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小学数学新课堂
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博识教育四年级教材奥数教材95页
上传: 张基军 &&&&更新时间： 20:47:24
第一讲&&&&&&& 归一问题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2
第二讲&&&&&&& 加法交换律和加法结合律&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6
第三讲&&&&&&& 求总问题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8
第四讲&&&&&&& 减法性质&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 12
第五讲&&&&&& 平均数应用题（一）&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&14
第六讲&&&&&&& 乘法运算定律&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 19
第七讲&&&&&&& 平均数应用题（二）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 22
第八讲&&&&&&& 除法性质&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 26
第九讲&&&&&&& 还原问题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 29
第十讲&&&&&&& 小数的计算&&&乘法&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 33
第十一讲&&&&& 假设法解应用题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 35
第十二讲&&&&& 小数的计算&&&除法&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 39
第十三讲&&&&& 对应法解应用题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 41
第十四讲&&&&& 小数的简算&&&加减法&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&45
第十五讲&&&&& 列方程解应用题（一）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 47
第十六讲&&&&& 小数的简算&&&乘法&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 50
第十七讲&&&&& 列方程解应用题 （二）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 52
第十八讲&&&&& 小数的简算&&&除法&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 57
第十九讲&&&&& 列方程解应用题（三）&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&59
第二十讲&&&&& 小数的计算&&&综合&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 65
第二十一讲&&& 年龄问题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 66
第二十二讲&&& 解方程（一）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 70
第二十三讲&&& 行程问题 （一）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 72
第二十四讲&&& 解方程（二）&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&77
第二十五讲&&& 行程问题（二）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 79
第二十六讲&&& 解方程（三）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 85
第二十七讲&&& 行程问题（三）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 86
第二十八讲&&& 混合运算&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 92
第一讲 归一问题
基本数量关系：
总数&份数 = 每份数
每份数&份数 = 总数
总数&每份数 = 份数
【例1】& 小明买了5本练习本，付出4元钱，全班有50个同学需要买250本练习本，一共需要多少钱？
分析：由&5本练习本，付出4元钱&可以算出一本练习本是4&5=0.8元钱；知道一本练习本的单价（单一量）就可以算出250本练习本的总钱数。
解：（1）4&5=8（元）
（2）0.8&250=200（元）
答：一共需要200元。
小结：这是一道正归一应用题。
【例2】& 修路队要修一条长2000米的公路，前5天修筑了100米。照这样计算，要修这条公路需要多少天？
分析：由&5天修筑100米&，可以算出平均每天修筑的米数（单一量），再算2000米里包含了多少个&单一量&就是修完这条公路一共需要的天数。
解：（1）100&5=20（米）
（2）（天）
答：要修完这条公路需要100天。
小结：这是一道反归一应用题。
【例3】& 15头牛8天吃青草840千克。照这样计算，3150千克青草可供30头牛吃几天？
分析：首先要算出1头牛1天的青草量（单一量），接下来就可以算出30头牛1天的吃草量，最后用包含除法可以求出3150千克青草供30头牛吃的天数。
解：（1）840&8&15=7（千克）
（2）7&30=210（千克）
（3）（天）
答：3150千克青草可供30头牛吃15天。
试一试：还有别的方法吗？
1、北京到天津的公路长120千米。一批游客乘客车3小时行了90千米。照这样的速度，客车到天津需要_______小时。
2、一台抽水机3小时抽水420吨。照这样计算，五小时抽水_______吨。
3、用4台拖拉机3天可耕地24公顷，照这样计算，2台拖拉机5小时可耕地_______公顷。
4、一台机器4小时加工160个零件。照这样计算，再加工240个零件，一共需要_______小时。
二、应用题
1、卡车4小时行驶240千米，照这样的速度，要行驶420千米，需要多少小时？
2、一个运输队3辆汽车5天节约汽油75升。照这样计算，这个车队计划30天节约汽油1800升，这个车队共有汽车多少辆？
3、王明4分钟做24道口算题，照这样计算，做72道口算题需要多少分钟？
4、小强买了2枝圆珠笔，共付了12元，现要买这种圆珠笔3枝，问需要多少钱？若有48元钱，可以买这种笔多少钱？
5、一座炼钢厂预计2001年下半年炼钢50万吨，比上半年多炼10万吨，这座炼钢厂预计在2001年平均每月炼钢多少万吨？
1、如果买6个书包和3盒水彩笔需要294元，而如果买了2个书包和3盒水彩笔只需要154元，求一个书包和一盒水彩笔各多少钱？
2、服装厂12个人6天可加工720件服装，照这样计算，如果增加3人，15天可以加工多少件服装？
3、养牛场有300头牛，6天吃精饲料5400千克，照这样计算，卖出100头以后，15天需要多少千克精饲料？
1、织布厂要织布3600米，先用5台织布机8小时可以织布960米，如果再增加17台织布机，几小时就能将余下的任务完成？
2、甲、乙两个工人加工一批零件，甲4.5小时可加工18个，乙1.5小时可加工8个。两人同时工作27小时，只完成任务的一半，这批零件有多少个？
第二讲&&& 加法交换律和加法结合律
例题讲解：
& 【例】（1） 343－289＋57&&&& &&&&&&（2）157＋98
＝343＋57－289&&&&&&&& &&&&&＝157＋100－2
＝400＋289&&&&&&&&&&& &&&&&&＝257－2
＝689&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&＝255
容易出现的问题：
（1） 343－289＋57&&&&&& &&&&（2）157＋98
＝343－57＋289&&&&&&&&& &&&&＝157＋100＋2
＝286＋289&&&&&&&&&&&&& &&&&＝257＋2
＝575&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&＝259
错误分析：（1）题中运用加法交换律时，忘记&带着符号搬家&。
&&&&&&&&& （2）题中&加整减零&运用错误
127+352+73+44&&&&& &&&&&&&&&&89+276+135+33&&&& &&&&&&&25+71+75+29 +88&
243+89+111+57&& &&&&&&&&&&&&&89+124+11+26+48&&&& &&&&&&&&&875-147-23
89+276+135+33&&& &&&&&&&&&&&&&&25+71+75+29 +88&&&& &&&&&&243+89+111+57
380＋476＋120&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&158+262++381+225
355+260+140+245&&&& &&&&&&&&123＋34－23＋66&&&&& &&&&&&&&&329+073+227&&&&&&&&&
5&& &&&&&&&&&&&&&329+73-229+227&& &&&&&&&&&&&&75＋49－65
235+&&&&& &&&&&&&&785＋234－85＋466&&& &&&&&368＋756－268
184＋98&&& &&&&&&&&695＋202&& &&&&&&&&&864－199&&&&&& &&&&&&738－301
第三讲 求总问题
【例1】& 电力工人装一批电杆。每天装12根，10天可以完成。如果每天装15根，几天可以完成？
分析：先求出电杆的总数（总量），再求天数。
解：（1）12&10=120（根）
（2）120&15=8（天）
答：如果每天装15根，8天可以完成。
【例2】& 玩具厂生产一批电动智力玩具。原计划每天生产120箱，28天可以完成任务；实际每天多生产20箱，这样可以提前几天完成？
分析：要求可以提前几天，需要求出实际生产的天数。要求实际生产的天数，需要先求出这批玩具一共有多少箱（总量）。
解：（1）120&28=3360（箱）
（2）3360&（120 + 20）=24（天）
（3）28 & 24 =4（天）
答：实际每天多生产20箱，这样可以提前4天完成。
【例3】& 装运一批大米，原计划用每辆装48袋的汽车9辆，15次可以运完；现在改用每辆可装60袋的汽车6辆来运，几次可以运完？
分析：要求几次运完，先要求出这批大米的总数有多少袋（总量）。
解：（1）48&9&15
=6480（袋）
答：现在改用每辆可装60袋的汽车6辆来运，18次可以运完。
1、公司要安装一批设备。每天装12台，10天可以完成。如果要求在8天内天完成，平均每天要装_______台。
2、小明看一本故事书，每天看16页，9天正好看完。如果每天看18页，，_______天可以看完。
3、小华和小刚读同样一本书，小华每天读12页，6天读完，小刚想8天读完，平均每天要读_______页。
