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离散数学试题及答案
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2014离散数学习题集
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2014离散数学习题集.DOC
官方公共微信离散数学证明题：如果集合A上的关系R是对称的,那么R^2也是对称的.求证明!_百度作业帮
离散数学证明题：如果集合A上的关系R是对称的,那么R^2也是对称的.求证明!
如果xR^2y,那么存在z 满足xRz且zRy,所以zRy且xRz,R对称,所以yRz且zRx,所以yR^2x离散数学第九章图的道路与连通习题答案_中华文本库
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文本预览：
设G是一个(n,m)简单图，证明：m ?Cn2,等号
成立当且仅当G是完全图。 证明：
已知G是简单图，每对结点间最多一条边，故m ?Cn2 。 其次，当G是完全图时，每对结点间都有一条边， 即m =Cn2 , 反之亦然。
证明：在不少于2人的一群人中，至少有2个人这群人中有相 同数目的朋友。 证明： 可转化为图论问题，以人为结点，如果2人是朋友关系，就 对应的2个结点之间连一条边。 问题转化为求简单图G中有至少2个结点度相同。 如果不是如此，n个结点的度只能在0,1,2,…,n-1中取值，但0 度和n-1度不能共存，因此，要么是0,1,2,…,n-2，要么是 1,2,…,n-1。据抽屉原理，必有至少2个结点的度相同。
证明： 在(n,m)图中，? ?2m/n ? ? 证明： 对任何v ? V， ? ?d(v)? ?, ∑? ? ∑d(v) ?∑?, 即 n? ?2m ? n? ， 即 ? ?2m/n ? ?
设G是(n,m)简单二部图，证明： m ? n2/4 证明： 这个二部图两部结点数分别设为k和n-k, 其边数m ? (n-k)k ? n2/4
若G≌G，称G是自补图。确定一个图为自补图的最 低条件；画出一个自补图来。 解： 若G≌G，n阶图G的边数应为Kn边数的一半，即 m=n(n-1)/4,一个图为自补图的最低条件可设为结 点数须为4k或4k+1。 例如：当k=1时：
判别图中两图是否同构，并说明理由。 解： 两图不同构。因为如果同构，两图中唯一的3度结点 应对应，但左图3度点的邻接结点度数分布是2，1， 1，而右图的为2，2，1，不对应。
若U和V是图G中仅有的两个奇数度结点，证明 U和 V必是连通的 。 证明： 如果U和V不连通，则应各属一支，但此时它们所在 支只有唯一的奇数度结点，与图论基本定理推论 矛盾。
证明：G是二部图当且仅当G的回路都是偶长回路。 证明： （?）当G是二部图时，设其二部划分为，则任何起 于X部结点的回路应是C=x1y1x2y2 … xkykx1的形式，其长 度为2k，即是偶长回路。 （?）当G的回路都是偶长回路时，设G连通，任取定一个 结点u，构造集合 X={x ?V且x到u的最短道路长度为偶数} Y={V-X} 首先， u ?X，所以X ?? ，其次，X中无邻接结点，否则设 x1x2 ?E，则可得出G中存在奇长回路，矛盾。同理可证Y 中无邻接结点。即是G的二部划分。
设G=（V，E）是点度都为偶数的连通图，证明：对 任何v ?V，ω (G-v) ?
d(v) 证明： 设G-v有k支，G1G2 … Gk ，则每支和v至少有2边相 连，所以ω (G-v) ?
求出图的邻接矩阵、可达矩阵、强分图和关联矩阵。
a b c 解： d 邻接矩阵A= e f g a b c d e f g a 1 1 1 1 0 0 0 b 1 1 1 1 0 0 0 c 1 1 1 1 0 0 0 a 0 0 1 0 0 0 0 d 1 1 1 1 0 0 0 b 1 0 1 0 0
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离散数学习题解答与学习指导-(第2版)
21世纪本学本科计算机专业系列教材
978-7-302-16820-1
清华大学出版社
出版日期：
读者对象：
立刻节省：&7.00
所属分类：
微积分-(第六版)-(双..
