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如果a+b&0，&0，那么下列结论成立的是
A.a&0，b&0B.a&0，b&0C.a&0，b&0D.不确定
题型：单选题难度：偏易来源：同步题
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据魔方格专家权威分析，试题“如果a+b&0，&0，那么下列结论成立的是[]A.a&0，b&g..”主要考查你对&&不等式的比较大小&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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不等式的比较大小
主要是运用不等式的基本性质及均值不等式进行比较大小。方法：①求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”。其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的。
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少：变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式。或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等。总之，能够判断出差的符号是正或负即可。
②作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明。
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与“如果a+b&0，&0，那么下列结论成立的是[]A.a&0，b&g..”考查相似的试题有：
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2013届高三数学（理）一轮复习方案课件 第39讲　均值不等式
&&&&来源：河北博才网&&阅读：227次
* 第39讲 │ 均值不等式 第39讲　均值不等式 编读互动 第39讲 │ 编读互动 均值不等式是不等式的重要内容，也是历年高考的重点，且每年试题的形式新颖，常考常新．以选择题或填空题的形式考查基本不等式在求最值中的应用，是高考对本讲内容的常规考法．近几年高考中多次出现应用基本不等式求最值的应用题，仍是今后高考对本讲内容的一个考查方向．如2009年湖北省、江苏省高考，符合新课标对学生应用所学知识分析解决实际问题能力的要求．估计在2012年高考中将主要考查判断大小、求最值、求取值范围等内容． 知识梳理 第39讲 │ 知识梳理 第39讲 │ 知识梳理 要点探究 ?　探究点1　利用均值不等式求最值 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 ?　探究点2　利用均值不等式证明不等式 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 ?　探究点3　多元变量问题 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 第39讲 │ 要点探究 名师纠错 第39讲 │ 名师纠错 第39讲 │ 名师纠错 规律总结 第39讲 │ 规律总结 第39讲 │ 规律总结 1．算术平均数、几何平均数的定义(1)如果a，bR＋，那么叫做这两个正数的算术平均数．(2)如果a，bR＋，那么 叫做这两个正数的几何平均数．2．均值定理已知x，y都是正数，则有：(1)若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.3．常用重要不等式(1)a，bR＋≤≤≤(当且仅当a＝b时取“＝”号)．(可以用于求最大值)(2)a，bR?a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)；a，bR＋≥(当且仅当a＝b时取“＝”号)．(这两个可以用于求最小值)(3)－≤≤＋.(你知道等号成立的条件吗？)(4)＝＋≥2.例1　(1)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．(2)已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值为________．(3)设a，b为实数且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)A．6
D．2(4)若0＜x＜1，则f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为(　　)A.
D.　(1)16　(2)1　(3)B　(4)D[解析] (1)∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式等号成立．故当x＝4，y＝12时，x＋y取到最小值16.(2)∵x＜，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立．故当x＝1时，ymax＝1.(3)2a＋2b≥2＝2＝4.当且仅当2a＝2b，即a＝b＝时，等号成立．(4)0＜x＜1，4－3x＞0，x(4－3x)＝?3x(4－3x)≤?2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时取得等号．例2 [2011?黄冈模拟] 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求仓库面积S的最大允许值．为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？　[解答] 设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy.依题设，40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得xy＝120＋20xy＝120＋20S，　S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，故≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．例3 (1)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋≥4.(2)证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.　[证明] (1)a＞0，b＞0，a＋b＝1，＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝时等号成立)，＋≥4.(2)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2?2abcd＝4abcd.等号成立的条件是a2＝b2且c2＝d2且ab＝cd.[点评] (1)利用a＋b＝1将要证不等式中的1代换，即可得证；(2)利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条件．
