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曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说明曲线弯曲的程度越高；曲率半径相同，曲线弯曲程度相同．如图所示，发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运动，后让卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道2上运动，最后让卫星进入同步轨道3做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步轨道的半径为r0，卫星的质量为m0．当质量为m的卫星离地心的距离为r时，其引力势能的表达式为Ep=-GMmr（式中M为地球质量），不计近地轨道距地面的高度．（1）求卫星在近地轨道的线速度v1，和在同步轨道的线速度v3．（2）卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，圆周运动的半径可用近、远地点处的曲率半径ρ（未知）来表示，求卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率”：和远地点的速率v2′之比．（3）需要给卫星提供多少能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上？
题型：问答题难度：中档来源：不详
（1）根据万有引力提供向心力，对于近地卫星，由于卫星贴近地球表面，则&&&& GMmR2=mv21R& ①对于同步卫星，有&&& GMmr20=mv23r0& ②又对于物体在地球表面时，万有引力近似等于重力，则有&&& m′g=GMm′R2& ③由①②③解得，v1=gR，v3=gR2r0（2）由题，卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，则得&&& v1′=v1，r2′=v2，所以v1′：v2′=gR：gR2r0=r0：R&& （3）卫星在椭圆轨道2上近地点处，有 引力势能为Ep1=-GMmR，动能为Ek1=12mv21=12mo(gR)2=12mgR轨道3上卫星的引力势能为& Ep2=-GMmr0，动能为Ek2=12mv23=mgR22r0设需要给卫星提供能量为E时，能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上，根据能量守恒得：&& E=（Ep2+Ek2）-（Ep1+Ek1）=（-GMmr0+mgR22r0）-（-GMmR+12mgR）=-GMmr0+mgR22r0+GMmR-12mgR．答：（1）卫星在近地轨道的线速度v1为gR，在同步轨道的线速度v3为gR2r0．（2）卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率v1′和远地点的速率v2′之比为r0：R．（3）需要给卫星提供-GMmr0+mgR22r0+GMmR-12mgR的能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上．
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据魔方格专家权威分析，试题“曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说..”主要考查你对&&人造地球卫星，万有引力定律的其他应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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人造地球卫星万有引力定律的其他应用
人造地球卫星：
在地球上抛出的物体，当它的速度足够大时，物体就永远不会落到地面上，它将围绕地球旋转，成为一颗人造地球卫星，简称人造卫星。&(1)人造卫星按运行轨道可分为低轨道卫星、中轨道卫星、高轨道卫星，以及地球同步轨道卫星、极地轨道卫星等。&(2)按用途人造卫星可分为三大类：科学卫星、技术试验卫星和应用卫星。人造地球卫星：
1、若已知人造卫星绕地心做匀速率圆周运动的轨道半径为r，地球的质量为M，各物理量与轨道半径的关系： ①由得卫星运行的向心加速度为：； ②由得卫星运行的线速度为：； ③由得卫星运行的角速度为：； ④由得卫星运行的周期为：； ⑤由得卫星运行的动能：； 即随着运行的轨道半径的逐渐增大，向心加速度a、线速度v、角速度ω、动能Ek将逐渐减小，周期T将逐渐增大。 2、用万有引力定律求卫星的高度： 通过观测卫星的周期T和行星表面的重力加速度g及行星的半径R可以求出卫星的高度。 3、近地卫星、赤道上静止不动的物体 ①把在地球表面附近环绕地球做匀速率圆周运动的卫星称之为近地卫星，它运行的轨道半径可以认为等于地球的半径R0，其轨道平面通过地心。若已知地球表面的重力加速度为g0，则 由得：； 由得：； 由得：。 若将地球半径R0=6.4×106m和g0=9.8m/s2代入上式，可得v=7.9×103m/s，ω=1.24×10-3rad/s，T=5074s，由于，和且卫星运行的轨道半径 r＞R0，所以所有绕地球做匀速率圆周运动的卫星线速度v＜7.9×103m/s，角速度ω＜1.24×10-3rad/s，而周期T＞5074s。 ②特别需要指出的是，静止在地球表面上的物体，尽管地球对物体的重量也为mg，尽管物体随地球自转也一起转，绕地轴做匀速率圆周运动，且运行周期等于地球自转周期，与近地卫星、同步卫星有相似之处，但它的轨道平面不一定通过地心，如图所示。只有当纬度θ=0°，即物体在赤道上时，轨道平面才能过地心.地球对物体的引力F的一个分力是使物体做匀速率圆周运动所需的向心力f=mω2r，另一个分力才是物体的重量mg，即引力F不等于物体的重量mg，只有当r=0时，即物体在两极处，由于f=mω2r=0，F才等于mg。③赤道上随地球自转而做圆周运动的物体与近地卫星的区别：A、赤道上物体受的万有引力只有一小部分充当向心力，另一部分作为重力使得物体紧压地面，而近地卫星的引力全部充当向心力，卫星已脱离地球；B、赤道上（地球上）的物体与地球保持相对静止，而近地卫星相对于地球而言处于高速旋转状态。 