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什么叫有理数?什么叫无理数?请举例说明
分数和整数统称为有理数22/361756/ /937无限不循环小数称为无理数3.1415926……根号34根号18573等等
会学到.
比如:1,45/89,0.1111111.....(1/9)
无理数则不可以表示为两个整数之比的形式.
比如:根号2,根号3,派,e......
证明:根号2是无理数.
用反证法,设根号2为有理数,那么一定可以写成根号2=p/q(p,q互质)
平方后可得2q^2=p^2
那么p一定能被2整除,2q^2就能被4整除,q就能被2整除
p与q含有相同的因数2,这与题设中他们互质相矛盾,所以根号2是无理数.
有理数和无理数统称实数,都可以用数轴上的点表示出来.
当然,大部分的无理数和有理数都是代数数(代数数是满足整系数代数方程的数).
所有有理数、整数及能以根式表示的数都是代数数。方程的根不一定能够通过方程系数的四则运算来给出，例如 x^5 - x - 1 = 0。事实上,最高次数大于5的方程都没有根式解.
但还存在一些超越数(超越数是不能满足任何整系数代数方程的数或不是代数数的复数叫做超越数).这包括 e、& 等.
所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明
有理数可以表示为两个整数之比的形式.
无限循环小数也可以,会学到.
比如:1,45/89,0.1111111.....(1/9)
无理数则不可以表示为两个整数之比的形式.
比如:根号2,根号3,派,e......
证明:根号2是无理数.
用反证法,设根号2为有理数,那么一定可以写成根号2=p/q(p,q互质)
平方后可得2q^2=p^2
那么p一定能被2整除,2q^2就能被4整除,q就能被2整除
p与q含有相同的因数2,这与题设中他们互质相矛盾,所以根号2是无理数.
有理数和无理数统称实数,都可以用数轴上的点表示出来.
当然,大部分的无理数和有理数都是代数数(代数数是满足整系数代数方程的数).
所有有理数、整数及能以根式表示的数都是代数数。方程的根不一定能够通过方程系数的四则运算来给出，例如 x^5 - x - 1 = 0。事实上,最高次数大于5的方程都没有根式解.
但还存在一些超越数(超越数是不能满足任何整系数代数方程的数或不是代数数的复数叫做超越数).这包括 e、& 等.
所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。
118.120.74.*
根号2/2是不是有理数
120.37.105.*
nishishenjingbingme
120.37.105.*
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-7分之22,3.141 592 6,0,-1.414 2,0.333...中,有理数的个数是
-7分之22,3.141 592 6,0,-1.414 2,0.333...中,有理数的个数是
4个.除了,0.333...（因为省略号代表它是无限不循环小数）.补充.0也是有理数.怎样证明 0.999999... = 1？
0.999...后面表示无限循环的9不想开新问题，所以在这里补充一些疑问：如果说0.999999...和1在数值上是严格相等的，那么两者真正的区别是什么？是否可以认为0.999999...和1的相等需要建立在一些隐含的条件的基础之上？也就是说，0.999999...和1是否并不总是相等？其中在初等数学阶段，是否可以认为由于保证0.999999...和1相等的隐含条件并不存在，因此学生们的怀疑实际上是合理的？
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252 个回答
的证明存在错误，错误在于显然地认为成立，他的理由是从高到低依次比较每一位数字的大小，但这并不是显然的，这一性质是在已经定义好了，之后才有的。完整地解释实数的十进制实数（实数的十进制表示）是什么，并不像你可能想象的那么自然。为什么与是同一个实数，而与不是同一个数？为什么是实数，而不是实数？以及为什么当我们在作加法或乘法时必须关注小数点的位置？为什么和是同一个实数？最小的正实数是是什么，是否是？简单地说就是实数的十进制表示唯一性不成立，所有的实数，当它是时（从小数点后某位开始全是零的数），它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。仅有两种十进制表示，即和。表示的是Cauchy序列的极限，很明显它的极限为。表示的是Cauchy序列的极限，这个序列的极限也是是。这里我推荐《》一书，tao在附录B中详细地解释了这个问题。