图像选择题的考查新视角
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摘& 要：文章就高考选择题中，考查图像斜率的几个新动向、新视角，进行了简略探讨。
关键词：变化率；导数；斜率
导数进入中学后，为物理学习增添了重要的思想工具。同时，也给高考物理图像考查拓出了更大空间。本文拟就高考选择题中，考查图像斜率的几个新视角，以几道改编题为例，共同探讨。
1．“另类加速度”
从平均变化率→瞬时变化率→导数的学习，同学们明确了导数的几何意义──曲线上某点的切线斜率。根据函数图线的切线倾斜程度的变化，可对物理量的变化率作出直观判断。
例1．有一种“另类匀变速直线运动”，其速度v―位移s图像如图1所示，则下列表示其速度v―时间t的图像中，可能正确的是（& &&）
方法一：增量比较法
图1速度v―位移s图像为直线，斜率ks不变，知“另类匀变速直线运动”的特征：物体做单向直线运动，经任意相同的位移Δs，速度的变化Δv相等。如图2所示，转换到速度v―时间t坐标系中，通过连续相等的两小段位移Δs，速度的变化Δv相同，但前后两段时间不等，根据速度v―时间t图像所围“面积”表示位移，应有Δt1&Δt2，则比值&，故这两小段时间内的速度图线为上翘“折线”。 当所选的连续相等的小段位移Δs充分小时，则作出的速度图线将连续变化并向上翘，故选项C正确。
方法二：微商法
设“另类匀变速直线运动”的“另类加速度”为A=，它等于速度v―位移s图像的切线斜率ks。由图1知，A恒定且大于零。而加速度a==?=v?A，故v增大时a增大。
转换到速度v―时间t图像中，图线切线的斜率kt也等于加速度a=。需注意这两加速度概念和图线斜率意义不同，数值也不等（kt≠ks）。由上可知关系为：kt=v?ks。由于ks恒定且大于零，故v增大时，kt增大，速度v―时间t图线向上翘。
方法三：积分法
由图1，“另类匀变速直线运动”速度v―位移s图像的斜率为ks=，则dv=ksds=ks?dt=ksvdt，分离变量，两边同时对时间t积分，有，得。显然，速度v―时间t为向上翘曲线。
2．加速度的变化率（“加加速度”）
位移图线的切线斜率――位移的时间变化率表示速度，速度图线的切线斜率速度的时间变化率表示加速度。那么，加速度图线的切线斜率──加速度的时间变化率表示什么？工程物理称之为“加加速度”（或急动度），反映加速度的变化快慢，本质上取决于物体受力变化的快慢。人们使用交通工具时，感觉的舒适度不仅跟加速度有关，还跟加速度的变化快慢──加加速度有关。加速度变化太快，力的冲击性变化快，可使人体感到不适应，对运动工件的材料也有影响。这是工程动力学应用必须考虑的问题，在中学是个全新的视角。请注意，2012年江苏卷中就考查了加速度a―时间t图像斜率，2011年的全国课标卷中也出现过加速度a―时间t图像问题，也为进一步考查加速度的变化率埋下了伏笔。
例2．在地面上空以初速度v0竖直上抛一小球，以抛出点为计时起点，竖直向上为矢量坐标正向，已知小球受到的空气阻力与速率成正比，则在下列表示被抛小球的速度v、加速度a随时间t变化的关系图像中，可能正确的是（&&& ）
解析：小球所受空气阻力与速率成正比，设为f=k，上升阶段空气阻力f1=k方向向下，下降阶段空气阻力f2=k方向向上。题设竖直向上为矢量坐标正向，则对小球，上升阶段速度v1为正值，加速度为负值，a1=-=-，v1↓→↓；下降阶段速度v2为负值，加速度仍为负值a2=-=-，↑→↓。故全程中小球的加速度一直减小，速度图像的切线斜率绝对值一直减小，选项A对，B错。
对C、D选项，要判断加速度图线切线的斜率变化趋势，需要再对加速度函数求导。在矢量坐标系中，加速度总可写为a=-（g+v），对时间t求导得?a，a&0，则&0。全程中小球的加速度不断减小，故加速度的变化率越来越小，即a―t图线的切线斜率逐渐减小，选项C对，D错。小球的加加速度越来越小，表明所受的合力变小，最终加速度为零，小球受力平衡匀速下降。
3．电势梯度
在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场线方向每单位距离降落的电势差（也叫电势梯度），即，Δx为始末两点在电场线上的投影距离。如果取x轴正向沿E方向，Δx&0，电势降低，，去掉绝对值符号应写为，故匀强电场的场强等于沿电场线方向该点电势梯度的负值。若Δx→值，可推广到非匀强电场。电势分布图线的切线斜率表示电势对空间坐标x的变化率，故电场中任一点的场强也等于沿电场线方向图线的切线斜率的负值，即=-kφ-x。这类问题在2008年海南卷、2009年上海和江苏卷、2011年北京和上海卷中都出现过。
例3．如图3甲所示，一条电场线与Ox轴重合，取O点电势为零，Ox方向上各点的电势φ随x变化的情况如图3中乙所示。若在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力作用开始运动，则以下说法正确的是（&&& ）
A．电子将沿x轴负方向运动&&&&& &&&&&&B．电子的电势能将变大
C．电子运动的加速度先增大后减小&&&& D．电子运动的加速度一直增大
解析：由图3乙知，顺着x轴正方向电势逐渐升高，故电场线跟x轴反向，由静止释放的电子所受电场力沿x轴正方向，电子将沿x轴正方向加速运动，选项A错。电场力做正功，电子的电势能一直减小，选项B错。电势分布图线的切线斜率反映沿x方向各点的场强E大小，故场强E和电子所受电场力eE先增大后减小，电子运动的加速度先增大后减小。选项C对，D错。
