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对称性与动量守恒和角动量守恒
空​间​平​移​不​变​性​ ​转​动​不​变​性
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（重定向自諾特定理）
诺特定理是理论物理的中心结果之一，它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。例如，物理定律不随着时间而改变，这表示它们有关于时间的某种对称性。如果我们想象一下，譬如重力的强度每天都有所改变，我们就会违反能量守恒定律，因为我们可以在重力弱的那天把重物举起，然后在重力强的时候放下来，这样就得到了比我们开始输入的能量更多的能量。
诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立。它得名于20世纪初的数学家埃米·诺特。诺特定理和量子力学深刻相关，因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量（譬如位置和动量）.
定理的数学表述 不严格地讲，诺特定理可以如下表述（忽略技术细节）：
对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。
上述命题中的“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。
定理的形式化命题仅从不变性条件就导出和一个守恒的物理量相应的流的表达式。该守恒量称为诺特荷，而该流称为诺特流。诺特流至多相差一个无散度向量场。
诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如：
对于物理系统对于空间平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了动量的守恒律；
对于转动的不变性给出了角动量的守恒律；
对于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。
在量子场论中，和诺特定理相似，沃德－高桥恒等式（Ward-Takahashi）产生出更多的守恒定律，例如从电势和向量势的规范不变性得出电荷的守恒。
诺特荷也被用于计算静态黑洞的熵1。
定律的发现
是一位德国女数学家艾米·诺特（Emmy
Noether,）在1918年首先发现的，物理定律对称性与物理量守恒定律的对应关系，因此被称为“诺特定理”（Noether's
theorem: To every differentiable symmetry generated by local
actions,there corresponds a conserved current）。
以下给出他的产生的一些历史背景以及关于他的物理学探讨。之所以引用此文，是因为我觉得这篇文章把很深奥的科学说得很美化并让人通俗易懂。
对着镜子瞧瞧自己，假如你举起右手，你在镜子里的影像却举起了它的左手，你一定会目瞪口呆，甚至有一种毛骨悚然的感觉！幸运的是，世界上还没有人遇到过这种事。不过这么奇怪的事真的在粒子世界里出现了，具体的说，是在一个基本粒子身上出现了。
这个镜像不对称的问题，可不是一个简单的问题，它是20世纪物理学研究的一个重大课题。
对称总是完美的
你照着镜子，你与镜子里的影像形成了一种对称关系。对称，不仅是在镜子里出现，在我们身边的大自然里，也随处可见。蜂巢是由一个个正六边形对称排列组合而成的建筑物，每个正六边形大小统一、上下左右距离相等，这种结构最紧密有序，也最节省材料；蝴蝶左右翅膀的结构是对称的，就连翅膀上的图案与颜色也是对称的，因此它能够成为自然界最美丽的昆虫；所有的海螺都拥有奇妙的左右旋对称；人本身也是对称的，而且不止左右结构对称，双眼、双耳和左右脑的形状也是对称的，设想一个人少一只眼、或嘴歪在一边，那一定被认为不是很美的。
人类自古以来就对对称美推崇备至，对称的概念几乎已经渗透到所有的学科领域。建筑学中，建筑家们在规划、设计和建造形形色色的建筑时，总是离不开对称，那些流传千古的著名建筑物也大多是极具对称美的，比如中国的故宫、天坛、颐和园的长廊，埃及的大金字塔，罗马的角斗场。几何学中，有圆、椭圆、正方形、矩形、梯形、三角形、圆锥、圆柱等各种对称。代数中，有一元二次方程两个根的对称、方程的对称函数，甚至还有专门关于对称性的数学理论——群论。
在晶体学中，对称性表现得尤为突出。其实，自然界中百分之百完全对称的东西极少，但晶体是个例外，无论从宏观还是微观来看，晶体都是严格对称的。晶体中的原子数目很大而且有严格的空间排列，如果任意画出一部分原子排列图，无论对此图进行平移、旋转还是左右互换，所得的图像与原图像都无法区分，也就是说，大部分晶体都具有平移对称、旋转对称、镜像对称的性质。比如，雪花具有六重旋转对称，就是说，雪花晶体在沿一根固定的轴旋转60度、120度、180度、240度、300度或360度后，其原子的空间排布都与原来的排布完全相同。