下面来严格地处理，从有理数来构造实数有两种方法一、实数的构造这里采用Cauchy序列的方法来从有理数构造实数，设表示所有有理数的Cauchy序列的集合，那么我们要构造的实数就是除以一个的商集：这个等价关系是当且仅当对每个有理数，存在使得对一切都有。当然这里认为有理数已经定义好了，你可能会问，有理数是如何定义的？这里简单的回顾一下各种“数”的定义：首先自然数是最基础的，它是采用和集合论中的来定义的，整数是的加法完备化，有理数是的乘法完备化，我们要构造的实数是的度量完备化。构造实数首先需要Cauchy序列的概念。定义. （Cauchy序列）一个有理数序列叫做，当且仅当对每个有理数，存在使得对一切，比如，即是有理数的Cauchy序列定义.（等价的序列） 两个序列和是等价的当且仅当对每个有理数，存在使得对一切成立。实数就是所有Cauchy序列的集合除以这个等价关系的商集。定义. （实数）形如的对象叫做实数，其中是有理数的一个Cauchy序列。两个实数和叫做相等的当且仅当和是等价的Cauchy序列。我们把叫作 的形式极限。注. 符号的集合论解释是，它是Cauchy序列在这个等价关系下的等价类：但这种解释对于我们如何处理实数并没有什么帮助。后面我们将定义真正的极限，并且证明一个Cauchy序列的形式极限与此序列的极限是相同的。之所以定义形式极限是为了避免循环论证：定义实数需要极限的概念，而极限的概念只有当我们定义了实数之后方能适当地定义。至此，实数就定义好了。二、实数的十进制表示前面的实数的构造我们没有用到十进制，因为十进系统本身在数学中不是本质的。十进制系统对于计算很方便，而且由于一千多年的使用，我们从小就习惯于这个系统，但在数学史上，它的确是相等较为近代的发明。但为了处理之类的数，我们需要实数的十进制表示。定义. （digit）一个digit是这十个符号之一。我们把这些digit与自然数依下述公式等同起来，，，，我们还定义数字拾为：（我们还不能使用十进制符号来表示拾，因为那要预先知道十进制，从而导致逻辑循环）定义. （十进制正整数） 一个十进制正整数是一个digit串，其中是自然数，并且第一个digit 不是零。我们用公式使每个十进制正整数与正整数相等。比如是十进制正整数数，而不是，也不是。根据定义另外，一个单元的十进制整数恰好等于那个digit本身，比如十进制数恰好等于正整数的十进制表示是存在和唯一的，因为有下面定理：定理. （正整数的十进制表示是存在和唯一的） 每个正整数都恰等于一个十进制正整数。这个定理不难证明，主要用到了自然数的。一旦有了正整数的十进制表示，当然可以加一个负号以用于负整数的十进制表示，最后让也是十进制数，那么就给出了一切整数的十进制表示，由于拾，通常我们用代替拾。定义. （有限小数） 一个实数叫作有限小数，如果对于两个整数，很明显，有限小数是有理数，但有理数不一定是有限小数，比如。定义. （十进制有限小数） 一个十进制有限小数是一个digit的串连同一个小数点，书写成其中，小数点左边是有限的，小数点右边也是有限的，其中取或则，而是一个十进制自然数(即或为十进制正整数，或为)。这个十进制数等于有限小数模仿上面定理的证明，可以得到一个类似的定理：定理. （有限小数的十进制表示是存在和唯一的） 每个有限小数都恰等于一个十进制有限小数。最后来定义十进制实数：定义.（十进制实数） 一个十进制实数是一个digit的序列连同一个小数点，书写成其中，小数点左边是有限的，但小数点右边是无限的，其中取或则，而是一个十进制自然数(即或为十进制正整数，或为)。这个十进制数等于实数这个级数总是绝对收敛的，因为它是有界的，根据十进制实数和无限级数的定义，表示的是有理数的Cauchy序列的极限。比如表示的是有理数序列的极限。但是实数的十进制有一个小小的瑕疵：一个实数可能有两个十进制表示。我们只能有下面的定理：定理. （十进制表示的存在性） 每个实数都至少有一个十进制表示证明主要是根据实数的阿基米德性质。最后展示一个例子说是实数的十进制表示并不是唯一的。命题. （十进制表示的唯一性不成立）数有两个不同的实数的十进制表示：和证明. 表示是明显的，现在计算，根据定义，这是有理数的Cauchy序列的极限，也就是序列的极限，很明显它的极限是。数只有这两个十进制表示。事实上，所有的实数，当它是有限小数（即从小数点后某位开始全是零的数）时，它有两种十进制表示，当它不能表示成有限小数时，它只有一种十进制表示。参考[1] [2] [3]
