微分方程x*dy/dx+y=xy*dy/dx怎么做如题有能力的 这些也教下 x*dy/dx=y(lny-lnx) 3...(y-x^3)dx-2xdy=0 4 2ydx+(y^3-x)dy=0 5 (ylnx-2)ydx=xdy 我没正确答案 给个思路就好_百度作业帮
微分方程x*dy/dx+y=xy*dy/dx怎么做如题有能力的 这些也教下 x*dy/dx=y(lny-lnx) 3...(y-x^3)dx-2xdy=0 4 2ydx+(y^3-x)dy=0 5 (ylnx-2)ydx=xdy 我没正确答案 给个思路就好
搞成变量分离的形式,或考虑下倒数等,化成比如欧拉方程,伯努利方程等形式,用公式套,多练习就好了.微分方程问题（1）n阶微分方程中各阶导数都需出现吗（2）如何验证所给函数满足某微分方程（3）如何建立已知函数（曲线）所满足微分方程.（4）求微分方程的通解与微分方程一样吗都请举例说明_百度作业帮
微分方程问题（1）n阶微分方程中各阶导数都需出现吗（2）如何验证所给函数满足某微分方程（3）如何建立已知函数（曲线）所满足微分方程.（4）求微分方程的通解与微分方程一样吗都请举例说明
1 不用.比如x''=-x2 代入验证就行了.注意一下边界值与光滑度就行.3 还是求首次积分?4 但通解代入微分方程一定是恒等式.
1 不用2 代入验证就行了。注意一下边界值与光滑度就行。3 这个是求解？还是求首次积分？4 不知道什么意思。但通解代入微分方程一定是恒等式。
您可能关注的推广回答者：----> 方程的通解为y=x+ln/x/+c当a
方程的通解为y=x+ln/x/+c当a
&&&&&&&&&&&&&&
&&&&常微分方程习题2.2&&&&求下列方程的解1．&&&&dydx&&&&dx?dx解：y=e?(?sinxe?dx?c)&&&&&&&&解：原方程可化为：&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&xn&&&&&&&&y?ex&&&&x&&&&&&&&n&&&&&&&&y?e&&&&&&&&?xdx&&&&&&&&n&&&&&&&&(?exe&&&&xn&&&&&&&&?&&&&&&&&?xdx&&&&&&&&n&&&&&&&&dx?c)&&&&&&&&=y?sinx是原方程的解.&&&&&&&&?x(e?c)&&&&nx&&&&&&&&=ex[-&&&&&&&&12&&&&&&&&e?x(sinx?cosx)+c]&&&&12&&&&&&&&=cex方程的解。2．&&&&dxdt&&&&&&&&(sinx?cosx)是原&&&&&&&&5．&&&&&&&&dydx&&&&&&&&+&&&&&&&&1?2xx&&&&2&&&&&&&&y?1=0&&&&dydx&&&&&&&&解：原方程可化为：&&&&&&&&=-&&&&&&&&1?2xx&&&&2&&&&&&&&y?1&&&&&&&&+3x=e2t&&&&dxdt&&&&&&&&解：原方程可化为：&&&&&&&&=-3x+e2t(&&&&&&&&y?e&&&&&&&&?&&&&&&&&2x?1x&&&&2&&&&&&&&dx&&&&&&&&(e&&&&&&&&?&&&&&&&&1?2xx&&&&2&&&&&&&&dx&&&&&&&&dx?c&&&&&&&&)&&&&(lnx?&&&&2&&&&&&&&所以：x=e?&&&&?3dtdt?c)e&&&&&&&&?3dt&&&&&&&&?&&&&&&&&e&&&&&&&&2t&&&&&&&&12&&&&&&&&?e&&&&(?e&&&&?lnx?&&&&2&&&&&&&&)&&&&&&&&1x&&&&&&&&dx?c)&&&&1&&&&&&&&=e?3t(e5t+c)&&&&5&&&&&&&&1&&&&&&&&=是原方是原方程的解.&&&&&&&&x(1?ce&&&&2&&&&&&&&x&&&&&&&&)&&&&&&&&=ce?3t+程的解。3．&&&&dsdt&&&&&&&&15&&&&&&&&e2t&&&&&&&&=-scost+&&&&?costdt&&&&&&&&12&&&&&&&&sin2t&&&&3dt&&&&&&&&解：s=e?&&&&&&&&(?sin2te?&&&&12&&&&&&&&dt?c&&&&&&&&)&&&&&&&&=e?sint(?sintcostesintdt?c)=e?sint(sintesint?esint?c)=ce?sint?sint?1的解。4．&&&&dydx&&&&&&&&是原方程&&&&&&&&?&&&&&&&&xn&&&&&&&&y?ex&&&&x&&&&&&&&n&&&&&&&&，&&&&&&&&n为常数.&&&&&&&&1&&&&&&&&7.&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&2yx?1&&&&&&&&?(x?1)&&&&&&&&3&&&&&&&&9.&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&ayx&&&&&&&&?ax&&&&&&&&x?1x&&&&&&&&,a为常数x?1x&&&&&&&&dy2y3解：(x?1)dxx?1P(x)?e?&&&&P(x)dx&&&&&&&&解：Px)?（e?&&&&3&&&&P(x)dx&&&&&&&&,Q(x)?&&&&a&&&&&&&&2x?1?e&&&&&&&&?e&&&&&&&&?xdx&&&&&&&&?x&&&&&&&&a?P(x)dx(e?Q(x)dx?c)&&&&&&&&,Q(x)?(x?1)&&&&2&&&&&&&&方程的通解为：y=e?&&&&a&&&&&&&&P(x)dx&&&&&&&&?x?1dx&&&&&&&&?