物理学中的对称
实际上，在物理学中，对称的概念绝对不只是“左右相同”，它比我们通常所理解的含义要广泛得多，几乎适用于一切自然现象——从宇宙的产生到每个微观的亚核反应过程。
把两个东西对换一下，就好像没动过一样，这就是对称。把左边的东西和右边的东西互换一下，而没有任何变化，这就叫做镜像对称，意思就是像照镜子一样，镜子里和镜子外的事物是一样的。人体和动物形体大多是镜像对称的，中国的故宫、天坛等建筑也是镜像对称的。
在空间里，沿着任何方向平移一单元，平移后的图像与原图无法区分（即完全重合），这种操作可继续下去，这就是平移对称。规整的网格就具有平移对称性，在自然界中，蜂巢、竹节或串珠都具有平移对称性。
把一个质地均匀的球绕球心旋转任意角度，它的形状、大小、质量、密度分布等等，所有的性质都保持不变，这就是旋转对称。一朵有5片相同花瓣的花（比如梅花和紫荆花）绕垂直花面的轴旋转2π/5或2π/5整数倍角度，旋转前后完全是一样的，没有什么变化，我们就说它具有2π/5旋转对称性。反过来说，如果一个球的边缘上有一个点或有些残缺，这个点或残缺就能区分旋转前后的情况，它就不具有旋转对称性了——或者说它的旋转对称性是破缺的。
以上说的都是物体的外在形体的对称。物理学中还有一类更重要的对称：物理规律的对称。就拿牛顿定律来说吧，无论怎么转动物体，物体的运动都遵从牛顿定律，因此，牛顿定律具有旋转对称性；镜子里和镜子外物体的运动都遵从牛顿定律，牛顿定律又具有镜像对称性；物体在空间中任意移动后，牛顿定律仍然有效，牛顿定律也具有空间平移对称性；.在不同的时间，昨天、今天或明天，物体的运动也都遵从牛顿定律，牛顿定律还具有时间平移对称性……其他已知的物理定律也都有类似的情况。
物理学家们一向对对称性有着特殊的兴趣。对称性常常使得我们可以不必精确地求解就可以获得一些知识，使问题得以简化。例如，一个无阻力的单摆摆动起来，其左右是对称的，因此，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与向右边摆边的高度一定是相等的，从正中间摆动到左边最高点的时间一定等于摆动到右边最高点的时间，左右两边相应位置处单摆的速度和加速度也一定是相同的……
对称与守恒的关系
物理定律的这些对称性其实也意味着物理定律在各种变换条件下的不变性，由物理定律的不变性，我们可以得到一种不变的物理量，叫守恒量，或叫不变量。例如，空间旋转最重要的参量是角动量，如果一个物体是空间旋转对称的，它的角动量必定是守恒的，因此，空间旋转对称对应于角动量守恒定律。再如，如果把瀑布水流功率全部变成电能，在任何时候，同样的水流的发电功率都是一样的，这个能量不会随时间的改变而改变，因此，时间平移对称对应于能量守恒。还有，空间平移对称对应于动量守恒，电荷共轭对称对应于电量守恒，如此等等。
物理定律的守恒性具有极其重要的意义，有了这些守恒定律，自然界的变化就呈现出一种简单、和谐、对称的关系，也就变得易于理解了。所以，科学家在科学研究中，对守恒定律有一种特殊的热情和敏感，一旦某一个守恒定律被公认以后，人们是极不情愿把它推翻的。
因此，当我们明白了各种对称性与物理量守恒定律的对应关系后，也就明白了对称性原理的重要意义，我们无法设想：一个没有对称性的世界，物理定律也变动不定，那该是一个多么混乱、令人手足无措的世界！
物理定律对称性与物理量守恒定律的对应关系，是一位德国女数学家艾米·诺特在1918年首先发现的，因此被称为“诺特定理”。自那以后，物理学家们已经形成了这样一种思维定式：只要发现了一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒定律；反之，只要发现了一条守恒定律，也总要把相应的对称性找出来。
诺特定理将物理学中“对称”的重要性推到了前所未有的高度。不过，物理学家们似乎还不满足，1926年，又有人提出了宇称守恒定律，把对称和守恒定律的关系进一步推广到微观世界。
物质守恒定律，对应哪种对称性？
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，指物体或图形在某种变换条件（例如绕直线的旋转、对于平面的反映，等等）下，其相同部分间有规律重复的现象，亦即在一定变换条件下的不变现象外文名symmetry词&&&&性形容词