前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。首先明确指出下面的事实：无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：思路一：设 a=0.999...则 10a=9.999...于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,因此 a=1.思路二：由于 1/3=0.333...,所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...思路三：0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列的所有项之和.根据等比数列的求和公式,但是，需要强调的是，以上三种思路可以用来帮助你直观理解，但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称A 和 B 构成有理数集的一个 Dedekind 分割，简称分割，记为 A/B。这一定义包含两层意思：对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。所以，在逻辑上，有理数集的分割 A/B 可能是下列四种情况之一：A 有最大数，B 没有最小数；A 没有最大数，B 有最小数；A 没有最大数，B 也没有最小数；A 有最大数，B 也有最小数。但实际上，第 4 种情况不可能发生。因为如果 A 有最大数 a，B 有最小数 b，根据分割的定义可知 a&b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数，并且因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况：A 有最大数 a，B 没有最小数。例如：A 没有最大数，B 有最小数 b。例如：A 没有最大数，B也没有最小数。对第 1 种情况，我们称分割 A/B 确定了有理数 a，例如上面给的例子就确定了有理数 0；对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子:此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个"空隙"，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个"空隙"。在这个例子中，表示这个"空隙"的无理数就是。这样，我们就得到了无理数的严格定义：设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个无理数 c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。需要注意的是，符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的。否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c&d。取正整数 n 满足则 nd-nc&1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc&m&nd（因为 nc 和 nd 的距离大于1）。于是由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。从而我们就可以得到实数的严格定义：由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为实数集。跟有理数的分割类似，我们可以定义出实数的分割：设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称 A 和 B 构成实数集的一个分割，同样记为 A/B。实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 Dedekind 分割定理来表示：设 A/B 是实数集的一个分割，则或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。 这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况，即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。换句话说，实数集中没有"空隙"，数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。这样，我们得到了以下结论：每个有理数集的分割确定唯一一个实数；两个相同的有理数集的分割所确定的实数一定是相同的；如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。在有了上面的准备之后，我们就可以给出“1=0.999...”的严格证明了。1=0.999...的严格证明：设 t=0.999...，作两个有理数集的分割根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。若有理数 x∈A，则显然有 x&1，于是 x∈C。这说明 。下面只需证明。若有理数 x∈C，则 x&1。不妨设 x&0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为既然0&x&1，则必有p&q。于是由可知存在正整数 n 使得于是既然 x&t，这就说明 x∈A。从而我们就证明了。综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。