4、全班同学平均站成6排，每排正好8人。如果站成4排，平均每排站_______人。
5、搬运一堆红砖，小冬一次搬5块，要16次才能搬完，如果小冬每次多搬3块，_______次就可搬完。
二、应用题
1、幼儿园给40个小朋友分苹果，每人分6个正好分完，如果每人分4个苹果，可以分给多少个小朋友？
2、小华从家到学校每分钟步行50米，走了8分钟，因把笔忘在家中，又从学校跑回家，每分钟跑80米，需几分钟才能回家？
3、小青家有个书架共5层，每层放36本书，现在要空出一层放碟片，把这些书放入4层，每层比原来多放多少本书？
4、工厂运来一堆煤，如果每天烧煤1500千克，6天就能烧完，如果每天烧1000千克，可以多烧几天？
5、四年级同学排队做广播操，每行排12人，正好排4行。如果每行少排4人，可以排多少行？
1、某车间计划20人每天工作8小时，8天完成一批定货，后来要提前交货，改由32人工作，限4天完成，每天需工作几小时？
2、某工程队预计用20人14天挖好一条水渠，挖了2天后，又增加20人，每人的工作效率相同可以提前几天完工？
3、一项工程，预计30人工作15天可以完成任务。工作了4天，又增加了3人。如果每人的工作效率相同，这样可以提前几天完成任务？
1、一个农场计划28天完成收割任务，由于每天多收割7公顷，结果18天就完成了任务。实际每天收割多少公顷？
2、甲、乙、丙三人在春游时买了8个面包，平分着吃，丙没有带钱，所以甲付了5个面包的钱，乙付了三个面包的钱，第二天，丙带来了他应付的3元2角钱，问甲、乙各应收回多少钱？
第四讲&&&& 减法性质
例题讲解：
【例】 （1）1365－（365＋570）&&&&&&&& （2） 978－444－356
&&&&&&&&&&&&& ＝－570&&&&&&&&&&&&&&&& ＝978－（444+356）
＝&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ＝978 －800
&&&&&&&&&&&&& ＝430&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ＝178
容易出现的问题：
（1）1365－（365＋570）&&&&&&&& （2） 978－444－356
&&&&&&&&&&&&& ＝＋570&&&&&&&&&&&&&&&& ＝978－（444－356）
＝&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ＝978 －88
&&&&&&&&&&&&& ＝1570&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ＝890
错误分析：（1）题中减法性质中的去括号法则运用错误
&&&&&&&&& （2）题中减法性质中的添括号法则运用错误
256－147－53&&&&& &&&&&&&&&&&373－129＋29&& &&&&&&&&&&&&189－（89＋74）
456－（256－36）&& &&&&&&&&&&450-210-190&&&&& &&&&&&&&&&&454-154-26
454-（26+174）&& &&&&&&&&&&&&454-154-174& &&&&&&&&&&&&454-（154+26+174）
234－66－34&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&（569＋468）＋（432＋131）
－&& &&&&&&&&&&&&645-180-245&&&&&&&&&&&&& 329-73-27&&&
-17)& &&&&&&&&&&&1107－(985＋107) &&&&&&&&&&234－8－134－72&&& &&&&&
356－18－156－72&&&&&&&&&&&&& 800－245－155&&&&&&&&&&&&& 714－53－247
第五讲& 平均数应用题
知识要点：
基本数量关系：
总数量&总分数=平均数
总数量&平均数= 总分数
平均数&总分数=总数量
例题讲解：
【例1】& 李明第一、二两次测验的数学平均成绩是65分，第三次测验后，三次平均成绩是75分，第三次得多少分？
&分析：由前两次测验的平均成绩可以算出前两次测验的总成绩，由三次测验的平均成绩可以算出三次测验的总成绩。用三次测验的总成绩减去前两次测验的总成绩，可得第三次的考试成绩。
&& 解：（1）前两次测验的总成绩：
&&&&& （2）三次测验的总成绩：
&&&&& （3）第三次成绩：
&& 答：第三次得95分。
&小结：本题主要讲解：总数量=平均数&总份数
【例2】& 胜利学校六年级学生乘车春游，前三小时行了204千米，后2小时行了166千米后才到达目的地，这辆车平均每小时行多少千米？
&分析：平均速度=总路程&总时间，要求平均速度，先要知道这辆车一共行驶了多少千米，总路程为前三个小时的路程与后两个小时的路程的和，总时间为5个小时。用总路程除以总时间即为平均速度。
&& 解：（1）总路程：
&&&&& （2）总时间：
&&&&& （3）平均速度：
&& 答：这辆车平均每小时行74千米。
&小结：平均速度不等于两个速度相加除以2，而是要用公式：平均速度=总路程&总时间。
【例3】& 学生练习篮球投篮个数统计如下表：
每人投中个数
人&&&&& 数
平均每人投中多少个？
&分析：平均数=总数量&总分数。本题中平均每人投中的个数，就是全班一共投中的总个数除以本班的总人数。
&& 解：（1）全班投中的总个数：
&&&&& （2）全班的总人数：
&&&&& （3）平均每人投中的个数：
&& 答：平均每人投中9个。
&小结：求平均数一定要知道总数量，求投球总个数不能只是单纯的8+9+10，要注意人数。
基础巩固：
&1、第一小组共6名学生，在一次&引体向上&的测试中，他们分别做了8、10、8、7、6、9个，这6名学生平均每人做&&&&& 个？
&2、某小学举行歌咏比赛，六名评委对某位选手打分如下：
去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是多少？
&3、白云针织厂，11月份前12天平均每天做衣服1850套，后18天平均每天做衣服2100套，这个月平均每天做衣服&&&&& 套？
4、张梦期中考试语文和英语两科的平均分是96分，数学成绩是93分，语文、英语、数学的平均分是&&&&&& 。
某社区进行科普展览，第一天有234人参观，第二天比第一天多84人，第三天比第二天少30人，第四天有312人，平均每天参观展览的有多少人？
有25个儿童分橘子，平均每人分到7个橘子，又来了一些儿童，大家重新分这些橘子，平均每人只分到5个。又来了几个儿童？
木材厂用汽车运木材，上午运了4次。共运木材38吨，下午运了6次，平均每次运42吨。这一天平均每次运木材多少吨？
甲地到乙地的全程是60千米，小明骑自行车从甲地到乙地每小时行15千米，从乙地到甲地每小时行10千米，求小明往返的平均速度。
丁胜骑车从家到学校，两地距离是12千米。他去时每小时行6千米，回家时每小时行4千米，丁胜来回平均每小时行多少千米？
印刷厂要印刷32400本练习册，平均每天印刷1000册，印刷了10天后，余下的任务要用16天完成。余下的平均每天要印刷多少册？
培优训练：
刘华读一本童话书，前6天每天25页，以后每天多读15页，又经过3天正好读完，刘华平均每天读书多少页？
陈林上学期期末考试成绩：语文80分，音乐92分，体育80分，美术85分，数学成绩比五科平均成绩高6分。请你算一算陈林的数学成绩和五科平均成绩分别是多少？
一艘轮船从甲港出发到乙港，顺水航行每小时行25千米，8小时到达乙港，接着逆水航行往回返，每小时行20千米，求这艘轮船往返一次的平均速度。
拓展提高：
某公司的10名销售员，去年完成的销售额如下表
销售额（万元）
销售人员数（人）
求销售额的平均数。
第六讲&&&& 乘法运算定律
1、乘法结合律和乘法交换律
例题讲解：
【例】（1）450&30&9& &&&&&&&&&
＝450&9&30
容易出现的问题：
（1）450&30&9&&&&&&&&&&
＝450&9&30
错误分析：（1）题中运用乘法交换律时，忘记&带着符号搬家&。
28&4&25&&&& &&&&&&&&&&&&&&&125&32&25&&& &&&&&&&&&&&&&9&72&125&
25&125&40&8 &&&&&&&&&&&&&&4&60&50&8&&&&&&&&&&&&& 26&39＋61&26
356&9－56&9& &&&&&&&&&&&&&&&99&55＋55&& &&&&&&&&&&&&&&25&32&125
250&125&40 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2、乘法分配律
例题讲解：
【例】& （1） 56&23＋56&78－56& &&&&&&&&（2）56&（100＋10）
＝56&（23＋78－1）&&&&&&& &&&&&&＝56&100＋56&10
＝56&100 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&＝
＝5600&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&＝6160
容易出现的问题：
（1） 56&23＋56&78－56&&&& &&&&&（2）56&（100＋10）
＝56&（23＋78）&&&&&&&&&&& &&&&&＝56&100＋10
＝56&101&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&＝5600＋10
＝5656&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&＝5610
错误分析：（1）题中运用乘法分配律时漏项，导致错误
&&&&&&&&& （2）题中运用乘法分配律时去括号错误
52&76＋47&76＋76&& &&&&&&134&56－134＋45&134&& &&&&&&382&101-382
25&23&（40＋4）&&&&& &&&&&&147&8+8&53& &&&&&&&&&&48&52&2－4&48
35&8+35&6-4&35&&&&&&&&&&&& 79&42+79+79&57&&& &&&&&&&178&99+178 &&
31&870+13&310 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&123&18－123&3+85&123&&&&&
25&（24+16）&&&&&&&&&&&&&&&& 78&101－78&&&&&&&&&&&&& 32&(25+125)
102&35&& &&&&&&&&&&98&42 &&&&&&&&&&&&102&76 &&&&&&&&&&&&58&98
第七讲 平均数应用题（二）
【例1】& 四年级数学测验，第二小组同学的得分情况为：1人得98分，3人得92分，4人得86分，2人得76分，这个小组的平均成绩是多少？
分析：平均数=总数量&总份数。本题中先算出总分数，再算出总人数，总分数除以本班的总人数，才是平均成绩。
解：（1）总分：98&1 + 92&3 + 86&4 + 76&2 =870（分）
（2）总人数：1 + 3 + 4 + 2 =10(人)
（3）平均成绩：870 & 10 =87（分）
答：这个小组的平均成绩是87分。
小结：平均数一定要是总数量和总份数。
【例2】& 甲地到乙地的全程是120千米，小明骑自行车从甲地到乙地每小时行60千米，从乙地到甲地每小时行30千米，求小明往返的平均速度。
分析：一般来说，求平均速度需要有两个最基本的条件：一是总路程，二是总时间。总路程包含去的路程与回的路程，总时间是来去一共花的时间，只要先求出这两个量，那么求平均速度就不再困难了。
解： 总路程：120 + 120=240（千米）
总时间：120&60 + 120&30=6（小时）
平均速度：240&6=40（千米/时）