在日常生活中和在艺术作品中，“对称”有更多的含义，常代表着某种平衡、比例和谐之意，而这又与优美、庄重联系在一起。外尔的书首先用一章讲镜像对称，涉及手性诸问题，有十分丰富的内容。大家也许还记得，2001年奖励的课题主要是“催化”问题。如今，手性药物在药品市场占有相当的份额，有机分子手性对称性已经是相当实用和热门的话题。这里面仍然遗留下许多基本的问题没有解答，比如生命基本物质中的、核酸的高度一致性的手性（即手性对称破缺）是如何起源的？植物茎蔓的手性缠绕是由什么决定的？同种植物是否可能具有不同的手性？ 左右对称在中有大量应用，但是人们也注意到完全的左右对称也许显得太死板，建筑设计者常用某种巧妙的办法打破严格的左右对称，如通过园林绿化或者通过立面前的雕塑或者广场非对称布局，有意打破严格的对称。通常，严格左右对称的建筑，都尽可能放在了具有非对称的周围环境之中。 公众可能较感兴趣的是作者对摩尔文化、和中国实际装饰艺术品中对称性的分析。在二维装饰图案中，总共有17种本质上不同的对称性。作者说，在古代的装饰图案中，尤其是的装饰物中，能够找到所有17种对称性图案。到了19世纪，有了变换群的概念以后，人们才从理论上搞明白只有17种可能性（的证明），而古人确实穷尽了所有这些可能。外尔有一句话特别值得注意：“虽然人对数字5进行了长期的摸索，但是他们当然不能在任何一个有双重无限关联的装饰设计中，真正嵌入一个五重中心对称的图案。然而，他们尝试了各种容易让人上当的折衷方案。我们可以这样说，他们通过实践证明了在饰物中使用五边形是不可能的。”（pp.102－103）这一论述非常关键，阿拉伯装饰艺术的确时常费力地尝试使用五次旋转对称。连续装饰图案中嵌入五次对称图元的麻烦之处在于，五次对称要涉及黄金分割，安排下一个五边形，则周围需要作复杂的调整，这要比安排三角形、四边形和六边形的情况复杂得多。《对称》还用相当篇幅讲晶体点阵的对称性，我当年学过结晶学和矿物学，知道这是相当复杂的事情，现依稀记得32种单形和230种空间群的数字，具体内容已经想不清楚了。外尔的处理当然并非想具体展示各种可能的晶格对称性，书中讨论得相当简略，这也给普通诸者阅读造成了困难。要想真正搞明白230种空间群，还真要读地质学的图书《结晶学与矿物学》。指图形或物体两对的两边的各部分,在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。
我国的建筑,…绝大部分是对称的。[1]1. 指。
《你我》：“利用呼位，将他称与对称拉在一块儿。”
2. 物体或图象对某一点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上相互对应。
《导演的初步知识》：“画面构成的第一条原则是‘对称’：左右相等，不偏不倚。”[1]守恒律与对称性的联系
可以肯定的是，1962年出版的《原子物理中某些发现的小史》（中译本为《基本粒子发现简史》，1963年出版）引用过（译名为凡尔），杨先生引的那句话“不对称很少仅仅由于对称的不存在”，已成为深刻的哲理名言。我写《分形艺术》时，也装潢门面，把外尔和杨先生的话一并引了。在自然科学和数学上，对称意味着某种变换下的不变性，即“组元的构形在其自同构变换下所具有的不变性”，通常的形式有对称（左右对称或者叫双侧对称）、平移对称、转动对称和伸缩对称等。物理学中守恒律都与某种对称性相联系。一般指图形和形态被点、线或平面区分为相等的部分而言。在生物形态上主要的对称分为下列各种：（1）辐射对称：与身体主轴成直角且互为等角的几个轴（辐射轴）均相等，如果通过辐射轴把含有主轴的身体切开时，则常可把身体分为显镜像关系的两个部分。例如海星可见有五个辐射轴。另外在高等植物的茎和花等，也常具有辐射对称的结构；
（2）双辐射对称：只有两个辐射轴，彼此互成直角，形式上可以把它看成是从辐射对称向左右对称的过渡型（例如栉水母）；
（3）：或称两侧对称，是仅通过一个平面（正中矢面）将身体分为互相显镜像关系的两个部分（例如脊椎动物的）。在正中矢面内由身体前端至后端的轴称为头尾轴或纵轴，这个轴与身体长轴大都一致。在正中矢面内与头尾轴成直角并通过背腹的轴为背腹轴或矢状轴。还有与正中矢面成直角的轴称正中侧面轴（或内外轴）、该轴夹着正中矢面，彼此相等且具有方向相反的，如果将两侧的正中侧面轴合起来看成为一轴时，则称为横轴。在辐射对称中，如相当于海星的一根足的同型部分，称为副节（paramere），副节其本身成两侧对称。一般两侧对称的每一半为与同一轴相关而极向相反的同型部分，此称为对节或体辐。副节、对节等的同型部分，一般来看，仅相互方向不同，可认为这是与对外界的关系相同有着密切的联系。所以在个体发生或过程中其生活方式变化时，而与之相关的对称类型也时有变化。例如棘皮动物在自由运动的幼体期具有左右对称的体制，在接近静止生活的成体，则显有辐射对称的体制。再如等左右体侧可成为二次的背腹关系。把无对称的关系称为非对称（asy－metry），其中具有规则形态的在生物界可广泛见到的有螺旋性。此外还有即使上表现对称，但与外界无直接关系的，基本既可表现为对称的，也有不少由于形态变形而表现为不对称的。概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称和是两个不同而又紧密联系的概念．它们的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．