【15.08.09~15.08.12新回答：】一年后审视此问题，又有新的想法，重写一个回答（旧回答有点取巧，这次的回答稍严谨些）：实际上，目前为止该问题下的所有回答都是在默认"1/3=0.33..."的基础上进行证明的，与"1/3=0.33..."=&“1/3*3=0.33...*3”=&“1=0.99...”的论证过程并无本质区别。(0.33...乘以3等于0.99...违反哪条法则了？)所以回答这个问题的重点在于，如何在数学上解释“1/3=0.33...”。的回答重点是：如果两个实数的Cauchy序列的极限相同，则两实数相等。的回答重点是：如果两个实数确定的分割相同，则两实数相等。我想到一个更简洁易懂的解释：在当前数学体系的定义下，无限循环小数的值等于其对应等比数列的和的极限。所以0.33...=1/3，0.99...=1-下面我尝试给一个高中生即可看懂的论证。在论证之前，我们先看两“公理”（类似"欧几里得五大公设"，无需论证，它们是论证的前提条件）：1. 实数的构成：2. 实数的定义：2. 实数的定义：任何实数都可以用的方式表示，小数点的右边是一个无穷的（可以是循环的，也可以是非循环的）3. 从1中可精简出一句话：所有的分数都是实数。从2中可精简出一句话：任何实数都可以用无限小数的方式表示。则我们可以根据两“公理”推论出：所有分数都可以用无限小数的方式表示。特别地，所有分数都可以用十进制无限小数的方式表示。注意加粗的这句话，在我们后面的论证中非常重要。请深刻理解之。-下面我们开始论证“0.99...=1”这个命题：1. 根据上述的“推论”，可进一步推论出：无限循环小数的值等于其对应等比数列的和的极限比如0.33... = 1/3的数学意义是：0.33...这个等比数列的和的极限 等于 1/3“分数可以用十进制无限小数的方式表示”这句话的数学意义不明显，比如对于“1/3 = 0.33...”，课本上的解释是1/3列竖式算小数除法时整除不开，可以一直算下去，所以1/3可用0.33...表示实际上，我想到一个更严谨的解释：“1/3 = 0.33...”这个式子相当于"0.33... = 1/3"，相当于"0.3 + 0.03 + ... = 1/3" ，即 以3/10为首项，1/10为公比的等比数列的和的极限等于1/3等比数列的和很容易推导，这里插播一下推导过程（知道等比数列求和公式的同学可略过）：假设等比数列首项为a1，公比为q，则
前n项和s = a1 + a1*q + a1*q*q + ... + a1*q^(n-1)
等式两边乘以q，则
s*q = a1*q + a1*q*q + a1*q*q*q + ... + a1*q^n
两个等式两边分别相减，则
s-s*q = [a1 + a1*q + a1*q*q + ... + a1*q^(n-1)] - [a1*q + a1*q*q + a1*q*q*q + ... + a1*q^n]
s*(1-q) = a1 - a1*q^n
s = a1/(1-q) * (1-q^n)
等式右边，a1/(1-q)是常数，当q&1时，当n趋向于无穷大时，1-q^n的极限是1
则等比数列的和s的极限是a1/(1-q)
这样可以得到一般结论：a1 + a1*q + a1*q*q + ... + a1*q^(n-1)等比数列的和的极限是a1/(1-q)。特别地，当a1=3/10时，q=1/10时，“0.3 + 0.03 + ...”的极限是a1/(1-q) = 3/10 / (1-1/10) = 1/3所以可以得出，0.33... = 1的数学意义是：0.33...这个等比数列的和的极限 等于 1/3一般地，无限循环小数的值等于其对应等比数列的和的极限2. 既然“无限循环小数的值等于其对应等比数列的和的极限”，那么0.99... = 1换个说法，如果承认0.33... = 1/3，那么必然要承认0.99... = 1在1中，我们论证了“无限循环小数的值等于其对应等比数列的和的极限”再看0.99...这个无限循环小数，0.99... 相当于 "0.9 + 0.09 + ..."，即 以9/10为首项，1/10为公比的等比数列的和的极限与1中的论证同理，当a1=9/10时，q=1/10时，“0.9 + 0.09 + ...”的极限是a1/(1-q) = 9/10 / (1-1/10) = 1可以得出，0.99... = 1的数学意义是：0.99...