答：小明往返的平均速度是40千米/时。
小结：求平均速度一定要用：平均速度=总路程&总时间。
【例3】& 有甲、乙、丙3个数，甲、乙两数的和是90，甲、丙两数的和是82，乙、丙两数的和是86，甲、乙、丙三个数的平均数是多少？
分析：由题目可以知道，90 + 82 + 86是两个甲，两个乙和两个丙的和，也就是甲、乙、丙三个数和的两倍。再除以2就得到甲、乙、丙三个数的和，然后再除以3，就是这三个数的平均数。
解：甲+乙+丙：（90 + 82 + 86）&2=129
平均数：129&3=43
答：甲、乙、丙三个数的平均数是43。
1、用4个同样的杯子装水，水面的高度分别是6厘米，5厘米，9厘米，8厘米。这4个杯子里的水面的平均高度是_______厘米？
2、工人叔叔修机器，第一天修了4台，第二天修了6台，第三天上午修了3台，下午修了2台。平均每天修了多少台？
3、小亮家先后买了两批小猪，第一批买了3头，每头重30千克，第二批买了5头，每头重38千克。小亮家买的小猪平均重_______千克？
4、电冰箱厂一季度生产电冰箱42万台，二季度生产电冰箱48万台，上半年平均每个月生产电冰箱_______万台。
二、应用题
1、王成期中考语文、外语、自然的平均成绩是82分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高了2分。王成的数学考了多少分？
2、四（1）班18名男生的平均体重为36千克，12名女生的平均体重为38千克，那么这个班学生的平均体重为多少千克？
3、甲地到乙地的全程是60千米。小红骑自行车从甲地到乙地，每小时行30千米，从乙地返回甲地每小时行60千米。求小红往返的平均速度。
4、一架飞机从甲地飞往乙地。前2小时每小时飞行450千米，后3小时每小时飞行420千米。这架飞机平均每小时飞行多少千米？
5、甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植17棵，乙、丙两组平均每组植19棵。三个小组各植树多少棵？
1、小军参加了三个科目的测试。语文和英语平均分是90分，数学和英语的平均分是94分，数学和语文的平均分是95分，问小军这三科的平均分成绩是多少？
2、把甲种和乙种糖混在一起，平均每千克卖7元。已知甲种糖有4千克，平均每千克8元，乙种糖有2千克，平均每千克多少元？
3、机床厂举办法律知识竞赛，一车间、二车间共有80人参加了竞赛。结果80人的平均分是90分，一车间的平均分是92分，二车间的平均分是87分。求一、二车间各有多少人参加法律知识竞赛？
甲、乙、丙、丁四人做纸花，甲、乙、丙三人平均每人做了24朵，乙、丙、丁三人平均每人做了26朵。已知丁做了28朵，求甲做了多少朵？
第八讲&& 除法性质
例题讲解：
【例】（1） 5400&（54&50）&&&&& （2）
&&& &&&&&&&&&&＝&&&&&&&&&&&& ＝8100&（540&6）
&& &&&&&&&&&&&＝100&50&&&&&&&&&&&&&&&&& ＝
& &&&&&&&&&&&&＝2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ＝2.5
容易出现的问题：
（1） 5400&（54&50）&&&&& （2）
&& &&&&&&&&&&＝&&&&&&&&&&&& ＝8100&（540&6）
& &&&&&&&&&&&&＝100&50&&&&&&&&&&&&&&&&& ＝8100&90
&& &&&&&&&&&&&＝5000&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ＝90
错误分析：（1）题中除法性质中的去括号法则运用错误
&&&&&&&&& （2）题中除法性质中的添括号法则运用错误
720&16&5&& &&&&&&&& &&&&&& &&&&50&(34&4)&3
930&6&5&&&& &&&&&634&25&4&&&&& &&&&390&（13&5） &&&&&&&96&8&4
5040&（630&7）&& &&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&1500&（15&4）
960&（24&4） &&&&&&&&&&&&&&&&&100&25&4&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&1200&24
&&&&&&& &&&&&&&&5600&（200&7）&&& &&&&&&&18－&
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 450&3&15
&&&&&&&&& &&&&&28000&（140&25）&&& &&&&&&3300&（25&33）&
5600&（56&25）&& &&&&&&&&1800&（25&18）&& &&&&&&&&&7200&（36&25）
&8&25&4&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ()&8&125
&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&)
第九讲 还原问题
知识要点：
还原问题是逆解应用题，一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序进行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。
【例1】& 某数加上3，乘以5，再减去8，等于12，求某数。
分析：根据题目意思得出：（某数+3）& 5 & 8 =12，从最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着推理，最终求出这个数，使问题得到解决。
解：（12 + 8）&5 - 3
=20 & 5 - 3
答：某数是1。
【例2】& 有一位老人说：&把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰巧是100岁。&这位老人今年多少岁？
分析：根据题目意思得出：老人的年龄，加上14，除以3，减去26，乘以25，就是100岁，再用逆推法，很容易列出算式，求得老人的年龄。
解：（100 & 25 + 26）&3 - 14
=（4 + 26）&3 - 14
=30&3 - 14
答：这位老人今年76岁。
【例3】& 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111，问正确答案是多少？
分析：马小虎把减数个位上1看成7，使差减少了6；而把十位上的7看成1，使差增加了60；事实上，这道题可归结为&某数减6，加上60得111，求某数是几？&的问题。
解：111 - （70 - 10）+（7 - 1）
=111 & 60 + 6
答：马小虎的正确答案是47。
1、某数加2，乘5，再减3得27。这个数是_______。
2、某数加上10，乘以10，减去10，除以10，结果等于10，这个数是_______。
3、有人说：&把我的年龄加上28后除以15，再用8乘，就是32岁。&这个人应是_______岁。
4、一根钢管，第一次截去2米，第二次截去剩下的一半，还剩下5米。这根钢管原来长_______米。
5、一个数经过自加、自减、自乘、自除得到的四个数之和是100，这个数是_______。
二、应用题
1、一棵石榴上结有石榴，石榴数目减去6，乘以6，加上6，除以6，结果等于6。请你算一算，石榴树上一共有多少个石榴？
2、联通公司出售手机，第一个月售了的比总数的一半多2部，第二个月售出的比第一个月剩下的一半多15倍，还剩75部。原有手机多少部？
3、耕一块地，第一天耕的比整块地的一半少5公顷，第二天耕的比余下的一半多2公顷，第三天耕了20公顷后还剩下5公顷。这块地有多少公顷？
4、小芳在做一道加法题时，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。正确的答案应是多少？
1、A、B、C三个仓库共存粮180吨，如果从A仓库调6吨给B仓库，又从B仓库调10吨给C仓库，这时三个仓库的存粮吨数相等。问A、B、C三个粮仓原来各存粮多少吨？
2、工人们修一条路，第一天修的公路比全长的一半还多2千米，第二天修的比余下的一半还少1千米，还剩20千米没有修。公路的全长是多少千米？
3、一根电线，第一次用去的比全长的一半多3米，第二次用去的比余下的一半多5米，还剩下7米，这根电线原长多少米？
4、有一批大米，第1天售出的重量比总数的一半少12吨，第2天售出的重量比剩下的一半多12吨，结果还剩下19吨。这个仓库原有大米多少吨？
1、森林中的三棵树上共停有48只鸟，如果有8只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，又有6只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等。问：原来每棵树上各停有多少只鸟？
2、在体育器材室里有若干个球，六年级学生借走3个又借剩下的一半；五年级借走剩下的一半又半个；三年级同学借了一个又借剩下的一半，还剩下2个球，那么原来有多少个球？
第十讲 小数的计算&乘法
例题讲解：
&&& 【例1】& 0.24&0.2=0.048
容易出现的问题：0.24&0.2=0.48&&&
错误分析：算的时候先确定&数字&，再确定&位数&。
一、口算。
1.2&3＝&&&&&&&&& 4.2&8＝&&&&&&&&&& 1.7&9＝&&&&&&&&& 0.12&4＝
0.11&3＝&&&&&&&& 1.5&4＝&&&&&&&&&& 5.6&0＝&&&&&&&&& 2.4&3＝
1.25&3＝&&&&&&&& 1.5&5＝&&&&&&&&&& 8.5＋2.5=&&&&&&&& 6.5&3＝
1.02&0.2=&&&&&&& 0.45&0.6=&&&&&&&& 0.8&0.125=&&&&&& 0.759&0=
0.25&0.4 =&&&&&& 0.067&0.1=&&&&&&& 0.1&0.08=&&&&&&& 0.85&0.4=
二、根据12，写出下面各题的积。
105.6&2.7=&&&&&&&&&&&&&& 10.56&0.27=&&&&&&&
0.1056&27=&&&&&&&&&&&&&& 1.056&0.27=
三、判断。
（1）小数一定比整数大。&&&&&&&&&&&&&&&&&&（　　　）
（2）两个因数的小数位数的和是3，积的小数位数也一定是3。&&（　　　 ）
四、先判断积里应该有几位小数，再竖式计算。
3．7&4.6=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 0.82&0.06=&&&&
6.5&4.8=&&&&&&& （验算）&&&&&&&&&&& &&&&&&&1.56&3.5=&&&&& （验算）
五、 填一填。
把1.2的小数点去掉，它的值就扩大（&&& ）倍；把0.019的小数点去掉，这个数就扩大（&&& ）倍。
六、下面各题计算的对吗？把不对的改正过来。
50.4&1.9－1.8&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3.76&0.25＋25.8
=50.4&0.1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =0.094＋25.8
=5.04&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =25.894
七、列式计算。
3.05的7.3倍是多少？&&&&&&&&&&&&& 14个0.55的和是多少？
第十一讲 运用假设法解应用题
知识要点：
&假设法&就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整，从而找到正确答案。