也就是说：
① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
中心对称图形
正（2N）边形（N为大于1的正整数）、线段、圆、平行四边形、直线等。
实际上，除了直线外，所有中心对称图形都只有一个对称点。
既不是轴对称图形又不是中心对称图形：不等腰三角形，直角梯形，普通四边形
中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形是全等形。
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。
中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点.Radiata是左右对称动物的对应词。顾维尔（G.L.Cuv－ier）把大部分的棘皮动物、腔肠动物、海绵动物、扁形动物及滴虫类命名为辐射对称动物。冯·西波德（K.T.von Siebold）把棘皮动物、腔肠动物、海绵动物总称为辐射对称动物。以后，被命名为（有时也包括棘皮动物）。科学和艺术都很重视对称性。对于科学，对称性决定了各种可能的守恒定律，因而具有更根本性的意义。在艺术中，对称性常与平衡、形状、形式、空间等一同讨论。人们通常从静态表现上理解对称性，有一定意义，但更重要的是从操作意义上、从生成过程上理解对称性。
一在科学中，对称性是指某种操作下的不变性或者守恒性，对称性常与守恒定律相联系。与空间平移不变性对应的是动量守恒定律；与时间平移不变性对应的是能量守恒定律；与转动变换不变性对应的是角动量守恒；与空间反射（镜像）操作不变性对应的是宇称守恒。在弱相互作用中，“宇称”不守恒，自然界在C或P下不是对称的，在CP下也不是对称的，但却是CPT对称的。这里C表示电荷变号操作，相当于反转变换，如由底片洗出照片，电子变正电子，物质变；P表示镜像反射操作，如人照镜子；T表示时间反演操作，如微观可逆过程。也就是说，当同时把粒子与反粒子互变（C）、左与右互变（P）、过去与未来互变（T），自然界又是对称的。
但把物质的宇称、超荷、同位旋等所有物理性质都加起来考虑，会发现它们总体上并不守恒，即对称性有破缺。人们假设，这是只考虑“物质”的结果，如果把“真空”也算在内，就有可能找回“失去的对称性”，总体上这世界仍然是对称的、守恒的。问题是，到目前为止，科学家对真空的了解还不够多。为什么CP不守恒，而CPT就守恒？CPT守恒意味着什么？CPT真的永远守恒吗？这都是些非常重要而艰难的问题，还有很大一部分需要科学家进一步研究来解答。
对称性是第一世界固有的，还是强加于其上的？是自然界的属性，还是自然科学中物理定律的属性？或者问，对称性是客观的，还是主观的？一种简便的而肯定的回答是，对称性是客观的、自然世界固有的属性。这也是过去流行的观点，但此观点对于解决问题并不比相反的观点更具有优势。如果把认识世界视为一个复杂的、不断进步的过程，理解对称性也要放在一个过程之中进行，在此认识系统中，“属性”的词汇是不恰当。如果仍然保留“属性”一词，它也只能指对象在某种条件下表现出来的功能，这也可以称作“条件主义”。条件也即约束，可对应于某种操作，标示某种认识层次。对称性原理均根植于“不可观测量”的理论假设上；不可观测就意味着对称性，任何不对称性的发现必定意味着存在某种可观测量。（李政道）那么“不可观测”是不是由于我们认识能力而导致的一种假相呢？
李政道说：“这些‘不可观测量’中，有一些只是由于我们目前测量能力的限制。当我们的实验技术得到改进时，我们的观测范围自然要扩大。因而，完全有可能到某种时候，我们能够探测到某个假设的‘不可观测量’，而这正是对称破坏的根源。然而，当确实发生这样的破坏时，一个更深入的问题是，我们怎么能够确信这不是意味着世界不对称呢？是否有可能，自然界基本规律仍然是对称的？是自然规律不对称，还是世界不对称？这两种观点究竟有什么区别呢？”[2]此论述概括了理论物理学的认识过程，更涉及一些基本的哲学问题。
当年数学家魏尔（H．Weyl）在讨论艺术作品中的对称性时，提到西方艺术像其生活一样，倾向于缓解、放宽、修正，甚至打破严格的对称性，接着有一名句：“但是不对称很少是仅仅由于对称的不存在。”（《对称》，商务1986，第11页）杨振宁引用了魏尔的话，并加上一句评论：“这句话有物理学中似乎也是正确的。”（《基本粒子发现简史》，上海科技1979，第58页）我们则又加一句，无论对于科学还是艺术，“同样，找到对称也绝对不是仅仅由于非对称的不存在。”[3]