这个等比数列的和的极限 等于 1两者的论证过程一样所以，如果承认0.33... = 1/3，必然要承认0.99... = 13. 如果不承认0.33... = 1/3呢？有钻牛角尖的同学说，我不承认0.33... = 1/3，所以你的论证说服不了我。那么OK，我们回到本文开头的两“公理”一“推论”：所有的分数都是实数。任何实数都可以用无限小数的方式表示。所有分数都可以用无限小数的方式表示。特别地，所有分数都可以用十进制无限小数的方式表示。既然你不承认“分数可以用十进制无限小数的方式表示”这个推论，那么你间接推翻了前两条公理，相当于你以一己之力推翻了实数的定义。请你告诉我，1/3这个分数在十进制中该如何表示？如果你说，1/3这个分数在十进制中无法表示，不是所有数都要有十进制表示的，不是所有分数都属于实数的。那么请理解下面两句话：规定“分数是实数的一部分"、"1/3的十进制表示是0.33..."的目的是将分数纳到实数（无限小数）体系中来，如果不这样做，1/3类似分数就无法融入实数体系的定义，在数学上就毫无意义了。如果某个规定(有些分数不属于实数)影响了某些数在数学上的意义，为什么我们不改掉它呢？======【14.09.04之前的旧回答：】偶然地，我想到一种解释方法，保证令人信服。我们换个角度想，”0.99... = 1“这个等式的实际意义是啥？实际意义是，在十进制下，表示式”0.99...“与表示式”1“在数值上是完全等价的。那么在别的进制下呢？比如三进制？我们知道，三进制中，每逢3进1，十进制中的整数1~10在三进制下的表示式分别是：1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101那么小数呢？在三进制下，0.1 表示 1/3，即十进制下的0.33...0.2 表示 2/3，即十进制下的0.66...(不理解上两行的同学，可以看这两句：十进制下12表示1*10+2*1，三进制下12表示1*3+2*1十进制下0.12表示1*1/10+2*1/100，三进制下0.12表示1*1/3+2*1/9）……发现啥没，在十进制中看来是无限循环小数的数在三进制中其实是有限小数，而在十进制中看来是有限小数的，在三进制中倒是无限循环小数了。（因为整除不开）所以“0.99...”这个东西只不过是数值1在十进制中的特殊表示形式，和1/3在十进制中只能表示成0.33...类似，实际上它就是1。（比如，在三进制下0.1表示1/3，即十进制下的0.33...，在三进制下0.1*3表示1/3*3=1，即十进制下的0.33...*3=0.99...）-类似的，还可以回答“0.33... = 1/3？”，等于，因为整除不开，1/3在十进制下只能表示为0.33...比较好玩的是，大家对“0.99...=1？”充满争论，而对“0.33...=1/3？”却不争论，实际上，所有对“0.99...=1？”的质疑同样也适用于“0.33...=1/3？”
证：因为两个实数在&、=、&三种关系中必居其一。不难看出永真。现在证永真:反证法。假如则有=1 - 0....&0而事实上的任意位数都是0.由此，不可能大于0。由此导出了矛盾。证毕。
老见到有人提这种问题，OK，我也回答一下吧。首先，要有一点前提共识，0.99999...只是一个记法，其实表示的是 1-1/10^n，当 n 趋向于无穷时的极限是吧？要连这个都不承认，我无话可说。有了这个前提，那无非就是要证明 1-1/10^n 在 n 趋向无穷的时候，极限是1。这个证明就简单了，用 ε δ 语言证明一下就是了：对任意 ε
0，我们都可以找到一个大于 log(1/ε)/log(10) 的自然数 N ，对任意 n
N，abs(1-1/10^n -1) = 1/10^n
ε。上面这段话就证明了 1-1/10^n 在 n 趋向无穷的时候，极限是1。也即证明了 0.999999....= 1。
wiki上有相当棒的描述 果壳上也有过一些科普向的例子 但M67这里有个我最喜欢的证明，非常漂亮 如果0.999…和1之间不能插入其他的数，那么他们二者相等
这是……高数课本上的证明……0.3333……3……= 1/3 0.9999……9……= 1
