已知f1 f2为双曲线(x)=2^|x-a|，f2(x)=3·2^|x-2a|，(x∈R，a>0）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-01-02 12:53 标签： 已知f1 f2为椭圆c
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已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=12时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数f1(x)=(a-12)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=12x2+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）当 a=12时，f(x)=12x2+lnx，f′(x)=x+1x=x2+1x；对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，∴fmax(x)=f(e)=1+e22，fmin(x)=f(&1&)=12．（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令 p(x)=f(x)-f2(x)=(a-12)x2-2ax+lnx＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）-f（x）=-12x2+2ax-a2lnx＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∵p′(x)=(2a-1)x-2a+1x=(2a-1)x2-2ax+1x=(x-1)[(2a-1)x-1]x1）若 a＞12，令p′（x）=0，得极值点x1=1，x2=12a-1，当x2＞x1=1，即 12＜a＜1时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；2）若 a≤12，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足 p(1)=-a-12≤0=>a≥-12，所以 -12≤a≤12．又因为h′（x）=-x+2a-a2x=-x2+2ax-a2x=-(x-a)2x＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，h（x）＜h（1）=-12+2a≤0，所以a≤14综合可知a的范围是[-12，14]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=12时，求f（x）在区间[1，e]上的..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
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874094334474791551619274875615803753更多相关资料
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已知函数f(x)=ax^2+lnx,f1(x)=1/2x^2+2ax,a∈R.
(1)求证：函数f(x)点(1.f(1))处切线恒定点并求定点坐标(2)若关于x程f1(x)仅根区间(-1,1)内求a取值范围(3)若f(x)&f1(x)区间(1,+∞)恒立求a取值范围
提问者采纳
解答：证明:1.x=1f(1)=af'（x）=2ax+1/x所f'（1）=2a+1
所函数f(x)点(1.f(1))处切线程y=(2a+1 )(x-1)+a=(2x-1)a+x-1定点（1/2,-1/2)(2)解：f1(x)=1/2x^2+2ax=0区间(-1,1)内仅根所f1(-1)*f1(1)&=0或△=0解：a&=1/4或a&=-1/4或a=0(3)解答：妨设：h(x)=f1(x)-f(x)=(1/2-a)x^2+2ax-Inx则：须证明0&h(x)区间(1,+∞)恒立h'（x)=(1+1/x-2a)(x-1)
h'（1)=0
h(1)=1/2+a由于0&h(x)区间(1,+∞)恒立所h(1)&=0
且1+1/x-2a&=0其（x&1)所-1/2&=a&=1
提问者评价
谢谢不过，（2）中Δ=0时，无解a=0似乎是错误答案。。。
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