全国周培源大学生力学..
概率论与数理统计-第2..
电磁学通论
线性代数学习指导
&&& 本书是根据清华大学出版社与中国计算机学会共同规划的&21世纪大学本科计算机专业系列教
材&《离散数学(第2版)》(主教材)以及电子教案编写的配套教学指导用书．全书分为&章，每章包含内
容提要、习题、习题解答与分析三部分．内容提要总结了本章的主要定义、定理、公式、重要的结果等；习
题部分包含了与上述内容配套的数十道题；习题解答与分析部分不但对上述习题给出了详细的解答，而
且对一些典型的解题方法做了比较深人的分析和总结．总计超过5 00道，涵盖了数理逻辑、集合论、图
论、组合数字、数论、离散概率、代数结构等不同模块的基本内容和典型的解题方法．
&&& 21世纪是知识经济的时代，是人才竞争的时代．随着21世纪的到来，人类已步人信
息社会，信息产业正成为全球经济的主导产业．计算机科学与技术在信息产业中占据了最
重要的地位，这就对培养21世纪高素质创新型计算机专业人才提出了迫切的要求．
&&& 为了培养高素质创新型人才，必须建立高水平的教学计划和课程体系．在20多年跟
踪分析ACM和IEEE计算机课程体系的基础上，紧跟计算机科学与技术的发展潮流，及
时制定并修正教学计划和课程体系是尤其重要的．计算机科学与技术的发展对高水平人
才的要求，需要我们从总体上优化课程结构，精炼教学内容，拓宽专业基础，加强教学实
践，特别注重综合素质的培养，形成&基础课程精深，专业课程宽新&的格局．
&&& 为了适应计算机科学与技术学科发展和计算机教学计划的需要，要采取多种措施鼓
励长期从事计算机教学和科技前沿研究的专家教授积极参与计算机专业教材的编著和更
新，在教材中及时反映学科前沿的研究成果与发展趋势，以高水平的科研促进教材建设．
同时适当引进国外先进的原版教材．
&&& 为了提高教学质量，需要不断改革教学方法与手段，倡导因材施教，强调知识的总结、
梳理、推演和挖掘，通过加快教案的不断更新，使学生掌握教材中未及时反映的学科发展
新动向，进一步拓广视野．教学与科研相结合是培养学生实践能力的有效途径．高水平的
科研可以为教学提供最先进的高新技术平台和创造性的工作环境，使学生得以接触最先
进的计算机理论、技术和环境．高水平的科研还可以为高水平人才的素质教育提供良好的
物质基础．学生在课题研究中不但能了解科学研究的艰辛和科研工作者的奉献精神，而且能
熏陶和培养良好的科研作风，锻炼和培养攻关能力和协作精神．
&&& 进人21世纪，我国高等教育进入了前所未有的大发展时期，时代的进步与发展对高
等教育质量提出了更高、更新的要求．2001年8月，教育部颁发了《关于加强高等学校本
科教学工作，提高教学质量的若干意见》．文件指出，本科教育是高等教育的主体和基础，
抓好本科教学是提高整个高等教育质量的重点和关键．随着高等教育的普及和高等学校
的扩招，在校大学本科计算机专业学生的人数将大量上升，对适合21世纪大学本科计算
机科学与技术学科课程体系要求的，并且适合中国学生学习的计算机专业教材的需求量
&也将急剧增加．为此，中国计算机学会和清华大学出版社共同规划了面向全国高等院校计
算机专业本科生的&21世纪大学本科计算机专业系列教材&．本系列教材借鉴美国ACM
和IEEE最新制定的Computing Curricula 2005(简称CC2005)课程体系，反映当代计算
机科学与技术学科水平和计算机科学技术的新发展、新技术，并且结合中国计算机教育改
革成果和中同国情．
&&& 中国计算机学会教育专业委员会和全国高等学校计算机教育研究会，在清华大学出
版社的大力支持下，跟踪分析CC2001，并结合中国计算机科学与技术学科的发展现状和
计算机教育的改革成果，研究出了《中国计算机科学与技术学科教程2002》(China
&Computing Curricula 2002，简称CCC2002)，该项研究成果对中国高等学校计算机科学与
技术学科教育的改革和发展具有重要的参考价值和积极的推动作用．
&&& &2l世纪大学本科计算机专业系列教材&正是借鉴美国ACM和IEEE CC2005课程
体系，依据CCC2002基本要求组织编写的计算机专业教材．相信通过这套教材的编写和
出版，能够在内容和形式上显著地提高我国计算机专业教材的整体水平，继而提高我国大
学本科计算机专业的教学质量，培养出符合时代发展要求的具有较强国际竞争力的高素
质创新型计算机人才．
&&& 中国工程院院士
&&& 国防科学技术大学教授
&&& 21世纪大学本科计算机专业系列教材编委会名誉主任
&第2版前言
&&& 作为清华大学出版社和中国计算机学会共同规划的&21世纪大学本科计算机专业系
& 列教材&之一，这本《离散数学习题解答与学习指导》已经出版两年了．在这两年的时间里，
& 教育部推出了一系列为提高高等学校本科生教育质量的重要举措．特别是今年年初发布
& 的《教育部、财政部关于实施高等学校本科教学质量与教学改革工程的意见》(教高[2007]
& 1号)和《教育部关于进一步深化本科教学改革，全面提高教学质量的若干意见》(教高
& [2007]2号)对专业设置、教学模式、课程建设、师资队伍等各个方面不但提出了更高的建
& 设目标，也为保证这一工程的顺利执行提供了有力的保证．
&&& 好的教师和好的教材是保证教学质量的前提条件．本着对读者负责的精神，我们在这
& 次修订工作中认真地审阅了原书，根据教学要求对其中的部分内容做了调整，更正了某些
& 错误和疏漏之处，并对文字做了进一步的加工．内容上主要做了如下改动：
&&& 与主教材配套，去掉了数理逻辑中有关&一阶逻辑推理理论&的内容．主要原因是：这
& 部分内容涉及形式系统．形式系统在系统定义和推理中应该采用完全形式化的方法，通常
& 包含形式语言以及用形式语言表述的公理和推理规则．在形式系统中，符号串本身是没有
& 语义的，只能通过解释赋予它们一定的语义，但在讨论系统的公理或推理规则时应该与语
& 义无关．本书在第1版的叙述中没有完全采用这种形式化的方法．如果从知识体系的严谨
& 性出发，应该采用这种完全形式化的表述方t但是，这不但与本书的整体写作风格不够
& 协调，而且内容也偏深，超出本教材的要求，因此本次修订决定删掉这部分内容．
&&& 为了进一步提高本书的质量，我们恳切地欢迎读者继续提出建议和意见．
&&& 作& 者
屈婉玲& 1969年毕业于北京大学物理系物理学专业，现任北京大学信息科学
技术学院教授、博士生导师，中国人工智能学会离散数学专委会委员。上要
研究方向是算法设计与分析，发表i二色文20多篇，出版教材、教学参考书、译
苦20多部，其一和包含多部国家级规划教材和北京巾精品教材。所讲授的离散
数学课程被评为国家级精品课程，两次被评为北京大学十佳教帅，并获得北
京市优秀教师称号。曾主持过多项国家级教材和课程建设项H，并获得北京
市教育教学成果(高等教育)一等奖。
，耿素云& 1965年毕业于北京大学数学力学系数学专业，北京大学信息科学
技术学院教授。一直从事数学教学，致力于离散数学教学20余年，出版教材、
教学参考书20余本。被评为北京市教书育人、服务育人先进工作者，北京市
优秀教师，北京大学&我爱我师&&最受学生爱戴的老师&；获北京If』教
育教学成果(高等教育)一等奖，北京大学教学成果一等奖、大众电脑奖
教金、桐山奖教金及教学优秀奖等。
张立昂& 1965年毕业于北京大学数学力学系数学专业，北京大学信息科学技
术学院教授、博士生导师。一直从事数学和理论计算机科学的教学与研究，
主要研究方向是计算复杂性理论和算法设计与分析，发表论文20余篇，出版
教材、教学参考书、译著20余本。获教育部科学技术进步二等奖，北京市教
育教学成果(高等教育)一等奖，北京大学教学成果一等奖、正大奖教金及
教学优秀奖等。
第l章数学语言与证明方法&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1
&&& 1．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1
&&& 1．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&3
&&& 1．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8
第2章命题逻辑&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&22