受其它答案影响的更新：我这里给出一个从皮亚诺公理出发构造实数以及实数的十进制表示的摘要，同时我也说明实数域独立于进制，并应用于问题所要求的比较。1，由皮亚诺公理给出自然数集。2，为了方便计数，引入进位制，比如两只手数数是二进制，十个手指数数是十进制，再加上十个脚趾头数数是20进制。值得注意的是：不管哪种进制，自然数集还是一样的自然数集。自然数上面的进制只是为了方便而制定的一个规定。我们暂且使用十进制。3，在自然数集上面定义序结构和四则运算并证明相关性质。4，为了使减法满足封闭性，由自然数集推广到整数环。并推广序结构和四则运算（限制在小的集合上的序结构和代数结构仍然恰好是原来定义的序结构和代数结构）。5，为了使除法满足封闭性，由整数环推广到有理数域。并推广序结构和四则运算，证明我们定义的这些运算使有理数域构成一个阿基米德域，即对任意非零有理数a、b，存在n，使得an&b。6，利用戴德金分割或者柯西序列，由有理数域推广到实数域，此处的目的是为了是度量（拓扑）完备化。推广序结构和四则运算到实数域上，仍然可以证明实数域是一个阿基米德域。7，目前我们只在整数集上有十进制表示。根据实数域的完备性将十进制推广到整个实数域上，也就是我们熟悉的十进制数轴。推广的方法在数学上很重要，所以我稍微详细一点：首先数轴被相邻的整数分段，我们主要关注闭区间[0,1]。给定一个在这个区间的实数，将这个闭区间均匀分成十段闭区间，因为实数域是全序集，这个点至少落在其中一段上（最多两段），将此段再十等分，......，再十等分，直至无穷，这个过程其实也是求极限的过程。于是我们可以得到这个实数的十进制表示，它可能并不唯一。8，比较大小。同时满足大于或等于和小于或等于即为相等。事实上，实数集的性质允许你用很多方法说明这两个数的相等性。9，实数域有不同的表示方法（表示不同但是作为域或集合没有变！！），常见的有二进制，十进制，分别对应7中的二分法，十分法。更有趣的是乱进制，即你完全可以先用二进制，对区间二等分，再用三进制对每个小区间三等分，再用四进制对每个区间四等分，总之，看你的爱好了。10，我们可以仔细看看实数域上的数学结构：序结构允许我们比较大小，四则运算带来代数结构，开闭区间构成拓扑结构，这三大结构正是布尔巴基所提出的数学研究的主要结构。不管使用什么进制，实数集的这三大结构都保持不变。实数域就是一个带有全序性质和代数运算的完备拓扑空间。再次更新于：此时赞同数为24，按票数排序位于6票答案和4票答案之间。即此时点击反对的人数有20人左右。与此同时，评论数没有任何增加。再次请求点击反对+没有帮助的人留言告诉我理由。写在前面的话（更新于）：自从写出这个答案后很久没有回来看，今日无意中发现此答案居然被踩到绝大多数无赞同短答案之后（就差被折叠了），相信这个答案应该是被很多知友点了反对意见。我可以理解有人看不懂我的答案（虽然我认为我的逻辑很清楚也没有陷入技术性的证明，有基本数学素养和耐心的知友应该有能力看懂），可是我不能忍受我花了很长时间思考整理并写下来的答案这么被人忽视甚至贬低。我的决定是：欢迎看到这个答案的知友拿这个答案与其它答案进行比较。如果你还是选择点击反对+没有帮助，请麻烦留言告诉我理由。谢谢！以下为正文：我觉得目前的所有答案都没有说到点子上。有一些答案已经隐含了我想要说的，但是没有明确的表达出来。问题的关键在于：题主已经认同0.999999... 是一个确定的实数，需要的只是比较这个实数和另一个实数1到底哪个更大？承认这点，证明0.999999... = 1就有很多方法了。但是所有的证明，包括其它答案里出现的证明，都用到了实数集广为人知的一些性质。我这里给出一个我觉得最自然的证明，想法如下：同时证明0.999999... 1和0.999999... 1。然后自然而然就能根据逻辑得到0.999999... = 1。0.999999... 1是因为实数集是一个全序集，然后比较任何两个实数大小每个人都应该会吧？要证明0.999999... 1稍微有一点技巧。用反证法：假设不然，则0.999999... &1，这个时候我们可以用实数集上面的减法，令a=1-0.999999... &0（根据我们的假设）。认同0.999999... 是一个确定的实数，则a也是一个确定的大于0的实数。对于任何一个确定的实数a来说，我断言存在n，使得1/&a；则有a=1-0.999999...&1/&a，即a&a；矛盾。命题得证。看到上面的证明，相信有些知友开始疑惑：为什么0.999999... 是一个确定的实数？一个直观的回答当然是：所有实数都可以由无限小数表示（包括无限不循环），即......abcde.fghijk.......(所有字母皆为数字0-9，小数点前是整数部分，后面为小数部分)。根据这个描述，实数集的全序性质和加减乘除运算都是小学数学已经学过的内容。作为数学专业出身，我对这个答案还是不满意，以下开始为比较严谨的数学科普，讲述如何从1开始得到所有实数的过程。老子：“道生一，一生二，二生三，三生万物。” 皮亚诺没有看过老子老先生这句话吧？有兴趣的知友可以去考证下。简单来说，因为某个神奇的东西，老子称这个东西为道，这个世界有了一，于是就有了二，二是什么？皮亚诺说二就是一后面那位，本来二是没有资格有名字的（原名就是一加一），数学家为了偷懒于是把一后面那位简称为二。二后面那位简称为三（原名一加一加一），三后面的简称为四，这个过程进行下去就得到了自然数集（请注意此处我没有严格的给出皮亚诺公理的所有条件，见本答案最后一段）。相信这个解释也能顺便回答另一个问题：有了自然数集，我们就能够用严格的公理来定义自然数集合上面的四则运算。