【例1】& 笼子里有鸡和兔共30只，总共有70条腿，问鸡和兔各有几只？
分析：如果假设全是鸡，则30只鸡的腿数应为2&30=60(条)，比题目中的条件少了70 & 60=10（条），因为每只鸡比兔少2条腿，所以，少了10条腿就说明10&2=5(只)兔。也可以假设全是兔，首先可推算出鸡的只数。
解：假设全部是鸡
（1）30&2 =60（条）
（2）70 - 60=10(条)
（3）兔：10 & （4 - 2） =5（只）
（4）鸡：30 & 5=25（只）
答： 鸡有25只，兔有5只。
解：假设全部是兔
（1）30&4 =120（条）
（2）120 - 70=50(条)
（3）鸡：50 & （4 - 2） =25（只）
（4）兔：30 & 25=5（只）
答： 鸡有25只，兔有5只。
【例2】& 四（2）班学生52人，到公园去划船，共租用11条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，刚好坐满，求租用的大船、小船各多少只？
分析： 假设租用的全部是小船，因为每条小船坐4人，那么11条船共坐44人，与班级原有人数进行比较，少了8人，变化的原因是原来每条大船，现在假设坐小船，每条船少坐了2人，很显然，大船数就是8&2=4（条），再求出小船数。
解：假设全部是小船
（1）11&4 =44（人）
（2）52 - 44=8(人)
（3）大船：8 & （6 - 4） =4（条）
（4）小船：11 & 4=7（只）
答： 小船有7条，大船有4条。
1、笼子里有鸡和兔共29只，总共有92条腿，那么兔有_______只。
2、15元钱买50分邮票和20分邮票共63张，那么20分邮票和50分邮票相差_______张。
3、有一堆土共400方，有大、小两辆汽车，大车一次拉7方，小车一次拉4方，运完这堆土共拉了70车。那么大车拉了_______车。
4、小王买了两种电影票一共30张，付出200元，找回5元。甲种票每张7元，乙种票每张6元。小王买甲种票_______张。
二、应用题
1、10元和5元一张的人民币共40张，共计325元，两种人民币各几张？
2、在一个停车场上，停放的车辆（汽车和三轮摩托车）总数恰好是24，其中每辆汽车有四个轮子，每辆摩托车有三个轮子。这些车共有86个轮子，那么，三轮摩托车有多少辆？
3、在一棵松树上有百灵鸟和松鼠共15只，总共有48条腿，百灵鸟和松鼠各多少只？
4、将92张图片分给16个小朋友，有的分到3张，有的分到7张，正好分完。分到3张和7张的各有几人？
5、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天只能运12次，它一连运了112次，平均每天运14次，问这几天当中有几个晴天？
1、一辆汽车装运玻璃仪器360个，每个运费5元，若损坏一个仪器不但不给运费，还要赔50元，结果司机只收到运费1250元，问损坏了几个仪器？
2、有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元，结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？
3、仓库所存的苹果是香蕉的3倍，春节前夕，平均每天批发出250千克香蕉，600千克苹果，几天后香蕉全部批发完，苹果还剩900千克，这个仓库原有苹果、香蕉各多少千克？
1、一张数学试卷，共有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分，如不做，不得分也不扣分。若某同学得了78分，那么，他做对多少题？做错多少题？不做多少题？
2、某次数学测验共20道题（满分为100分），做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分，小华得了76分，问小华做对了几道题？
第十二讲 小数的计算&除法
例题讲解：
&【例1】& 1.5&25＝0.06
容易出现的问题：
&&&&&&&&&&&&&
&错误分析：错解中丢掉了十分位上的0，与整数除法里丢掉了商中间的0是一样的错误。因为整数部分不够除，被除数取到十分位时仍不够除，所以商的最高位应该写在百分位上，十分位应该用0占位，否则商错成0.6。
一、填表并说一说根据什么填写各栏中的空格。
二、选择题（把正确的答案的序号填入括号内）
　　（1）2.235235&&的循环节是（）
　　&&&& ①2.235 ②2.35 ③235 ④352
　　（2）下面各数中，最大的一个数是（ ）
　　&&&& ①3.81 ② ③ ④3.8
　　（3）得数要求保留三位小数，计算时应算到小数点后面第（）位
　　&&&& ①二位 ②三位 ③四位 ④五位
三、竖式计算。
25.8&6&&&&&&&&&&&&&&&&&& 22.8&3&&&&&&&& （验算）&&&&&&
5.98&0.23& &&&&&&&&& && &19.76&5.2&&&&& （验算）
四、竖式计算并把得数保留两位小数。
3.81&7& &&&&&&&&&&&&&&&&& & 32&42& &&&&&&&&&&&&&&&& 246.4&13
第十三讲& 运用对应法解决问题
知识要点：
用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口。
例题讲解：
【例1】& 某校新收一批住校生，学校启用15间宿舍还有34人没住处，启用21间宿舍后学生不但都住进去了，有一间宿舍还能再住进2人，这批学生共有多少人？
分析与解答：为了更清楚地看懂题意，我们把题目中给出的两组对应关系排列在一起：
用15间宿舍------还有34人没住，
用21间宿舍------还能再住进2人。
要想求这批学生共有多少人，应先求每间宿舍能住多少人。要抓住21间宿舍和15间宿舍的差与多少人对应。
解：（1）（34 + 2）&（21 - 15）
=124（人）
（2）6&15 + 34&&&&&& 或
=124（人）
答：这批学生共有124人。
【例2】& 为了测量一口井的深度，同学们想用长绳吊一重物的方法，将绳子3折时，绳子比井深还长出6米，当他们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米，你能算出井深与绳子的长度吗？
分析与解答：在题目的条件中，&将绳子3折时，绳子比井深还长出6米&，实际上是指绳子的长度比井深的3倍还多6&3=18米。而&当他们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米&，指的是绳子长度比井深的4倍还多2&4=8（米）排出题设中给出的条件：
绳子3折------井深的3倍------多出6&3=18（米）
绳子4折------井深的4倍------多出2&4=8（米）
这样就可以求出井深与绳长。
解：（1）（6&3 - 2&4）&（4 - 3）
=（18 - 8）&1
（2）10&3 + 6&3
答：井深10米，绳长48米。
1、小芳去买圆珠笔，身上带的钱如果买5支余3元，如果买9支余2角，每支圆珠笔价格为_______角。
2、如果购买8盏台灯，4盏日光灯需392元；购买4盏台灯，4盏日光灯需252元。那么，台灯的单价是_______元，日光灯的单价是_______元。
3、3支钢笔和2支圆珠笔共19元，2支钢笔和3支圆珠笔共16元。则1支钢笔的价格为_______元，1支圆珠笔的价格为_______元。
4、3个苹果的重量 + 1个梨的重量=14个橘子的重量
6个橘子的重量 + 1个苹果的重量=1个梨的重量
1个梨的重量= _______个橘子的重量。
二、应用题
1、小华第一次买5支铅笔，第二次买9支同样的铅笔，第二次比和第一次多花6角钱，每支铅笔多少钱？
2、幼儿园大班的老师拿出一包糖分给小朋友，算了算，如果每人分4块，要多出48块糖；如果每人分6块，刚好又少8块糖，请你算一算，这包糖有多少块？这个班有多少个小朋友？
3、幼儿园小朋友买了一些桃，分配时，如果每人分5个，还剩32个；如果每个小朋友分7个，还缺18个。幼儿园共有小朋友几个，共买桃几个？
4、一根长绳截出同样长短的绳子21根后，余41米，如果截出34根，则余2米，这根长绳长多少米？
5、一个植树小组植树，如每人栽5棵，还剩12棵；如果每人栽7棵，就缺4棵，这个植树小组有多少人？一共要栽多少棵树？
1、吴老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟走80米，他将迟到5分钟；如果骑自行车，每分钟行200米，他可以提前70分钟到校，吴老师出发离上班时间还有多少分钟？
2、王老师到体育用品商店为学校买球，计算了一下，要买5个足球和3个篮球需要付244元；而买2个足球和3个篮球只需付139元，请你算算，足球和篮球每个各多少元？
3、学校食堂上午运回8袋红薯和3袋土豆共重500千克，下午又运回5袋红薯和4袋土豆共重525千克，问一袋红薯和一袋土豆各重多少千克？
1、王强的爸爸用200元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋，只记得外衣的价钱比帽子贵90元，外衣加帽子的价钱比鞋贵120元。你能帮王强的爸爸算出每一件东西的价钱吗？
第十四讲 小数的简算&加减法
例题讲解：
&【例1】& &&125.7-（20＋5.7）
&&&&&&&&&& =125.7-20-5.7
&&&&&&&&&& =125.7-5.7-20
&&&&&&&&&& =100
容易出现的问题：
125.7-（20＋5.7）
=125.7-20+5.7&&
=105.7+5.7&
错误分析：括号前面是减号，去掉（添上）括号，括号里面要变号。
（1）0.98＋0.39＋9.02&&&&&&&&&&&&&&& （2）18.6-9.3-3.6-1.7
总结：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&_______________&&&&&&&&&&&&&&& 总结：&&&&&&&&___________________
（3）0.8＋9.8＋99.8＋999.8＋9999.8
总结：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&____________________
1.25+3.7+0.75&&&&&&&&&&&&&&&&& &&& && 5.6-0.18+1.82&&&&&&&&&&&&& &&
3.75-0.75-1.25&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 40.70 + 37.63 + 13.37
37.2+19.3+25.8+10.7&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 5.6+0.5-5.6+0.5&
25.2 - 8.8 & 5.2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 13.8 - 7.09 &- 2.91
第十五讲& 列方程解应用题（一）
知识要点：
列方程解应用题的首要问题是找准等量关系，因此，加强等量关系的训练，是列方程解应用题的关键。
例题讲解：
【例1】& （1）一辆汽车每小时行驶 千米，8小时行驶多少千米？
（2）根据这个式子，当 等于70的时候，共行驶多少千米？
分析：根据 路程=速度&时间，8小时行驶的路程为： 。将 代人，可求出路程。
解：（1）8小时行驶 千米；
&&&&&& （2） 时， 。
答：共行驶560千米。
小结：本题中强调了字母表示数的缩写办法和简单的带入求值。&&&&&
【例2】& 大米每千克x元，面粉每千克y元，买15千克大米与10千克面粉共需多少钱？
&分析：题目中有两个未知数，15千克大米需 元，10千克面粉需10y元。一共需（ +10y）元。
&解：买15千克大米与10千克面粉共需：（ +10y）元。
&小结：本题中出现了两个未知数，需先理清数量关系，再进行字母表示。
基础巩固：
&1、妈妈有25元，买东西用去a元，还剩(&&&&&&& )元.