&&& 2．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&22
&&& 2．2& 习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&26
&&& 2．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&31
第3章一阶逻辑&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&58
&&& 3．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&一&&&&&&58
&&& 3．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&60
&&& 3．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&64
第．4章& 关系&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&79
&&& 4．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&79
&&& 4．2& 习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&84
&&& 4．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&88
第5章& 函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&95
&&& 5．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&95
&&& 5．2& 习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&97
&&& 5．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&100
&第6章& 图&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&104
&&& 6．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&104
&&& 6．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&107
&&& 6．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&112
第7章树及其应用&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&130
&&& 7．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&130
&&& 7．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&131
&&& 7．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&134
第8章组合计数基础&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&145
&&& 8．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&145
&&& 8．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&148
&&& 8．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&151
第9章容斥原理&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&158
&&& 9．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&158
&&& 9．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&160
&&& 9．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&161
第10章递推方程与生成函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&166
&&& 10．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&166
&&& 10．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&176
&&& 10．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&179
第ll章初等数论&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&191
&&& 11．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&191
&&& 11．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&193
&&& 11．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&197
第12章离散概率&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&212
&&& 12．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&212
&&& 12．2& 习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&214
&&&& 12．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&218
& 第13章初等数论和离散概率的应用&&&&&&&&&&&&&&&&&234
&&& 13．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&234
&&& 13．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&235
&&& 13．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&237
& 第14章代数系统&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&245
&&& 14．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&245
&&& 14．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&254
&&& 14．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&258
& 参考文献&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&267
第l章数学语言与证明方法&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1
&&& 1．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1
&&& 1．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&3