加n就是对这个由1到2的过程进行n次，减法是加法的逆，乘以n是自己对自己累计加上n次，除法是乘法的逆。这些广为人知的结果实际上是定理：自然数的加法和乘法满足交换律和结合律。（直观上当然是显然的，但数学需要一些逻辑推导过程，本质上只是皮亚诺公理的循环使用，评论中请不要告诉我这些东西是不证自明的）此外还有关于自然数集的很多其它性质这里不再赘述。关于自然数集我想补充两件事。一个就是在我国广为人知的哥德巴赫猜想，陈景润先生证明了“1+2”，很多热心数学的朋友总是会问我：“1+1”为什么比“1+2”还要难呢？给跪了，“1+1”不是自然数系统里面的1+1，而是一个关于自然数中最特别的数——素数的问题。因为乘法的存在，素数有了特别的意义。“1+1”：任何一个大于等于6的偶数都可以写成一个素数和另一个素数的和。“1+2”：任何一个大于等于6的偶数都可以写成一个素数和两个素数乘积的和。另外一个例子是一个在数学界流传的笑话。上世纪五六十年代，布尔巴基在法国进行数学教育改革，力图推行严格的公理化的数学。某日一教育相关人员前往某小学视察，期间考察起小学生的算术水平，问了一个类似以下的问题：1加2等于多少？答曰：2加1。此人当然不满，以为这个学生在偷奸耍滑，重复问题：到底等于多少？再答曰：当然是2加1，难道你不知道加法满足交换律？？？如何从自然数到整数？因为减法。-1、-2等等也是数学家为了偷懒给的简称。0从何而来？我没有去考察数学史，但是1和-1之间的距离隔了两步难道不会让你觉得整数集没有美感？？这里必须要指出，数学家也是爱美的。所以中间加上个0就构成了整数集。如何从整数到有理数？因为乘法和除法。数学家希望ax=b对任何整数a，b都有解。定理：对于整数和有理数，加法和乘法满足交换律和结合律，并且是对自然数上四则运算的推广。整数和有理数是全序集。如何从有理数集到实数集？中间经历了漫长的历程。从毕达哥拉斯学派发现非有理数的代数数开始，数学家猜测：所有整系数多项式方程的根（所有代数数）是否构成了实数集？直到约200年前，数学家发现自然对数e和圆周率都不是代数数。之后柯西戴德金等数学家终于完整定义实数集并给出实数集上各种性质的证明。不久之后，康托更发现有理数和代数数都是可数集，而实数集是不可数集。康托的结论说明，无理数和超越数的数量远远超过有理数的数量，并且根本就不是在一个数量级上。关于从有理数集过渡到实数集的具体步骤，可见的答案。大概想法如下：首先定义实数集为有理数的分割构成的集合。然后不难发现集合中的一部分元素对应的正好是所有有理数，剩下的则为无理数。然后根据有理数集合上面的四则运算定义实数集上面的四则运算并证明相应的性质。给出实数集的直观描述和这个集合上的全序排序。定理：对于实数集，加法和乘法满足交换律和结合律，并且是对有理数上四则运算的推广。实数集是全序集。实数集一个有趣的算术性质是，对任何正实数a,b存在正整数n，使得an&b。我在断言“存在n，使得1/&a”时用到了这个性质。至此，老子关于实数集的预言得以实现。而一个具有良好性质的实数集已经可以帮助我们回答题主的问题。有兴趣的知友可以看看皮亚诺公理：（1）1是一个自然数；（2）每个自然数都有一个后继者；（3）1不是任何自然数的后继者；（4）后继相同的自然数相等；（5）当含1及中每个数的后继时，含有全部自然数。
以上所有的证明都依赖于0.9999...是实数的假设的。Wiki上解释的很详细，至于0.9999...为什么表示实数？这完全是一种约定。实际上，在其它的可能的数系中，你可以定义这两者不同，但至少在一般意义的实数系中，0.999...和1是一个实数的两种不同的表示，它们是等价的。这个问题其实是很根本的，因为它涉及到实数系的定义。你必须清楚的知道什么样的数才叫做实数。
设 x = 0.9999...则 10x = 9.9999...由此可推导出10x - x = 9.9999... - 0.9999... = 9同时对于x & 0，等式10x - x = 9x成立。 即9x = 9也就是 x = 9/9 = 1故0.9999... = x = 1
如果你能理解 p 进制 (p&1) 表示法的定义，那你一定能知道这个问题本身只是个记号问题。定理 只要 p&1, p进制表示就能完整地表达所有实数。注意（这一段可以不读） 这里 p 不一定是整数，也可以是有理数，甚至无理数。只不过 p 是无理数的时候我们没有很好的加法进位性质了，但依然可以用这种进制表达所有的实数。换句话说，这时候从 {0, 1, ..., p-1}^Z 到实数集没有良好的保持运算的同构，但依然有双射。一个实数，如果它是p的某整数次方的整数倍，那么它一定有两种表示：比如10进制下1=0.999..., 2进制下 1=0.111... 数学上我们为了表达式的唯一性，甚至往往要求只取无限位小数的表示，比如 0.13 我们取 0.12999...