科学和艺术都是讲究对称性的，对称性意味着某种规则，很难想象像科学与艺术如此宏大而不断积累的人类文明会没有规则，。那么是否可以推论出，科学与艺术只关注规则、对称性，并且只有对称的东西才称得上科学与艺术呢？答案是否定的。李政道日在的演讲中曾指出：“艺术与科学，都是对称与不对称的巧妙组合。”这无疑是正确的。对称是美，不对称也是美，准确说，对称与对称破缺的某种组合才是美。“单纯对称和单纯不对称都是单调。一个对称的建筑只有放在不对称的环境空间显得美，反之亦然。”[4]
无论对于科学还是对于艺术，对称性都涉及不同的方面和不同的层次。不同方面指对称的多样性：平移对称（连续装饰花纹、）、旋转对称（穹窿、五角星、伞、晶体）、左右对称性（建筑立面、人体）及联合操作对称性（的《骑士图》，类似CP操作）。不同方面还涉及局部与整体的关系，对称性有长程整体对称（如晶体），也有局部短程对称（如准晶、装饰艺术），这些在科学与艺术作品中都有许多实例。不同层次指对称性依赖于物质层次或者观念层次，在不同的层次上对称性可以很不相同，以人体为例，外表是左右对称的，但内脏则不是，心脏通常靠近左侧，肾等还是对称的。凯尔特艺术（Celticart）有很强的规则性，可以明显地发现少数基本结构在不同的层次上重复出现，不同层次的对称性与对称性破缺相互照应，细节丰富、层次分明，给予人以较强的装饰效果。可以肯定地说，凯尔特艺术有意识地利用了伸缩变换不变性，即标度变换下的不变性，也就是自相似对称性。特别有趣的是，在分形科学与艺术中，能够观察到各种对称性，既有不同方面的也有不同层次的，通过复函数计算机迭代，非常容易地展示这些对称性。近日，杨振宁或将与《李政道传》上法庭打官司。主要是围绕之子、李政道助手撰写的《李政道传》《李政道传》。杨振宁称《李政道传》有诸多不实之处，并再次强调，半个多世纪以来，他和李政道决裂的责任在李政道。昨日，季承表示，欢迎杨振宁“质疑”。因为回应越多，才能越有助于相关研究者和学界找到事情的真相。季承还表示，如果杨振宁要起诉他，他愿意应诉。
据杨振宁说，《李政道传》中，季承引用李政道的说法，认为宇称不守恒的突破思想是李政道先提出的。对此，杨振宁表示，突破思想是两个人在研究中“顿悟”的，而顿悟的是“杨”还是“李”，他也没有铁证，但他又称“80%~90%的可信度是自己”，因为发现该定律最重要的是与对称有关的系数，而对称是他的专业，“所以才能想到这不寻常的一面”。《对称》是举世闻名的大手笔小册子，是作者大学退休前“唱出的一支天鹅曲”，它由出版社将（C.H.H.Weyl，曾译作或者凡尔）退休前的系列讲座汇编而成书。据说许多百科全书的“对称”条目都将外尔的这部小书列为主要参考文献。作者：（德）著，冯承天，陆继宗译
出 版 社：
出版时间：版　次：1页　数：171字　数：106000
印刷时间：开　本：纸　张：胶版纸
印　次：I S B N：2包　装：平装遵循现代人文教育和公民教育的理念，秉承通达民情，化育人心的中国传统教育精神，大学经典依据中西文明传统的知识谱系及其价值内涵，将人类历史上具有人文内涵的经典作品编辑成为大学教育的基础读本，应时代所需，顺时势所趋，为塑造现代中国人的人文素养，公民意识和国家精神倾力尽心。开放人文旨在提供全景式的人文阅读平台，从文学、历史、艺术，科学等多个面向调动读者的阅读愉悦，寓学于乐，寓乐于心，为广大读者陶冶心性，培植情操。序言及文章评注图书对称
双侧对称性
平移对称性、旋转对称性和有关的对称性
装饰对称性
晶体·对称性的一般数学观念
附录A 确定三维空间中由真旋转构成的所有有限群
附录B 计入非真旋转
致谢书名：Symmetries(对称)
作者：Johnson, D.L.著
定价：34元
出版日期：
出版社：清华大学出版社本书研究空间几何中的各种对称，介绍相关的对称群；以通俗易懂的方式讲述几何与群的本质，以及两者之间的联系（即对称）。书中有大量习题并附部分习题答案或提示。　本书是一本优秀的数学教材，适用于数学系本科生和其他专业对数学有兴趣的本科生用作数学参考书或课外读物。Contents　1. Metric Spaces and their Groups ............................ 1　1.1 Metric Spaces............................................ 1　-1.2- Isometries ...............................................-4　1.3 Isometries of the Real Line ................................ 5　1.4 Matters Arising .......................................... 7　1.5 Symmetry Groups........................................ 10　2. IsometriesofthePlane..................................... 