&2、一本书100页，平均每页有a行，每行有b个字，那么，这本书一共有(&&&&& )个字。
3、甲乙两城相距S千米，一列火车每小时行60千米，(&&& )小时可行完全程.
4、一长方形，长a米，宽b米，它的周长是(&&&&& )，面积是(&&&&& ).
&5、学校买了x个小足球，每个18.62元，18.62x表示(&&&&&&&&& ).
6、2a=(&&& )&(&&& )；当a=1.5时，2a=(&&&&&&& ).
7、已知S=ah,当a=5,h=2.5时，S=(&&&&&&& ).
二、判断题。
1、3a+b表示a、b的和的3倍.&&&&&&&&&&&& (&&& )
2、4x-4&2=8是等式又是方程.&&&&&&&&&&&& (&&& )
3、x=4是方程x&3=12的解.&&&&&&&&&&&&&& (&&& )
4、x+x=2x.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (&&& )
5、x的3倍与3x相等.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (&&& )
6、52=5&2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (&&& )
7、解方程：20-x=7，x=20-7=13&&&&&&&&&&&&& (&&& )
8、等式就是方程.&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&(&&& )
三、选择。
1、三角形面积为S平方厘米，高是6厘米，底是(&&& )厘米
①2S&6&&&&&&& & &&& ②S&2&6&&&&&&& &&&&③S&6
2、a加b除c的商，求和是多少?列式为(&&& )
①a+b&c&&&&&&& &&& ②(a+b)&c&&&&&&& && ③a+c&b
3、下列算式中，(&&& )是方程.
①38&x＞69&&& & &&& ②8&9=72&&& &&& ③2x=46&&& && &&④a&b＜c
4、下列式子里，不是方程的是(&&& )
①x=7& && &&& &&& ②5x=40& & &&& &&& ③a+b+c=a+(b+c) &&&&④4x+9=249
5、下列式子中，是方程式的是(&&& )
①x+3&&& & &&&&&&&&&&&&&&&&②5+13=18
③x+13=23& &&& &&& &&& &&& & ④33=27
6、铺一条公路，已经铺好了240千米，比剩下的4倍多40千米，还剩下多少千米的公路没有铺?
解：设还剩下x千米没有铺.
列方程有(&&& )
①4x-40=240&& &&& &&& &&& &&& & ②4x+40=240
③240+40=4x&& &&& &&& &&& &&& & ④4x=240-40
7、一块梯形的菜地面积是33.3平方米，已知它的下底是9.2米，高是4.5米，求它的上底是多少米?
解：设梯形的上底为x米.列方程有(&&&&&&&&&&& )
①(9.2+x)&4.5=33.3& &&& &&& &&&
②(9.2+x)&4.5&2=33.3
③33.3&2=(9.2+x)&4.5&2&& &&&&
④33.3&2-4.5x=9.2
培优训练：
用字母表示下列数量关系
1、比1.5多a的数是&&&&&&&&&&&& 。
2、x与1.34的积是&&&&&&&&&&&& 。
3、早晨的温度是x度，中午比早晨高8度，中午的温度是&&&&&&&&&&&& 度。
4、某电厂上月烧煤x吨，比本月多烧2.1吨，本月烧煤&&&&&&&&&&&&& 吨，两个月一共烧煤&&&&&&&&&&&& 吨。
5、种棉花y公顷，共收棉花1.8吨，每公顷平均收棉花&&&&&&&&&&&& 吨。
拓展提高：
1、小飞b岁，小英（b+4）岁，再过x年后，她们相差&&&&&&&&&&&& 岁。
2、甲数是a，比乙数的2倍少b，表示乙数的算式是&&&&&&&&&&&&& 。
3、火车每小时行c千米，第一天行a小时，比第二天少行b小时，两天共行
&& &&&&&&&千米。
第十六讲 小数的简算&乘法
例题讲解：
【例1】&&&& 0.24&6+2.4&0.4
&&&&&&&&&& =2.4&0.6+2.4&0.4
&&&&&&&&&& =2.4&(0.6+0.4)
&&&&&&&&&& =2.4
容易出现的问题：
0.24&6+2.4&0.4
=1.44+0.96
错误分析：计算不简便，运用一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10倍，积不变 。
基础巩固：
一、下面各题对吗？把不对的改正过来。
5－3&4.78=2&4.78=9.56&&&&&&&&&&&&&&& 4.5＋5.5&2=10&2=20
（1）8.88&1.25&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2） 9.99&0.7+1.11&2.7
总结：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&_______________&&&&&&&&&&&&&&& 总结：&&&&&&&&___________________
12.5&64&2.5&0.5&&&&&&&&&&&&&&&&&& （0.125＋1.25＋12.5＋125）&8
17.48&37＋17.48&82-174.8&1.9&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2.5&4.44
383.75&7.9+79&61.625&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 66.6&1.3＋22.2&7.4
6.25&0.16+264&0.&6.25+0.625&20
第十七讲& 列方程解应用题（二）
知识要点：
列方程解应用题的一般步骤：
弄清题意，找出未知数，并用x表示；
找出应用题中数量之间的相等关系，并列出方程；
检验、写出答案。
例题讲解：
【例1】& 小王和小强共有图书120本，小王有图书80本，小强有图书多少本？
&分析：根据&小王共有图书120本&，可写出：小王有图书册书=120本。
&&&&&& 解：设小王有图书 本。
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&
答：小强有图书40本。
&小结：这是最为基本的列方程解应用题，关键需找到数量关系。
【例2】& 语文小组有男生24人，比女生多8人，语文小组有女生多少人？
&分析：根据题中给出的条件，可写出下列等量关系式：
&&&&&& 男生人数-女生人数=8
&&&&&& 解：设语文小组有女生 人。
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&& 答：语文小组有女生16人。
小结：这是最为基本的列方程解应用题，关键需找到数量关系。
【例3】& 天津钢铁厂要运54吨钢材，先用载重量为3吨的汽车8辆运了一次，剩下的改用载重量为5吨的汽车，还需要几辆才能一次运完？
& 分析：根据题中条件，载重量为3吨的汽车和载重量为5吨的汽车共运了54吨钢材。
&&&&& 可写出下列等量关系式：3吨的汽车运的钢材+5吨的汽车运的钢材=54吨
解：还需要 辆5吨的汽车才能一次运完。
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
答：还需要6辆才能一次运完。
& 小结：本题中数量关系较为复杂，关键需找到不变的量。
基础巩固：
一辆汽车从A地开往B地，行了6小时，共行264千米。这辆汽车每小时行多少千米？
一辆油轮从甲港驶往乙港，12小时行了288千米，这艘油轮每小时行多少千米？
某车间计划生产360个零件，已经生产了89个，还要生产多少个才能完成任务？
五年级一班这个学期转来5个学生，现在全班共有50人。原来有学生多少人？
学校图书馆暑假中借出文艺图书565本，还剩文艺图书375本，学校图书馆原有文艺图书多少本？
小孙计划做520道数学题，已经做了320道，还有多少道没有做？
小王买了5个书包，给了售货员50元，找回10元，每个书包多少元？
阳光机械厂今年每月生产机床150台，比去年每月产量的3倍少30台，求去年每月生产机床多少台？
某工厂今年生产洗衣机2050台，比前年产量的4倍还多110台。这个厂前年生产洗衣机多少台？
食堂买来大米和小米共400千克，大米的重量是小米的1.5倍，食堂买来小米多少千克？
2路公共汽车上原有乘客20人，车到第一站下去一些人，又上来25人，这时车上有乘客36人，第一站下去多少人？
有一个长方形的操场，周长200米，已知它的长是60米，它的宽是多少米？
一个梯形的上底是0.8米，下底是1.6米，面积是4.32平方米，求这个梯形的高是多少米？
培优训练：
1、有甲、乙两桶油，甲桶油是乙桶油的7倍，如果从甲桶油中取出12千克油放入乙桶，这时两桶油的重量相等。甲、乙两桶原来各有油多少千克？
2、两段长度相等的铁丝，第一段用去1.8米，第二段用去2.5 米，余下的第一段正好是第二段的2倍，两段铁丝原来各长多少米？
拓展提高：
两数相除，商是4，余数是17，被除数、除数、商和余数的和是673，求被除数是多少？
第十八讲& 小数的简算&&除法
例题讲解：
【例1】 &500&12.5&0.8
&&&&&&&&&&& =40&0.8
&&&&&&&&&&& =32
容易出现的问题：
500&12.5&0.8
错误分析：改变了运算顺序，导致结果计算错误。
基础巩固：
（8.6&7.5&5.1）&（2.5&4.3&1.7）&&&&&&&&&&&&&&&& 0.84&2.5
总结：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&_____________________&&& &&&&&&&&&&&&&&&总结：&&&&&&&&___________
10.8&1.2&3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 0.99&45&
总结：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&_____________________&&&&&&&&&&&&&&&&&& 总结：&&&&&&&&___________
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1.2&2.5&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3.1&0.125&&&&&&&&&&&&&&&&& 31.4&2.5&4
12.5&(12.5&4)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 9.