嗯，其实很容易。。。显然Q:=0.999...1，以下证Q1。给任意&0，存在N使得。所以（比如N+8个9）这个estimate对所有均成立，取即可。QED.
0.999... = 0.111... x 9 = (1/9) x 9 = 1
说到底，问题的关键在于，0.99……这个符号应该表示什么。从十进制的角度看.0.9……=0.9+0.09+0.009+……但这个无穷求和到底代表什么呢？看起来似乎不超过1，但又与1无限接近。为了使实数构成一个完备序域，阿基米德性是必须的。阿基米德性就是说，两个实数不能无限接近。(还有不少等价表述)具体地说，就是,则.要保证0.99……对应一个实数，且不引起实数系统的矛盾，又尽量跟十进制的一般规律相协调，唯一的办法就是认为0.99……等于1.有没有别的办法呢？你也可以规定0.9……是非法表示，没意义。还可以把0.9……强行当作某个形式对象，但那样的话，得到的体系可能就不是实数这个完备序域了。实数具有良好的性质，这些都来源于完备序域的完美。如果你把实数弄成了非完备序域，那我们不承认它，仍然需要完备序域。
这个问题首先得知道无限循环小数它是什么，怎么定义的。
实数就是所有有理数构成的收敛数列。两个实数相等当且仅当这两个数列等价，即逐项做差的数列收敛到0。 常数数列Xn=1和数列Xn=0.9……999(n个9)显然等价。故相等。来源于陶哲轩的《实分析》。
我觉得具体怎么证明取决于，怎么给0.9999…下出精确的定义。别和我说什么后面无限个9这种民科定义。按照十进制的定义，应该是从一个无线维的符号空间 出发，给出一个映射f, 把这个空间映到实数。在这个映射下，1和0.9999…只是2个不同的代表元。模掉等价关系也就是模掉ker(f)以后得到了同构。也就是给出了实数的十进制的定义。如果这样定义的话，上面答案给出的加减乘除什么的证明都是对的。因为在模掉等价关系以后，是对加减乘除封闭的。换句话说，要想用初等的方法严格证明，就要用初等的方法给出定义。P.S. 为了负责任老老实实编辑了好几次，编辑完才意识到如果看的懂我写的是什么的人，也明白这个问题本质是什么。。。。
严重反对第一名答案。不是说写的不好，而是觉得它不得要领，大炮打蚊子。回答这个问题，关键是要理解0.99999...的确切含义。实数的小数表示法的具体含义是什么呢？究其根本，是极限的意思。举几个例子：说1/3 = 0.33333...，其实是在说下面这个数列的极限等于1/3：0.3, 0.33, 0.333, 0.33, ...同样，说 = 1....，其实是在说下面这个数列的极限等于：1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...一个无限小数，背后其实对应着一个无穷数列，而这个数列的极限，就是这个无限小数所实际表示的实数。以上两个数列中的任何一项，哪怕是第项，都不等于那个无限小数所表示的实数。而它们的极限，却是严格等于那个无限小数的，因为这就是无限小数的含义。这样一来，0.99999...所表示的其实是这个数列的极限：0.9, 0.99, 0.999, 0.99, ...因为这个数列最终会无限趋近于1，与1之间的差别会无限地减小，所以它的极限就是1。既然极限严格等于1，而0.99999...又被定义为这个极限，那0.99999...就一定是严格等于1了。只是理解这个概念，其实并不需要严格的极限知识。
用四则运算证明这个结论，个人觉得有点不妥。用极限方法证明的，已经可以说得通了。这个命题本质上利用的是实数的稠密性。即任何两个不同的数之间一定有一个数。0.9999....与1之间不存在其它数了，因此0.99999...=1
以上所有回答都不对，小数中0.999……无意义(无对应的实数)。除了.999以外，所有的小数都有意义(对应于一个实数)。证明参见 卓里奇
数学分析 第二章实数
0.9999999....=3*0......0.3333333.....=1/3so 0.999999....=3*(1/3)=1----------------------------------------------------------0.9999....和1唯一的区别就是3进制跟10进制的区别十进制的1/3 就是三进制的1/10同理,0.9999...=3*(1/3),三进制是10*(1/10)----------------------------------------------------------有人说我这个证法太糙，我理解的是，作为一个司机了解换档加油刹车就够了，至于发动机的原理，留给造车的人去研究吧；至于精细的证法，呵呵，那请先证明1+1=2