15　2.1 Congruent Triangles ...................................... 15　2.2 IsometriesofDifferentTypes............................... 18　2.3 The Normal Form Theorem................................ 20　2.4 Conjugationoflsometries ................................. 21　3. Some Basic Group Theory.................................. 27　3.1 Groups.................................................. 28　A~m~　3.2 Subgroups ............................................... 50　3.3 Factor Groups ........................................... 33　3.4 Semidirect Products ...................................... 36　4. Products of Reflections ..................................... 45　4.1 The Product of Two Reflections............................ 45　4.2 Three Reflections......................................... 47　4.3 Four or More ............................................ 50　5. Generators and Relations................................... 55　5.1 Examples................................................ 56　5.2 Semidirect Products Again ................................ 60　eoe　Xlll　xiv Contents　~ I ~ ~ I I I _ II I I I I I II I III ~ ~ I I I I I　15.3 Change of Presentation.................................... 615　,5.4 Triangle Groups.......................................... 6[)　15.5 Abelian Groups .......................................... 70　6. Discrete Subgroups of the Euclidean Group ................ 7[)　-15.-1- -Leonardo's Theorem ......................................-~Su　6.2 ATrichotomy............................................ 81　6.3 Friezes and Their Groups.................................. 83　6.,1 The Classification ........................................ 815　7 Plane Crystallographic Groups' OP Case 89　7.1 The Crystallographic Restriction ........................... 80　7.2 TheParametern......................................... Ol　7.3 The Choice of b .......................................... 02　7.4 Conclusion .............................................. 04　8. Plane Crystallographic Groups: OR Case................... 97　-8.