4、卫星的超重和失重 “超重”是卫星进入轨道的加速上升过程和回收时的减速下降过程，此情景与“升降机”中物体超重相同。“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体完全“失重”（因为重力提供向心力），此时，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用，比如水银气压计、天平、密度计、电子称、摆钟等。 5、卫星变轨问题 卫星由低轨道运动到高轨道，要加速，加速后作离心运动，势能增大，动能减少，到高轨道作圆周运动时速度小于低轨道上的速度。 当以第一宇宙速度发射人造卫星，它将围绕地球表面做匀速圆周运动；若它发射的速度介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间，则它将围绕地球做椭圆运动。有时为了让卫星绕地球做圆周运动，要在卫星发射后做椭圆运动的过程中二次点火，以达到预定的圆轨道。设第一宇宙速度为v，则由第一宇宙速度的推导过程有。在地球表面若卫星发射的速度v1＞v，则此时卫星受地球的万有引力应小于卫星以v1绕地表做圆周运动所需的向心力m，故从此时开始卫星将做离心运动，在卫星离地心越来越远的同时，其速率也要不断减小，在其椭圆轨道的远地点处（离地心距离为R′)，速率为v2(v2＜v1)，此时由于G＞m，卫星从此时起做向心运动，同时速率增大，从而绕地球沿椭圆轨道做周期性的运动。如果在卫星经过远地点处开动发动机使其速率突然增加到v3，使G＝m，则卫星就可以以速率v3，以R′为半径绕地球做匀速圆周运动。同样的道理，在卫星回收时，选择恰当的时机使做圆周运动的卫星速率突然减小，卫星将会沿椭圆轨道做向心运动，让该椭圆与预定回收地点相切或相交，就能成功地回收卫星。 万有引力定律的其他应用：
万有引力定律：（G=6.67×10-11 N·m2/kg2），万有引力定律在天文学中的应用：1、计算天体的质量和密度；2、人造地球卫星、地球同步卫星、近地卫星；3、发现未知天体；4、分析重力加速度g随离地面高度h的变化情况；①物体的重力随地面高度h的变化情况：物体的重力近似地球对物体的吸引力，即近似等于，可见物体的重力随h的增大而减小，由G=mg得g随h的增大而减小。②在地球表面（忽略地球自转影响）：（g为地球表面重力加速度，r为地球半径）。③当物体位于地面以下时，所受重力也比地面要小，物体越接近地心，重力越小，物体在地心时，其重力为零。5、双星问题：天文学上把两颗相距比较近，又与其他星体距离比较远的星体叫做双星。双星的间距是一定的，它们绕二者连线上的同一点分别做圆周运动，角速度相等。以下图为例由以上各式解得：6、黄金代换公式：GM=gR2。
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11100896073174786162270177675239529关于一般的曲线运动老师说，只要知道曲线上某点的曲率半径，就可以用V^2/R M=F向
算出这一点的向心力，为什么啊？有数学证明过程么？不是要匀圆的证明额......._百度作业帮
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关于一般的曲线运动老师说，只要知道曲线上某点的曲率半径，就可以用V^2/R M=F向
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可以用数学证明的！此时的加速度a=v^2/R.定义：平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义K就是曲率。曲率的倒数就是曲率半径。对照本题：1/R=K=limΔα/Δs而Δs=vΔtv^2/R=v^2*Δα/Δs=vΔα/Δt.Δs趋向于0的时候，Δα也趋向于0，则vΔα就近似等于等腰三角形的底边长，也就是速度的变化量Δv！所以：v^2/R=Δv/Δt=a.F=mv^2/R.
这是公式啊~证明如下用极限，或是中学常用的“微元法” 以圆心为原点，i为x轴上的单位向量 j为y轴上的单位向量 速率为v0 则速度（矢量） v=v0sinθi+v0cosθj (θ为某点处与x轴的夹角) 又因为θ=ωt v=v0sinωti+v0cosωtj a=v'=ωv0(cosωti...
微积分、极限啊、取极小的路程，可看作是直线就像单摆那个周期公式，就是在5度内弧长和直线长几乎一样才可以的曲率半径处处相等的封闭曲线一定是圆吗?如题目所述\x09大神们帮帮忙_百度作业帮
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曲率半径处处相等的封闭曲线一定是圆吗?如题目所述\x09大神们帮帮忙
曲率半径处处相等的封闭曲线一定是圆吗?如题目所述\x09大神们帮帮忙
可列微分方程的,我猜二维的一定是圆三维的曲线不好说,一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度υ0抛出，如图（b）所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（　　）A．02gB．02sin2α&gC．02cos2αgD．02cos2αgsinα【考点】；．【分析】由题目的介绍可知，求曲率半径也就是求在该点做圆周运动的半径，利用向心力的公式就可以求得．【解答】解：物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为v0cosα，在最高点，把物体的运动看成圆周运动的一部分，物体的重力作为向心力，由向心力的公式得 mg=m0cosα)2ρ，所以在其轨迹最高点P处的曲率半径是ρ=02cos2αg，故C正确．故选：C．【点评】曲率半径，一个新的概念，平时不熟悉，但根据题目的介绍可知，求曲率半径也就是求在该点做圆周运动的半径，读懂题目的真正意图，本题就可以解出了．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：sddrg老师　难度：0.59真题：27组卷：60
解析质量好中差