．黄金分割法：利用黄金分割常数 ω ＝
5 ?1 ≈0.618 确定试点的方法叫黄金分割 2
法。也叫 0.618 法。黄金分割法适用目标函数为单峰函数的情形，第 1 个试验点确 定在因素范围的 0.618 处，后续试点可以用“加两头减中间”的方法来确定。 7．分数法：用渐进分数近似代替 ω 确定试点的方法叫分数法。如果因素由一些不 连续、间断不等的点组成，试点只能取某些特定数，则可
采用分数法。在目标函数 为单峰的情形，通过 n 次试验，最多能从(Fn＋1－1)个试点中保证找出最佳点，并且 这个最佳点就是 n 次试验中的最优试验点。在目标函数为单峰的情形，只有按照分 数法安排试验，才能通过 n 次试验保证从(Fn＋1－1)个试点中找出最佳点。{Fn}是斐 波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 【典型例题】 1 例 1 函数 f(x)＝ x3－2ax2＋3a2x＋2 的定义域是[0，4]。⑴若 f(x)的最佳点是 x＝3， 3
编者：衡南县第五中学龙诗春 285
求 a 的值；⑵若 f(x)是单峰函数，求 a 的取值范围。
例 2 用黄金分割法对某试验进行优选，已知试验的数据范围在 1000 到 3000 之间。⑴ 试求第一次、第二次试验点的值；⑵在进行第一、二次试验后，若第一次试验点比第二 次试验点好，求第三次试验点的值；⑶若要达到精度 0.01，需要进行多少次试验？
⑴在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为 0.8k
Ω、1.2 kΩ、1.8 kΩ、3 kΩ、3.5 kΩ、4 kΩ、5 kΩ共七种定值电阻，他用分数法 进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第 1 个试点值的电阻是 A．0.8 kΩ B．1.8 kΩ C．3 kΩ D．3.5 kΩ
⑵某实验因素对应的目标函数是单峰函数， 若用分数法需要从 20 个试验点中找最佳点， 则需要做试验的次数是 A．6 次 B．7 次 C．10 次 D．20 次
【课内练习】 1．试验的因素范围是[10，100]，用 0.618 法确定试验点，第一个试验点是（ ） A．0.618 B．61.8 C．71.8 D．65.6 2．用 0.618 法确定试点，经过 8 次试验后存优范围缩小为原来因素范围的（ ） 6 7 8 C．0.618 D．0.618 A．0.618 B．0.618 3 2 3．f(x)＝2x －6x ＋m 在[－3，2]上是单峰函数，则下列区间中为最小存优范围的 是（ ） 1 1 1 1 A．[－2，2] B．[－1，1] C．[ ， ] D．[－ ， ] 4 2 4 4 3 2 4．函数 f(x)＝x ＋3ax ＋3x＋1。 ⑴若 f(x)在[0，＋∞）上单调，求 a 的取值范围； ⑵若 g(x)＝f(x)－3x 在[－1，4]上是单峰函数，求 a 的取值范围。 1 1 1 9 5．解不等式 ＞ (n∈N＋)。 N 1 + 2 + n 13 6．设 f(x，y)＝ 4 y ? y 2 －log2(x2－2x＋5)表示双变量 x、y 的函数。 ⑴你能写出这个函数的定义域？ ⑵若 x＝3，此时 f(x，y)有最值吗？如有，请求出来；同样若 y＝0，f(x，y)有最 值吗？如有，请求出来； ⑶根据⑴、⑵的结果，你能写出这个函数的最值吗？
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复数z=（3m-2）+mi（m属于R,i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于
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