-1--A Useful----Dichotomy ......................................--97　8.2 The Case n - 1 .......................................... 100　83 The Case n - 2 100　8 4 The Case n - 4 101　8 5 The Case n - 3 102　8 6 The Case n - 6 104　9. Tessellations of the Plane................................... 107　O.1 Regular Tessellations...................................... 107　9.2 Descendants of (4, 4) ..................................... 110　9.3 Bricks................................................... 112　9.4 Split Bricks.............................................. 113　9.5 Descendants of (3, 6) ..................................... 116　10. Tessellations of the Sphere.................................. 123　dMm~　10.1 Spherical Geometry....................................... 123　10.2 The Spherical Excess ..................................... 125　-1--0.3 Tessellations of- the--Sphere.................................-1--28　1-0.-4 The-Platonic Solids.......................................-1-~30　10.5 Symmetry Groups........................................ 133　11. Triangle Groups ............................................ 139　11.1 The Euclidean Case....................................... 140　11.2 The Elliptic Case......................................... 142　11.3 The Hyperbolic Case...................................... 144　Contents xv　I I I I I I I __ I II Ilml　11.4 Coxeter Groups . ......................................... 146　12. Regular Polytopes.......................................... 155　12.1 The Standard Examples................................... 156　12.2 The Exceptional Types in Dimension Four................... 158　12.8 Three Concepts and a Theorem ............................ 160　12.4 Schliifli's Theorem ........................................ 1og　Solutions ....................................................... 167　Guide to the Literature......................................... 187　Index of Notation .............................................. 1Ol　Index........................................................... 105
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