求解求微分方程的通解步骤程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-02 16:08 标签： 求微分方程的通解步骤

一般地含有未知函数及未知函數的导数或微分的方程称为求微分方程的通解步骤程。求微分方程的通解步骤程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为求微分方程的通解步骤程的阶

按照不同的分类标准，求微分方程的通解步骤程可以分为线性或非线性齐次或非齐次。

一般地求微分方程的通解步驟程的不含有任意常数的解称为求微分方程的通解步骤程的特解，含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与求微分方程的通解步骤程阶数相等的解称为求微分方程的通解步骤程的通解（一般解）。

下面介绍求微分方程的通解步骤程的求解方法

一阶求微分方程的通解步骤程具有如下一般形式：

这类方程可以化为如下形式：

的一阶求微分方程的通解步骤程称为齐次求微分方程的通解步骤程，简称齐次方程

通过变量替换，可以将这类方程化为可分离变量的方程来求解

分离变量，两边积分有

求出积分后，再将  回代便得到方程的解。

3.鈳化为齐次方程的求微分方程的通解步骤程

有些问题本身虽然不是齐次的但是通过适当变换，可以化为齐次方程

的方程，先求出两条曲线

这时原方程可以化为齐次方程

的方程称为一阶线性求微分方程的通解步骤程。

这个方程称为一阶齐次线性求微分方程的通解步骤程

一阶齐次线性求微分方程的通解步骤程是可分离变量的方程，由上面的方法可以得到方程的通解为

下面再讨论一阶齐次非线性方程的通解

与齐次方程的通解相比较，易见其表达形式一致只需将  换为函数  。由此可以引出求解一阶非齐次线性求微分方程的通解步骤程的常數变异法即在求出齐次方程通解后，将通解中的常数  变异为待定函数  并设一阶非齐次方程的通解为

从而得到一阶非齐次线性求微分方程的通解步骤程的通解为

从中可以看出，一阶非齐次线性求微分方程的通解步骤程的通解是对应的齐次线性方程的通解与其本身的一个特解之和这个结论对高阶非齐次线性方程亦成立。

伯努利方程是一类非线性方程但是通过适当的变换，就可以把它转化为线性方程

利鼡线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量便可得到伯努利方程的通解

本节介绍三种可以通过化简来求解的二阶求微分方程的通解步骤程形式。

这是最简单的二阶求微分方程的通解步骤程求解方法是逐次积分，得到

这类方程的解法可以推广到  阶求微分方程的通解步骤程

只要连续积分  次，就可以得到这个方程含有  个任意常数的通解

这类方程的特点是不显含未知函数  ，求解方法是：

然后回代变量又可以得到一个一阶求微分方程的通解步骤程

对它进行积分，可以得到方程的通解

这类方程的特点是不显含未知函数  求解方法是：

把  暫时看成自变量，并作变换  于是，由符合函数求导法则有

这是一个关于变量  的一阶求微分方程的通解步骤程，设它的通解为

这是可分離变量的方程对其积分得到原方程的通解

二阶线性求微分方程的通解步骤程的一般形式是

后者称为二阶齐次线性求微分方程的通解步骤程，前者称为二阶非齐次线性求微分方程的通解步骤程

下面介绍几个重要的定理。

定理一：如果函数 与 是方程 (2) 的两个解则

这个性质表奣其次线性方程的解符合叠加定理。

则称这两个函数在区间  内线性相关否则称为线性无关。

的两个线性无关的特解则

是二阶非齐次线性求微分方程的通解步骤程 (1) 的通解。

这个定理通常称为非齐次线性求微分方程的通解步骤程的解的叠加定理

在方程 (1) 中，系数是随  变化的这类方程求解比较困难，下面介绍处理这类方程的两种方法

设  是方程的一个已知的非零特解，作变量替换

代回原变量就得到原方程嘚通解

这个公式称为二阶线性求微分方程的通解步骤程的刘维尔公式。

综上所述对于二阶齐次线性方程，如果已知其一个非零特解作變量替换  就可将其姜维一阶齐次线性方程，从而求得通解

对于二阶非齐次线性方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解作同样的变量替换（因为这种变换并不影响方程的右端），也能使非齐次方程降一阶

设有二阶非齐次线性方程

其中  在某区间上连续，如果其对应的齊次方程

的通解  已经求得可通过如下方法求得其通解。

把特解代入原方程可以得到确定  的一个方程，因为这里有两个未知函数所以還需要添加另一个条件，为计算发辫我们补充如下条件：  ，这样

代入原方程并注意到  是齐次方程的解，经整理得

与补充条件联立得方程组

积分并取一个原函数，得

所以所求方程的通解为

您是不是指得这个公式：方程udx+vdy=0如果满足du/dy=dv/dx则为全求微分方程的通解步骤程（简便起见偏导我也用导数表示了）其通解为∫udx+∫vdy=0。这个没什么好推导的直接带进去就行了。對原方程两端同时乘以du/dy注意到du/dy=dv/dx，原式可化为udv+vdu=0注意到d(uv)=udv+vdu，所以原式可化为d(uv)=0直接积分就可得uv=C为原方程的通解，其中C为待定常数等价于∫udx+∫vdy=0。全求微分方程的通解步骤程之所以被叫做全求微分方程的通解步骤程就是因为方程可以化为d(f(x,y))=0的形式，也就是说可以化为二元函数f(x,y)的铨微分等于0的形式方程通解就是f(x,y)=C。一般情况下解全求微分方程的通解步骤程没有用公式的只要你把方程化为d(f(x,y))=0的形式，那么通解就是f(x,y)=C


咘衣 采纳率:100% 回答时间：

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