29.7&(0.9&0.3)&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2.6+0.85+0.243) &(0.17+1.3+0.3)
第十九讲& 列方程解应用题（三）
例题精讲：
【例1】& 果园里共种了340棵苹果树和杏树，其中苹果树的棵数比杏树的3倍多20棵。两种树各种了多少棵？
&分析：苹果树的棵数加杏树的棵数等于两种数的总棵数。如果设杏树有 棵，则苹果树就有 棵。
&解：设杏树有 棵，则苹果树就有 棵。
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&& 苹果树： （棵）
&&&& 答：杏树有80棵，苹果树有260棵。
&小结：本题中设计到了两个量，需要用其中的一个量表示出另一个量。
【例2】& 四个人中年龄最小的是12岁，年龄最大的和年龄最小的人的年龄和比另外两个人年龄和大9岁，四个人的年龄和为95岁，年龄最大的人是多少岁？
&分析：可设年龄最大的人的年龄是 岁，则另外两人的年龄和就是 岁。根据四个人的年龄和是95岁，可列方程求解。
&解：设年龄最大的人的年龄是 岁，则另外两人的年龄和就是 岁。
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 答：年龄最大的人是40岁。
&小结：本题除了找出正确的数量关系还需表示出较复杂的量和未知量之间的关系。
【例3】& 有一小篮桃子分给一群孩子，若每人分3个，那么多下来7个，如果每人改分5个，那么还缺少9个，请问一共有多少个桃子？多少个孩子？
分析：本题共两问，可先求出一个问题，则另一个问题不难求出。可设有 个孩子，根据两次分配桃子总数不变列方程。
&解：设有 个孩子。
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
&&& &&&&&桃子共有： （个）
&&&& 答：一共有31个桃子，8个孩子。
&小结：这是假设法解应用题的典型例题，关键需选择好未知量。
基础巩固：
看图列方程，并求出方程的解。
&&&&&&&&&&&&&&
&& 苹果树：
二、应用题
1、4支钢笔比7支圆珠笔贵1.8元，钢笔每支3.6元，圆珠笔每支多少元？
2、宋师傅一天计划加工256个零件，每天工作8小时，实际每天比计划多加工24个，实际每小时加工多少个零件？
3、一个水泥厂今年一月份平均每天生产水泥284吨，比去年的平均日产量的1.6倍少44吨。去年平均日产量是多少吨？
4、解放军执行任务时，共要行走47千米，前3.5小时在平路上行走，平均每小时行6千米；
后来要爬山平均每小时4千米，到达目的地共需要用多少小时？
5、新星幼儿园大班人数比小班人数多64人，又知大班人数是小班的1.5倍，大、小班各有多少人？
6、三年级参加唱歌比赛，每排站8人，站了4排，男生比女生多12人，男生有多少人？
7、卓越小学原来有学生1200人，毕业了210人，这学期转来了12人，又招收了一些一年级新生，现在一共有学生1230人，这学期招收一年级新生多少人？
8、要运送3600千克苹果，用6辆汽车5次可以运完，如果改用同样的10辆汽车几次可以运完？
9、良都小学购买840本图书分给三个年级，三年级分得的是一年级的3倍多4本，二年级分得的是一年级的2倍多2本，三个年级各分得多少本图书？
10、李可期末考试语文88分，英语85分，社会90分，体育84分，数学比五科平均分多3分，数学和五科平均分各是多少？
培优训练：
一班的图书数量是二班的3倍，如果二班给一班6本，则一班的图书是二班的5倍，原来一班和二班各有多少本图书？
甲、乙两队共挖一条全长8250米的水渠，乙队比甲队每天多挖150米。如果已知先由甲队挖4天后，余下的有两队共同挖了7天，便完成了任务。那么，甲队每天挖多少米？
学校花1035元买来3把椅子和5张办公桌，已知每张办公桌比每把椅子贵135元，问每张办公桌和每把椅子各多少元？
拓展提高：
美猴王摘了一些桃分给一群小猴，每只猴分6个桃剩12个桃，如果每只猴分7个桃则少11个桃，一共有多少只猴，多少个桃？
一个班级学生乘船过河，如果每只船坐15人，还剩9人，如果每只船坐8人，则剩余1只船，求有多少只船？
第二十讲 小数的计算&综合
37.4－(8.6＋7.24－6.6)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1.93+2.7+2.07+7.3 &
&89＋890&66661.25&&&&&&&&&&&&&&&& (0.25+2.5+25)&0.4
5-0.9&0.2+1.8&0.5 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&[0.783+0.75&(0.55-0.15)]&19
6.4&3.28+4.6&3.28-3.28 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&0.78&78+7.8&2.2
2.0+2.1+2.2+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.8+2.9
第二十一讲& 年龄问题
知识要点：
年龄问题有自己独特的理解思路和方法，在思考和解答这类题时，可以从以下几个方面去考虑：
两人的年龄无论怎样变化，其年龄差始终不变（定差）。
定差的两量，随着年份的变化，倍数关系也发生变化。
年龄问题一般可以转化为和倍、差倍、和差问题。
解题时，可依据年龄之间的倍数关系，参照年龄差（和），画出线段图，可以更好地帮助我们理解题中的数量关系。
【例1】& 儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？
分析：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5&6＝30（岁），因此母亲今年是30＋5=35（岁）。
解：5年前儿子的年龄： （岁）
&&&&&&& 5年前儿子的年龄：5&6＝30（岁）
母亲今年的年龄：30＋5=35（岁）
答：母亲今年35岁。
小结：本题用到了年龄问题的特征：经过相同的年份，每个人增长的年龄相同。
【例2】& 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？
分析：今年爸爸与儿子的年龄差为&48&20&岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用&差倍问题&的解法。
&&&&&& = （岁）
由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。
&答：13年前爸爸的年龄是儿子的5倍。
小结：本题用到了年龄问题的特征：二人的年龄差不随时间的变化而改变。
【例3】& 兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？
分析：根据题意，作示意图如下：
由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），可转化为&差倍问题&求解。
解：兄3年后的年龄比弟弟4年前的年龄大：5＋3＋4＝12（岁）
弟弟4年前的年龄为：（5＋3＋4）&（3－1）＝6（岁）。
弟弟今年：6＋4＝10（岁）
兄今年：10＋5＝15（岁）
&答：弟弟今年10岁，哥哥今年15岁。
&小结：本题用到了解决年龄问题最常用的工具&&线段图。
基础巩固：
今年王涛的爸爸比王涛大30岁，正好比王涛年龄的5倍少2岁，爸爸今年多少岁？
父亲今年比儿子大32岁，4年后父亲年龄是儿子的5倍，今年儿子几岁？
哥今年20岁，弟弟今年15岁。试问当二人年龄和为75岁时，两人各应是多少岁?
哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？
今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？
今年父亲的年龄为儿子的3倍，15年后父亲的年龄为儿子年龄的2倍。问：父子今年各有多少岁?
今年母子的年龄共50岁，再过5年母亲的年龄是儿子的3倍，那时母亲比儿子大多少岁？
培优训练：
已知小明家有兄弟五人，他们的年龄之和为74岁，其中甲比乙小4岁，乙比丙大2岁，丙比丁小3岁，小明比丁小7岁。试问小明弟兄五人各几岁?
10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍,15年后父亲的年龄是他儿子的2倍,问今年父子二人各多少岁?(两种方法解答)
今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？
今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？
第二十二讲 解方程（一）
知识要点：
常用的关系式：
一个加数 = 和 － 另一个加数
被减数 = 差 ＋ 减数
减数 = 被减数 － 差
一个因数 = 积 & 另一个因数
被除数 = 商 & 除数
除数 = 被除数 & 商
例题讲解：
【例1】&&&& X-6=12
&&&&&&&&&&&&&&&& X=12＋6
&& &&&&&&&&&&&&&&X=18
容易出现的问题：
错误分析：被减数=减数+差，X是被减数.