4．能量的空间变化率
功能关系告诉我们，特定形式能的变化一定是特定性质力做功的结果。利用特定形式能随位置变化的图线──能量的空间变化率，可以判断特定性质力的变化情况。
例4．如图4所示，一半径为R的均匀带正电圆环水平固定，环心为O点，质量为m的带正电的小球从O点正上方h0高处的A点静止释放，穿过带电环，并通过关于O对称的A′点。取O点为坐标原点且重力势能为零，向下为正方向，无限远电势为零。关于此过程中小球的加速度a、重力势能EpG、机械能E、电势能Ep电随位置变化的图像，下列可能正确的有（&&& ）
解析：对选项A，小球释放能下落，表明在初始位置电场力小于重力。圆环中心的场强为零，运用极限法思考：若h0足够大，A点场强近似为零，那么由A到O，场强先由零增大后减小到零，电场力F先由零增大后减小到零。但释放初位置在场强极值点的上方还是下方不知，故小球的合力与加速度可能先减小后增大；小球穿过圆环后，根据对称性可知，O到A/，电场力先增大后减小，但方向向下，小球的合力大于重力且先增大后减小，加速度大于g且先增大后减小。故A是可能的，A正确。
对选项B，取O点为坐标原点且重力势能为零，小球从A到O的过程中，重力势能EpG=-mgh，小球穿过圆环后，EpG=mgh，根据数学知识可知，B是正确的。
对选项C，小球的机械能变化取决于电场力做功。小球从A到O的过程中，电场力一直做负功，机械能减小，小球穿过圆环后，电场力做正功，机械能增大；如果释放点A在场强极大值上方，则由A到O电场力先增大后减小到零，由O到A/电场力先增大后减小。根据E―h图线的斜率=-F，选项C的图线切线的方向变化正好可能反映这种情形，故C正确。可见，图形C内涵隐秘，需用=-F审视，方识图中奥妙。
对选项D，由于圆环所产生的是非匀强电场，小球下落的过程中，电场力做功与下落的高度之间是非线性关系，电势能变化与下落高度之间也是非线性关系。或者，EP-h图像的斜率=qE，电场力是变化的，则电势能变化与下落高度之间是非线性关系。所以D是不可能的，D错误。
5．磁通量的变化率
“变化率”是电磁感应中的一个关键词。2013年全国课标卷压轴题，通过牛顿定律，连起了物理学中一串重要变化率概念──速度变化率与加速度、电容器极板上的电量变化率与电流、回路磁通量变化率与感应电动势，这对中学教学是一个强有力的引导。
例5．如图5甲所示，“П”形导线框通有顺时针方向的电流，该框内中央用绝缘轻质细线悬挂质量为m的环形导线框，两框在同一竖直平面内。“П” 形导线框中电流0～t1时间内稳定，t1时刻起电流按图5乙所示规律增大，匀质圆环形导线框保持静止。设悬线的拉力大小为T，不考虑圆环中的自感，则下列说法正确的有（&&&& ）
A．0～t1时间内悬线的拉力大小T=mg
B．0～t1时间内悬线的拉力大小T＞mg，且T恒定
C．t1～t2时间内悬线的拉力大小T＞mg，且T一直增大
D．t1～t2时间内悬线的拉力大小T＞mg，且T一直减小
解析：0～t1时间内导线框电流恒定，环框中没有感应电流，圆环只受重力和拉力，二力平衡，选项A正确。t1～t2时间内，“П”，形导线框中电流增大，根据楞次定律“阻碍变化”，环形线框中的感应电流同时又受到外磁场的安培力，产生的效果是“企图保持穿过的磁通量不变，故有远离趋势”，故可肯定t1～t2时间内悬线拉力一直是T＞mg。但这个拉力T除在t1时刻是突然变大的，以后T的大小取决于安培力F的变化，根据，这里，由图线斜率知↓→i’↓。但B∝i↑，乘积i’Bl增减不确定，则T的变化单调性不确定。例如，以t1为零时刻，若i=Imsinωt，B∝i，B=Bmsinωt，而，可设为i/=Icosωt，=IBmlsinωt?cosωt=IBmlsin2ωt，在0～内，tc=时，F最大。本题很容易错选D，导致前功尽弃。
结语：导数深深植根于物理土壤，是物理学习和研究十分重要的基础工具和思想方法，也是培养学生数理结合能力，发展严谨科学思维的有效载体。图像选择题是每年高考的“必上菜”。导数进入中学后，对图像斜率的考查频率提高，内容翻新，值得研究。
参考文献：
①佘守宪.加加速度(加速度的时间变化率)速度冲击、乘坐舒适性、缓和曲线［J］.物理与工程,2001（1）：7～11，22；
②董水金，佘守宪.关于加加速度的若干机械运动分析及Matlab模拟［J］.大学物理,2005（2）：57～58。
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你可能喜欢已知：如图，等腰△ABC中，底边BC=12，高AD=6．
（1）在△ABC内作矩形EFGH，使F、G在BC上，E、H分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．求矩形EFGH的面积．
（2）在（1）的基础上，再作第二个矩形，使其两个顶点在EH上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第二个矩形的面积为；
（3）在（2）的基础上，再作第三个矩形，使其两个顶点在第二个矩形的边上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第三个矩形的面积为；
（4）按照这样的方式做下去，根据上述计算猜想第四个矩形的面积为；第n个矩形的面积为．
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