已知a、b、cR＋且a＋b＋c＝1，求证：≥8.　[证明] ∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，＝＝≥＝8，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．例4　若正数a、b满足ab＝a＋b＋3.(1)求ab的取值范围；(2)求a＋b的取值范围．[解答] 方法一(和积变换)：(1)令＝t (t＞0)，由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得t2≥2t＋3，解得t≥3，即≥3，故ab≥9，即ab的取值范围是[9，＋∞)．(2)令a＋b＝t，由ab＝a＋b＋3≤2，得t2－4t－12≥0，解得t≥6，故a＋b≥6.即a＋b的取值范围是[6，＋∞)．方法二(消元法)：(1)由已知，得ab－b＝a＋3，b(a－1)＝a＋3，b＝(a＞1)．＝(a－1)＋＋5≥2?5＝9，当且仅当a－1＝时取等号，即a＝b＝3时，ab取最小值为9.所以ab的取值范围是[9，＋∞)．(2)由已知得ab－b＝a＋3，b(a－1)＝a＋3，b＝(a＞1)．a＋b＝a＋＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6.当且仅当a－1＝时取等号，即a＝b＝3时取最小值6，所以a＋b的取值范围是[6，＋∞)．∴ab＝a?＝[(a－1)＋1]?＝a＋3＋＝a－1＋4＋例
已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有(　　)A．最大值为0
B．最小值为0C．最大值为－4
D．最小值为－4[错解] A　x＋－2＝－2≥2－2＝0，故选择最大值为0.[错因] 利用均值不等式求最值时，要注意均值不等式的应用前提必须是“一正、二定、三相等”才可以，即在x＋y≥2中，x和y要大于零，要有定和或定积出现，同时要求“等号”成立． [正解] C　x＜0，－x＞0，x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，等号成立的条件是－x＝－，即x＝－1，所以f(x)有最大值－4.1．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正；(2)和或积为定值；(3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．2．合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．3．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．值得一提的是证明不等式时要注意灵活变形，多次利用均值不等式，并注意每次等号是否都成立，同时还要注意均值不等式的变形形式的应用．4．对于多元变量的处理要体现出化归与消元两个基本思路．化归思想在本讲中占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件．2013届高三数学（理）一轮复习方案课件 第39讲　均值不等式--博才网
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重要的不等式可以得到一些常用的不等式， 主要有： a2＋b2 a＋b 2 ＋ 如果 a，b∈R ， 则 ≥ ≥ ab≥ (当且仅当 a＝b 2 2 1 1 ＋ a b a2＋b2 2 时取等号)．其中 称为 a，b 的平方平均数， 称为 a，b 2 1 1 ＋ a b 的调和平均数． 1 ＋ 若 x∈R ，则 x＋ ≥2； x 1 1 1 若 x∈R，x≠0，则 x＋ ≥2 或 x＋ ≤－2，即|x＋ |≥2.2(a2＋ x x x b2)≥(a＋b)2(当且仅当 a＝b 时取等号)； a2＋b2 a2＋b2 － ≤ab≤ ；a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当 a＝b 2 2 ＝c 时取等号)．
①为了使用算术平均数与几何平均数的定理，一般要把 b 所求最值的函数或代数式化为 ax＋ 的形式，常用的方法是变量分 x 离与配凑法． ②有时候为了利用算术平均数与几何平均数的定理求最值，可 以采用一些变化技巧，例如符号的变化等，需要注意的是变化之后 不等式的方向可能会改变．而对于“等号”不能取到的情况往往利 b 用函数 y＝ax＋ (a＞0， b＞0)在区间(0， ＋∞)上的单调性求最值． 根 x b b 据函数单调性的判断方法易知，y＝ax＋ (a＞0，b＞0)在[ ，＋ x a b ∞)上单调递增，在(0， ]上单调递减．利用这一性质可以求满足 a “一正二定”但是不满足“三相等”的函数的最值．这一思维过程 可以简记为“等号取不到，单调来协调”.
典 例 对 对 碰 题型一 均值不等式 例 1 设 a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是( 1 1 A．(a＋b)( ＋ )≥4 a b B．a3＋b3≥2ab2 C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D. |a－b|≥ a－ b
1 1 1 ∵(a＋b)( ＋ )≥2 ab· 2 ＝4. a b ab ∴A 成立； ∵a2＋b2＋2－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0， ∴C 成立； 对于 D，如果 a＜b，显然成立， 如果 a＞b，则 |a－b|≥ a－ b a－b≥a－2 ab＋b 2 b( b－ a)≤0， 而 2 b( b－ a)≤0 成立，故 D 也成立．所以选 B. 1 1 也可取特殊值，如 a＝ ，b＝ ， 100 10 易验证 B 不成立． 答案 B 解析
变式迁移 1 若 a、b∈R，则下列不等式 ①a2＋3＞2a； ②a2＋b2≥2(a－b－1)； ③a5＋b5＞a3b2＋a2b3； 1 ④a＋ ≥2 中一定成立的是( a A．①②③ B．①②④ C．①② D．②④
答案 C 解析 ①a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0 ②a2＋b2－2a＋2b＋2 ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0 ③a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2) ＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2) 若 a＝b 则上式＝0，不成立 1 ④若 a＜0，则 a＋ ＜0， a ∴①②一定成立，∴选 C.
题型二 利用均值不等式证明不等式 ad＋bc bc＋ad 例 2 已知 a＞0，b＞0，c＞0，d＞0.求证： ＋ ≥4. bd ac 分析 此不等式右边为常数 4，故联想到使用算术平均数与几 何平均数定理，又因为左边为分式，故进一步将不等式左边变形， b a 使用 ＋ ≥2(a、b 同号)即可． a b
ad＋bc bc＋ad ＋ bd ac a c b d ＝ ＋ ＋ ＋ b
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苏教版高中数学（必修5）3.4《基本不等式≥(a＞0，b＞0)》（均值不等式的应用(求最值)）ppt课件【精.
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