基础巩固：
解下列方程
3X+5X=48 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&14X-8X=12 &&&&&&&&&&&&&&&&&&6&5+2X=44
20X-50=50 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&28+6X=88 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&32-22X=10
99X=100-X &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&X+3=18 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&56-2X=20
16+8x=40 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&2x-8=8 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4x-3&9=29
8x-3x=105 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&x-6&5=42 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&x+5=7
第二十三讲&& 行程问题（一）
知识要点：
基本关系式：
速度&时间＝路程
路程&速度＝时间
路程&时间＝速度
例题讲解：
【例1】& 飞机每小时飞行500千米，是汽车速度的5倍。汽车和飞机6小时一共可以前行多少千米？
&分析：这个题目最后是要求路程，我们要找到速度和时间。飞机的速度已知是500千米，汽车的速度为 千米。汽车的路程为100&6=600千米，飞机的路程为500&6=3600千米，一共行驶600+千米。
&解：（1）汽车行驶的速度是多少？
&&&&&&&&&&&& （千米）
（2）汽车的路程是多少？
&&&&&&&& 100&6=600(千米)
（3）飞机的路程是多少？
&&&&&&&& 500&6=3000（千米）
（4）汽车和飞机6小时一共可以前行多少千米？
&&&&&&&& 0（千米）
&答：汽车和飞机6小时一共可以前行3600千米。
&小结：这是最基础的行程问题，可以直接根据公式：路程=速度&时间 来进行求解。
【例2】& 一辆卡车从甲城到乙城用了8小时，从乙城到丙城用了2小时，已知甲城与乙城之间的路程是320千米，求从甲城经过乙城到丙城的路程是多少？
&分析：甲城经过乙城到丙城的路程，等于把甲城到乙城的距离加上乙城到丙城的距离。现在甲城到乙城的距离已知，只需要求乙城到丙城的距离。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 320千米&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ？千米
甲&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 乙&&&&&&&&&&&&&&&&&& 丙
&解：（1）卡车的速度： （千米）
&&&&&&& （2）乙、丙两城之间的路程：40&2=80（千米）
&&&&&&& （3）从甲城经乙城到丙城的路程：320+80=400（千米）
&答：从甲城经乙城到丙城的路程是400千米。
&小结：本题中出现了不同的速度和路程，需要将时间&速度=路程的公式进行灵活运用。
【例3】& 一辆轿车从甲地开到乙地用了6小时，由乙地返回到甲地，每小时比来时多行了16千米，只用了4小时，这辆轿车往返甲、乙两地平均每小时行多少千米？
&分析：往返甲、乙两地的平均速度是用总路程除以总时间。总时间4+6=10小时，关键是求总路程。本题中并不知道两车的具体速度。我们可以设去时的速度是 千米，那么回来时的速度为 千米。根据往返的路程相同可以列方程求解。
&&&& 解：设去时的速度是 千米，那么回来时的速度为 千米。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&& 总路程： （千米）
&&&&&&& 总时间：4+6=10（小时）
平均速度： （千米）
&答：这辆轿车往返甲、乙两地平均每小时行38.4千米。
&小结：这道题只知道速度之间的关系，不知道具体数值，是用方程解答较为简便的题目。当然除了用方程解答还有其它的方法，请同学们试试看吧。
基础巩固：
喷气式飞机每秒能飞行0.5千米，100秒能飞行多少千米？1分钟能飞行多少千米呢？
一列快车6小时行630千米，一列慢车在相同的时间内只行324千米，快车每小时比慢车多行多少千米？
甲、乙两地相距274千米。一辆汽车从甲地开往乙地，3小时后离乙地还有34千米。这辆汽车平均每小时行多少千米？
小林4分钟走了300米，照这样的速度，他从家到电影院用了15分钟。小林家离电影院多少米？
一辆汽车从甲地开往乙地，3小时行了108千米，照这样的速度又行驶了5小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？
一艘轮船从甲地开往乙地，每小时行20千米，12小时到达，从乙地返回甲地，每小时比去时多行4千米，需要多少小时？
一辆汽车从A城开往B城，第一天上午4小时行驶240千米，下午用同样的速度行驶了3小时到达B城。第二天沿原路返回A城一共用了6小时。
第二天一共行驶了多少千米？
第二天平均每小时行驶多少千米？
甲、乙两地的公路长240千米，一辆汽车从甲地开往乙地用了4小时，从乙地返回甲地用了6小时，这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少千米？
一个运动员进行爬山训练，从山脚出发，上山路长15千米，每小时行3千米，爬到山顶后沿原路下山，下山每小时行5千米。这位运动员上山、下山的平均速度是多少？
培优训练：
1、一辆汽车早上8点从A地出发，匀速向B地行驶，到10点与B地相距280千米。继续行进到下午1点,与B地还相距112千米。
（1）这辆汽车什么时间到达B地？
（2）A,B两地相距多少千米?
2、一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米，开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车出故障修车2小时。因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。问：汽车是在离甲地多远处修车的？
拓展提高：
有一条山路，一辆汽车上山每小时行30千米，从原路返回下山时每小时行60千米，求汽车上、下山的平均速度?
一个人以每小时4千米的速度从山脚登上山顶，又以每小时6千米的速度从山顶按原路返回山脚。在一个上、下的过程内平均速度是多少？
第二十四讲 解方程（二）
例题讲解：
【例1】& 2(x-2)+2=x+1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&& 2x-4=x+1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&& 2x-x=1+4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& x=5
容易出现的问题：
2(x-2) =x+1
2x-2 =x+1&&
错误分析：在去括号时，要使用乘法分配律。
解下列方程
5x+1-x=3x+9&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6（2+x）=48
3y-4=2y+1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2（x+2）+3=9
2(x+4)=18&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3(x-5)=18
4x+8=2(x-10)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3(x+3)=63+x
9(x+6)=63&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 11x+64-2x=100-9x
第二十五讲& 行程问题（二）
知识要点：
相遇问题& 两个物体由于相向运动而相遇。解答此类问题的关键是求出两个运动物体的速度和。
基本关系式有：
速度和&相遇时间＝相遇路程
相遇路程&速度和＝相遇时间
相遇路程&相遇时间＝速度和
相遇路程：两个运动物体从两地同时相向运动所行的路程。
例题精讲：
【例1】& 一辆客车和一辆货车同时从A、B两城相对开出。客车的速度是62每小时千米，货车的速度是50千米每小时，经过4小时相遇，A、B两城相距多远？
&分析：经过4小时相遇，说明客车行了4小时，货车也行了4小时，由客车的速度和时间可以求出客车的路程，由货车的速度和时间，可以求出货车行的路程，A、B两城的距离就是客货两车行的路程的总和。用线段图表示为：
每小时62千米&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 每小时50千米
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
客车&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&& 解：（1）客车行了多少千米？
&&&&&&&&&&&& (千米)
（2）货车行了多少千米？
&&&&&&&& （千米）
（3）A、B两城相距多少千米？
&&&&&&&& 248+200=448（千米）
&答：A、B两城相距448千米。
&小结：这是一道典型的相遇问题，还可以尝试直接套用相遇问题的公式:
速度和&相遇时间=相遇路程进行解答。
【例2】& 解放军某部通讯兵在一次演习中，摩托车每小时行60千米，汽车每小时行40千米，汽车出发1.5小时后，摩托车沿同路去追赶汽车，需要几小时追上？
&分析：这是一道追及问题，由题中的条件可知，当摩托车沿同路去追赶汽车时汽车与摩托车的距离是 千米，摩托车1小时比汽车多行（60-40）千米（速度差），知道两车距离及两车的速度差，可求出追上汽车的时间。
&&&& 解：（1）汽车比摩托车每小时多行多少千米？
&&&&&&&&&&&& 60-40=20（千米）
（2）汽车和摩托车相距地距离是多少千米？
&&&&&&&& （千米）
（3）需要几小时追上？
&&&&&&&& （小时）
&答：需要1.5小时追上.
&小结：这是典型的求追及时间的问题：可根据公式速度差&追及时间=追及距离进行求解。
【例2】& 运动场的跑道400米，王芳和陈月两名运动员从起跑线同时出发，王芳每分钟跑390米，陈月每分钟跑310米，求多少分钟后王芳超过陈月一周？
&分析：&王芳超过陈月一周&就是王芳超过陈月400米。由王芳、陈月的速度我们可以求出王芳比陈月1分钟多跑多少米（速度差），进而求出王芳超过陈月一周需要的时间。
&解：（1）王芳比陈月1分钟多跑多少米？
&&&&&&&&&&& 390-310=80（千米）
（2）多少分钟后王芳超过陈月一周？
&&&&&&& 400&80=5（分钟）
&答：5分钟后王芳超过陈月一周。
&小结：本题是典型的环形跑道问题追及问题的综合。
基础巩固：
小亚和小巧同时从自己家里走向学校。小亚每分钟走65米，小巧每分钟走70米，经过4分钟两人在校门相遇，他们两家相距多少米?
客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车每小时行40千米，货车每小时行32千米，4小时后两车相遇，甲、乙两地相距多少千米？
甲、乙两地相距288千米，客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车每小时行40千米，货车每小时行32千米，几小时后两车相遇？
一辆拖拉机要去拉货，每小时走30千米，出发30分钟后，家中有事派一辆小轿车50千米/小时的速度去追拖拉机，问小轿车用多少时间可以追上拖拉机？
一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?
