四川大学数学学院分析2.1.7求大神解答

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数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷_图文_百度文库
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数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷
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你可能喜欢南开大学2007年数学分析考研试题参考解答(2)_Java123社区微信号：java123msg |||[][]当前位置: &
& 南开大学2007年数学分析考研试题参考解答(2)证明: $$\bex \left. \ba{ll} f(0)=0\\ f\sex{\frac{\sev{f(0)}}{2}} =f(0)+f (\xi)\cdot\frac{\sev{f(0)}}{2} \sev{f(0)}0 \ea \right\}\\ \ra f(x) \mbox{区间 } \sex{0,\frac{\sev{f(0)}}{2}} \mbox{ 中有一证明: &$$\bex & &\left. \ba{ll} f(0)=0\\ f\sex{\frac{\sev{f(0)}}{2}} =f(0)+f'(\xi)\cdot\frac{\sev{f(0)}}{2} &\sev{f(0)}&0 \ea \right\}\\ &\ra& f(x) \mbox{区间 } \sex{0,\frac{\sev{f(0)}}{2}} \mbox{ 中有一根}\ (\mbox{连续函数的介值定理}), \eex$$ 而根的唯一性是因为 $f$ 递增.&3 ($16'$) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续. 求证: $$\bex \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sez{f\sex{\frac{1}{n}}-f\sex{\frac{2}{n}} +\cdots +(-1)^nf\sex{\frac{n-1}{n}}}=0. \eex$$证明: &记 $$\bex a_n=\frac{1}{n}\sez{f\sex{\frac{1}{n}}-f\sex{\frac{2}{n}} +\cdots +(-1)^nf\sex{\frac{n-1}{n}}}, \eex$$ 则(1)$$\bex a_{2n}&=& 2\cdot \frac{1}{2n}\sez{ f\sex{\frac{1}{2n}} +f\sex{\frac{2}{2n}} +\cdots +f\sex{\frac{2n-1}{2n}} +f(1)}\\ & &-2\cdot\frac{1}{n}\sez{ f\sex{\frac{1}{n}}+f\sex{\frac{2}{n}} +\cdots +f\sex{\frac{n-1}{n}}+f(1) }\\ & &+\frac{1}{n}\cdot f(1)\\ &\to&2\int_0^1 f(x)\rd x-2\int_0^1 f(x)\rd x-0=0,\ \mbox{as }n\to\ \eex$$(2)$$\bex a_{2n+1} &=& \frac{2n+1}{n}\cdot\frac{1}{2n+1}\sez{ f\sex{\frac{1}{2n+1}} +f\sex{\frac{2}{2n+1}}+\cdots\atop +f\sex{\frac{2n}{2n+1}} +f(1) }\\ & &-\frac{2n+1}{n}\cdot\sed{ \frac{2}{2n+1}\sez{ f\sex{\frac{2}{2n+1}} +f\sex{\frac{4}{2n+1}} +\cdots +f\sex{\frac{2n}{2n+1}}}\atop +\frac{1}{2n+1}f(1) }\\ & &\to 2\int_0^1 f(x)\rd x-2\int_0^1 f(x)\rd x=0,\ \mbox{as }n\to\infty. \eex$$ 故而 $$\bex \lim_{n\to\infty}a_n=0. \eex$$注记:& &另证如下: 由 $$\bex 0\leq \sev{a_{2n}}\leq \frac{1}{n}\sez{ \sev{f\sex{\frac{1}{2n}}-f\sex{\frac{2}{2n}}} +\cdots\atop +\sev{f\sex{\frac{2n-3}{2n}}-f\sex{\frac{2n-2}{2n}}} +\sev{f\sex{\frac{2n-1}{2n}}}}; \eex$$ $$\bex 0\leq \sev{a_{2n+1}}\leq \frac{1}{n}\sez{ \sev{f\sex{\frac{1}{2n+1}}-f\sex{\frac{2}{2n+1}}} +\cdots\atop +\sev{f\sex{\frac{2n-1}{2n+1}}-f\sex{\frac{2n}{2n+1}}}} \eex$$ 及 $f$ 的一致连续与有界性易知 $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n=0}$.&&4 ($16'$) 若正项级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n}$ 收敛. 求证:(1)$\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n^p}$ 收敛, $p&1$;(2)$\dps{\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[k]{a_n}}{n}}$ 收敛, $k\in \bbN,\ k\geq 2$.证明: &(1)$$\bex & &p&1\\ &\ra&\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^p}{a_n} =\lim_{n\to\infty}a_n^{p-1} =\sex{\lim_{n\to\infty}a_n}^{p-1} =0}\\ &\ra&\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n^p}\mbox{ 收敛}; \eex$$(2)$$\bex & &\dps{\frac{\sqrt{k}{a_n}}{n} \leq \frac{1}{k}\cdot a_n+\frac{k-1}{k}\cdot \frac{1}{n^\frac{k}{k-1}}}\ \sex{Young \mbox{不等式}}\\ &\ra&\dps{\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt[k]{a_n}}{n}}\mbox{ 收敛}. \eex$$注记:& &$Young$ 不等式为 $$\bex a\geq 0,\ b\geq 0,\ 1&p,q&\infty,\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\ra ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}. \eex$$ 证明如下: $$\bex ab&=&\exp\sez{\ln a+\ln b}\\ &=&\exp\sez{\frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{b}\ln b^q}\\ &\leq& \frac{1}{p}\exp\sez{\ln a^p} +\frac{1}{q}\exp\sez{\ln b^q}\ \sex{e^x\mbox{ 关于 }x\mbox{ 凸}}\\ &=&\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q. \eex$$&&5& ($20'$) 求证: 含参变量积分 $\dps{\int_0^\infty te^{-tx^2}\rd x}$ 在关于 $t\in [0,\infty)$ 的任何有界闭子区间上一致收敛.证明: &我们仅须证明对 $\forall\ [a,b]\subset [0,\infty)(a&b)$, 均有 $$\bex \forall\ 0&\ve&\frac{\sqrt{b\pi}}{2},\ \exists\ A=A(\ve,a,b)&0,\ s.t.\ t\in [a,b]\ra \int_A^\infty te^{-tx^2}\rd x\leq \ve. \eex$$ 为此, 分为下面两种情况分别讨论:(1)$a&0$, 此时 $$\bex \int_A^\infty te^{-tx^2}\rd x\leq b\int_A^\infty e^{-ax^2}\rd x&\ve, \eex$$ 当 $A=A(\ve,a,b)$ 充分大时;(2)$a=0$, 此时 $$\bex \int_A^\infty te^{-tx^2}\rd x &=&\int_{tA^2}^\infty te^{-y}\frac{\rd y}{2\sqrt{ty}}\\ &=&\frac{\sqrt{t}}{2}\int_{tA^2}^\infty y^{-\frac{1}{2}}e^{-y}\rd y\\ &\leq&\left\{ \ba{ll} \frac{\sqrt{t}}{2}\cdot \sqrt{\pi}\leq \ve,&\mbox{当 }0\leq t\leq \frac{4\ve^2}{4},\\ \frac{\sqrt{b}}{2}\int_{\frac{4\ve^2}{\pi}}^\infty y^{-\frac{1}{2}}e^{-y}\rd y\leq \ve,&\mbox{当 }A=A(\ve,b)\mbox{ 充分大时}. \ea \right. \eex$$ 综上所述, 我们证明了结论.共3页顶一下(0)0%踩一下(0)0%------分隔线------上一篇： 下一篇： 栏目列表推荐内容热点内容北京大学2011年数学分析试题解答_百度文库
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北京大学2011年数学分析试题解答
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