无穷级数课件-幂级数的题！求懂幂级数的大神帮帮忙！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-02-07 06:03 标签： 高等数学无穷级数
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幂级数收敛半径的问题
已知幂级数f(x)的收敛半径为R，a为（-R,R）中一点，g(x)是f(x)在a点的幂级数展开，那么幂级数g(x)的收敛半径是多少，g(x)和f(x)有什么样的关系？
f(x) = \sum\limits_{i = 0}^\infty{{c_n}{x^i}}
g(x) = \sum\limits_{i = 0}^\infty{\frac{{{f^{(i)}}(a)}}{{i!}}{{(x - a)}^i}}
大家有什么想法吗？ 我给一个思路，不一定对。请熟悉复变函数解析展开的朋友指正。
应该在复平面上讨论此问题。如果f(z)在0附近解析，收敛半径为R，那么在|z|=R 圆周上应有至少一个奇点。我们限于讨论|z|=R 圆周上只有一个奇点的情形，奇点记为s。假定a是圆盘|z|&R内的任何一点，那么如果 r=|s-a| & R，那么g(z) ，f(z) 在a附近的Taylor展开，的收敛半径就应该是 |s-a|。 如果 r=|s-a| & R, 那么就应该看在|z-a|& r内 是否有其他奇点存在，如果有，比如s2，则收敛半径为&&r=|s2-a| 。所以，g(z)收敛半径要看是f(z) 否有其他奇点。 3L解答比较完整，但在实单变量power series中会更简单。
复变函数中收敛半径可以理解为展开点到最近的奇异点的距离，在实变量中是相同的。
有一个定理是说：题中的g(x)在|x-a|&R-|a|中必然收敛，但要是指出确定的收敛半径，同3L而言，要看实际的函数，因为收敛域可能要比|x-a|&R-|a|确定的区间更大。
如果用3L的角度来说，|z-a|&R-|a|这个区域没超出圆|z|&R，没超出这个圆我们百分百确定没有奇异点。但超出了是否可以呢？这就要看最近的奇异点在哪里（肯定不在圆里）。
在收敛的区域内，f(x)=g(x)。或者保守地说，在|x-a|&R-|a|内，f(x)=g(x)。 : Originally posted by pippi6 at
我给一个思路，不一定对。请熟悉复变函数解析展开的朋友指正。
应该在复平面上讨论此问题。如果f(z)在0附近解析，收敛半径为R，那么在|z|=R 圆周上应有至少一个奇点。我们限于讨论|z|=R 圆周上只有一个奇点的情形， ... 为什么是把r=|s-a|和R比较，而不是把r和R-|a|比较呢？ 半敛半径是一致的。【1X届考研生】求问一道幂级数问题，谢谢各位大神_考研吧_百度贴吧
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如图，答案是不是有点问题呢，求解答，多谢多谢
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解的过程如下：∑[x^n]/[n*3^(n-1)],(n=1→∞)=3∑[(x/3)^n/n],(n=1→∞)当|x|＞3时,级数发散；当x=3时,级数发散；当x=-3时,3∑[(x/3)^n/n]=-3ln2；当|x|＜3时,令f(x)=3∑[(x/3)^n/n],(n=1→∞)则f'(x)=∑(x/3)^(n-1),(n=1→∞)f(x)=∫f'(x)dx,{0→x}而f'(x)=∑(x/3)^(n-1),(n=1→∞)=[1-(x/3)^n]/[1-(x/3)],(n=1→∞)=3/(3-x)所以f(x)=3∫dx/(3-x),{0→x}=-3∫d(3-x)/(3-x),{0→x}=-3ln(3-x),{0→x}=-3[ln(3-x)-ln(3-0)]=3ln3-3ln(3-x)考虑到x=-3时,3∑[(x/3)^n/n]=-3ln2满足上式,所以∑[x^n]/[n*3^(n-1)],(n=1→∞)=3ln3-3ln(3-x),x∈[-3,3)

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