客车和货车同时从丙地开出，向相反方向开出，客车每小时行40千米，货车每小时行32千米，开出4小时后，两车相距多少千米？
甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，环形公路的一周是360米。现在已知甲走一圈的时间是60分钟，乙走一圈的时间是30分钟，那么甲、乙两人何时相遇？
两地的距离是1200千米，有两列火车同时相向开出。第一列火车每小时行60千米，第二列火车每小时行48千米。在第二列火车出发时，第一列火车已经走了2小时，第二列火车出发后多久与第一列火车相遇？
A、B两个车站相距240千米，一辆公共汽车从A站开出，每小时行驶48千米，一辆小轿车从B站开出，每小时行驶72千米；
（1）两辆车同时开出，相向而行，多少小时两车相遇？
（2）小轿车从B站开出1小时后，客车从A站开出，两车相向而行，几小时后两车相遇？
培优训练：
1、甲、乙两列火车从两地相对开出，经过12小时，在某个车站相遇，已知甲车每小时行130千米，乙车每小时比甲车少行6千米，两地之间的铁路长多少千米？
2、一队学生去校外进行军事野营训练。在他们从学校出发走了18分的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员也从学校出发，骑自行车以14千米／时的速度按原路追上去，只用10分就追上了学生队伍。求学生的行进速度是多少？
3、一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米／时的速度行进。在他们走了一段时间后，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，只用10分就追上了队伍。通讯员出发前学生走了多少时间？
拓展提高：
小轿车的速度比卡车的速度每小时快6千米，小轿车和卡车同时从学校开出，沿同一路线行驶，小轿车比卡车早10分钟到达郭村，当卡车到达郭村时，小轿车已经离开郭村9千米，那么学校到郭村的距离是多少千米？
第二十六讲&&& 解方程（三）
解下列方程
1.2x-0.5x=6.3 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&0.5&16―16&0.2=4x
7.5&4.2 - 6x = 1.5&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&7.8x - x- 6.6 = 7
(0.5+x)+x=9.8&2& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&2(x + x +0.5)=9.8
3(x+2.1)=10.5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3(x+3)=50-x+3&
7(x-2)=2x+3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1.5(x+1.6)=3.6
第二十七讲& 行程问题（三）
知识要点：
列车过桥是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长。
例题讲解：
【例1】& 小汽车、货车两辆同时从南、北两地相向开出，小汽车每小时行55千米，货车每小时行63千米。两车在距中点30千米处相遇，南、北两地相距多少千米？
&分析：相遇时在距中点30千米处，小汽车行了全程的一半少30千米，货车行了全程的一半多30千米，因此相遇时货车比小汽车多行了 千米，货车每小时都比小汽车多行63-55=8千米，可以求出两车从出发到相遇所用的时间。再根据相遇问题公式求两地距离。
相遇点&&&&&&&&& 中点
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 货车
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 30千米
&解：（1）从出发到相遇所用时间？
&&&&&&&&&&&& (小时)
（2）两地相距多少千米？
&&&&&& && (千米)
&答：南、北两地相距885千米。
&小结：本题将追及问题与相遇问题做了巧妙地结合，灵活运用了追及和相遇问题的两个公式。
【例2】& 两列火车对面开来，甲车长65米，每秒行12米，乙车长60米，每秒行13米，两车从相遇到车尾离开需要几秒？
& 分析：两列火车都有车身的长度，从车头相遇到车尾离开两辆车一共走的距离是两辆火车的车长之和。也就是说相遇路程是甲车与乙车的车长之和65+60=125米。两车的速度和为：12+13=25米。根据公式速度和&相遇时间=路程和。
&&&& 解：（1）从车头相遇到车尾离开两车的路程和是多少？
&&&&&&&&&&&&& 65+60=125（米）
&&&&&&& （2）两辆车的速度和是多少？
&&&&&&&&&&&&& 12+13=25（米）
（3）两车从相遇到车尾离开需要几秒？
&&&&&&&&&&&&& 125&25=5（秒）
答：两车从相遇到车尾离开需要5秒。
&小结：相遇问题中有一类列车过桥问题，这类问题在计算火车路程时往往需要考虑车身的长度，这时就不可以再把火车当做一个点来计算了。
【例3】& 白汽车和红汽车两辆汽车从两地同时出发，相向而行，已知白汽车行完全程比红汽车多用了2小时，白汽车每小时行30千米，红汽车每小时行50千米，出发后多长时间两车相遇？
&分析：这道题路程和时间都不知道，只知道时间差和路程，可以考虑用方程进行解答。设：红汽车行完全程用 小时，那么白汽车用了 小时。根据路程相同可以列出方程。
&解：设红汽车行完全程用 小时，那么白汽车用了 小时。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 30 =50
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&& 白汽车用的时间：3+2=5（小时）
&&&&&&& 两地路程：30&5+50&3=300（千米）
&&&&&&& 相遇时间：300&（50+30）=3.75（小时）
&答：出发后3.75小时两车相遇。
&小结：这道题只知道时间之间的关系，不知道具体数值，是用方程解答较为简便的题目。当然除了用方程解答还有其它的方法，请同学们试试看吧。
基础巩固：
客车与货车分别从相距275千米的两站同时开出，2.5小时在途中相遇，已知客车每小时行60千米，货车每小时行多少千米？
甲、乙两地的铁路长885千米，一列客车从甲地开往乙地，每小时行125千米，这列客车开出2小时后，一列货车从乙地开往甲地，每小时行92千米，再经过几小时两车相遇？
甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行46千米，乙车每小时行50千米，5小时后两车还相距75千米，求两地的距离是多少千米？
A、B两座城市相距600千米，甲、乙两辆汽车同时从两城出发相向而行，5小时后相遇，乙车每小时行70千米，甲车行完全程，需要多少小时？
两辆大巴同时从相距955千米的两地相对开出，6小时30分后两车还相距240千米，甲车每小时行50千米，乙车每小时行多少千米？
一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时相对开出，客车每小时行53千米，货车每小时行48千米，在距离甲、乙两地中间15千米处相遇，甲、乙两地相距多少千米?
黄、白两辆卡车分别从A、B两地同时出发，相向而行，黄车每小时行60千米，白车每小时行70千米。行了一段路后，白车因故障修理花了30分钟，从出发5小时后两车相遇，求A、B两地相距多少千米？
两车同时从A、B两地相对开出，客车的速度是每小时75千米，货车的速度是每小时45千米，经过11个小时还相距160千米，A、B两地相距多少千米？
甲、乙两地相距1500千米，两辆摩托车同时从两地相对出发，已知A摩托车的速度是每小时65千米，B摩托车的速度是每小时55千米，多少小时后两辆摩托车还相距300千米？
10、丁丁的骑车速度是每小时16千米，东东的骑车速度是每小时12千米，两人从相隔10千米的两地相背而行，5小时后两人相距多远？
培优训练：
李玉、王兰两人同时从A、B两地相向而行，李玉每小时走5千米，两人相遇后，王兰再走10千米到A地，李玉再走1.6小时到B地，王兰每小时走多少千米？
卡车和面包车同时从南、北两地相向开出，卡车每小时行40千米，经过3小时，卡车已驶过中点25千米，这时卡车与面包车还相距7千米，面包车每小时行多少千米？
南、北两城相距477千米，甲、乙两车先后从南、北两城出发，相向而行，甲车每小时行46千米，乙车每小时行38千米。相遇时甲车行驶230千米，求乙车比甲车早出发几小时？
拓展提高：
客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行44千米，货车每小时行52千米，两车相遇后继续以原来的速度前行，到达两地后立即返回，第二次相遇后，货车比客车多行60千米，甲、乙两地相距多少千米？
2、一列列车长150米，每秒钟行19米。问全车通过420米的大桥，需要多少时间？
第二十八讲 混合运算
例题讲解：
& 【例1】& （1） 7－2&2.5&&&&&&&&&&&&& （2）6（x＋3）＝24
＝7－0.8&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &6x＋3&6＝24
＝6.2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&6x＝24－18
&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&6x＝6
容易出现的问题：
（1） 7－2&2.5&&&&&&&&&&&&& （2）6（x＋3）＝24
＝5&2.5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6x＋3＝24
＝2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&6x＝21
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&x＝3.5
错误分析：（1）题中四则运算顺序运用错误
&&&&&&&&& （2）题中解方程时去括号错误
30.8&[14－(9.85＋1.07)]&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&[60－(9.5＋28.9)]&0.18&
20&[(2.44－1.8)&0.4＋0.15] &&&&&&&&&&&&&&&&&31.5&4&(6+3)
2.881&0.43－0.24&3.5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （31.8+3.2&4）&5
28-(3.4+1.25&2.4)&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&2.55&7.1+2.45&7.1 &&&&&
0.8&[15.5-(3.21+5.79)]&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&0.64&25&7.8+2.2&&&&&
2&2.5+2.5&2&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&0.8&[(10－6.76)&1.2]
194－64.8&1.8&0.9 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&36.72&4.25&9.9&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&9.16&1.5－0.5&9.16
24&2.4－2.5&0.8&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&0.8&[7.9-(2+5)] &&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2.5－0.25）&0.4&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&3.416&（0.016&35）
(45.9－32.7)&8&0.125 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&3.14&0.68＋31.4&0.032&
2(2.8+x)=10.4&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(x-3)&2=7.5&
13.2x+9x=33.3 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&x&1.5-1.25=0.75
4x-1.3&6=2.6&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&20-9x=1.2&6.25
5(x+8)=102&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&x+3x+10=70
2(x-3)=5.8&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(27.5-3.5)&x=4
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说的太好了，我顶！
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