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常微分方程的通解与全部解的关系
【摘要】：本文针对常微分方程只重视研究通解,而忽视全部解的现象,讨论了通解与全部解的关系:微分方程的全部解应由通解与特解、常数解构成;当特解与常数解都能包含于通解时,通解才是全部解;而对全微分方程、线性方程(组),它们的通解就是全部解.由此可以改进常微分方程的教学体系.
【作者单位】：
【分类号】：O175.1
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第二章 一阶微分方程的初等解法 第二章 一阶微分方程的初等解法,§2.1 变量分离方程与变量变换,先看例子：,一、变量分离方程的求解,,这样变量就“分离”开了.,,,,,,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,,例：,分离变量:,两边积分:,注:,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,例4,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,,所以所求的特解为:,,,,,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,,(I) 形如,方程称为齐次方程,,求解方法:,解:,方程变形为,这是齐次方程,,即,将变量分离后得,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,解:,不妨设x>0,方程变形为,这是齐次方程,,将变量分离后得,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,(II) 形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.,解的步骤:,解:,解方程组,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,三、应用举例,例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。,解:,根据球体的体积和表面积的关系得,分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积随时间的变化关系为,作业,P421(2)(4)(7)(8)1(5)(9)2(2)(3)(4)(6),
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