&&& 1．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8
第2章命题逻辑&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&22
&&& 2．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&22
&&& 2．2& 习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&26
&&& 2．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&31
第3章一阶逻辑&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&58
&&& 3．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&一&&&&&&58
&&& 3．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&60
&&& 3．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&64
第．4章& 关系&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&79
&&& 4．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&79
&&& 4．2& 习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&84
&&& 4．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&88
第5章& 函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&95
&&& 5．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&95
&&& 5．2& 习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&97
&&& 5．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&100
&第6章& 图&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&104
&&& 6．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&104
&&& 6．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&107
&&& 6．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&112
第7章树及其应用&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&130
&&& 7．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&130
&&& 7．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&131
&&& 7．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&134
第8章组合计数基础&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&145
&&& 8．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&145
&&& 8．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&148
&&& 8．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&151
第9章容斥原理&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&158
&&& 9．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&158
&&& 9．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&160
&&& 9．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&161
第10章递推方程与生成函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&166
&&& 10．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&166
&&& 10．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&176
&&& 10．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&179
第ll章初等数论&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&191
&&& 11．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&191
&&& 11．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&193
&&& 11．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&197
第12章离散概率&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&212
&&& 12．1内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&212
&&& 12．2& 习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&214
&&&& 12．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&218
& 第13章初等数论和离散概率的应用&&&&&&&&&&&&&&&&&234
&&& 13．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&234
&&& 13．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&235
&&& 13．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&237
& 第14章代数系统&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&245
&&& 14．1& 内容提要&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&245
&&& 14．2习题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&254
&&& 14．3习题解答与分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&258
& 参考文献&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&267
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