(x?1)&&&&&&&&2&&&&&&&&=x(?&&&&&&&&1x+1x&&&&a&&&&&&&&x&&&&&&&&dx+c)&&&&&&&&方程的通解为：y=e?&&&&P(x)dx?P(x)dx(?e?Q(x)dx?c)&&&&&&&&当a?0时，方程的通解为y=x+ln/x/+c当a?1时，方程的通解为y=cx+xln/x/-1当a?0，，方程的通解为1时y=cx+&&&&a&&&&&&&&=(x+1)(?&&&&22&&&&&&&&1(x?1)&&&&2&&&&&&&&*(x+1)dx+c)&&&&&&&&3&&&&&&&&=(x+1)(?(x+1)dx+c)=(x+1)(&&&&22&&&&&&&&x1-a&&&&&&&&-&&&&&&&&1a&&&&&&&&(x?1)2&&&&4&&&&&&&&2&&&&&&&&?c)&&&&&&&&即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。8.dydx=yx?y&&&&33&&&&&&&&10.x&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?y?x&&&&&&&&3&&&&&&&&dxx+y12解：x?ydyyy则P(y)=e?1y&&&&P(y)dy&&&&&&&&dy13解：y?xdxxP(x)e?&&&&P(x)dx&&&&&&&&1x&&&&&&&&,Q(y)?y?y&&&&1dy&&&&&&&&2&&&&&&&&,Q(x)?x&&&&?&&&&&&&&3&&&&&&&&?e&&&&&&&&?y&&&&&&&&?e&&&&&&&&?xdx&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&1x&&&&&&&&方程的通解为：x=e?&&&&P(y)dy?P(y)dy(?e?Q(y)dy?c)2&&&&&&&&方程的通解为：y=e?==1xx4&&&&P(x)dx?P(x)dx(?e?Q(x)dx?c)3&&&&&&&&=y(?=即x=y&&&&3&&&&&&&&1y&&&&&&&&*ydy?c)&&&&&&&&(?x*xdx?c)&&&&3&&&&&&&&y&&&&&&&&3&&&&&&&&?cy&&&&&&&&?&&&&&&&&cxx&&&&3&&&&&&&&2+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。&&&&&&&&方程的通解为：y=&&&&&&&&2&&&&&&&&4&&&&&&&&?&&&&&&&&cx&&&&&&&&2&&&&&&&&11.&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?xy?xy&&&&3&&&&&&&&3&&&&&&&&dy33解：xy?xydx两边除以ydyydxdy&&&&-233&&&&&&&&13&&&&2xydy?(2y?x)dx&&&&2&&&&&&&&xy?x&&&&?2&&&&&&&&?2&&&&&&&&dy&&&&3&&&&&&&&?&&&&&&&&2y?x&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&yx&&&&&&&&?&&&&&&&&12y&&&&&&&&dx&&&&3&&&&&&&&2xy&&&&&&&&2(?xy?x)&&&&?2&&&&&&&&dx令ydzdxP(x)?2x,Q(x)2x&&&&2p?x?2xdxxe?dx?ee&&&&&&&&这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以&&&&3&&&&&&&&?z&&&&3&&&&&&&&1y&&&&&&&&2(?xz?x)&&&&&&&&，&&&&&&&&y&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&y&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&x&&&&&&&&方程的通解为：z=e?&&&&x&&&&2&&&&&&&&p?x?&&&&&&&&?p?x?dx(?e?dxQ(x)dx?c)?x&&&&2&&&&&&&&令y2?z&&&&dzdx?2yx&&&&2x&&&&2&&&&&&&&dzdx&&&&?1?2zx&&&&&&&&?2y&&&&&&&&dydx&&&&&&&&=e(?e&&&&2&&&&&&&&(?2x)dx?c)&&&&3&&&&&&&&=x?ce?1&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&?1&&&&&&&&故方程的通解为：y(x?ce?1)?1,且y?0也是方程的解。&&&&2x&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&P(x)=&&&&&&&&Q(x)=-1&&&&&&&&12.(ylnx?2)ydx?xdydylnx22y解：?y?dxxx两边除以ydyydxdy&&&&?122?1&&&&&&&&c4&&&&&&&&x?&&&&2&&&&&&&&lnx2&&&&&&&&?&&&&&&&&14&&&&&&&&由一阶线性方程的求解公式&&&&z?e?xdx&&&&2&&&&&&&&(e&&&&&&&&?&&&&&&&&?xdx&&&&&&&&2&&&&&&&&dx?c)&&&&&&&&?&&&&&&&&lnxx&&&&&&&&?&&&&&&&&2yx&&&&&&&&=x?x2c&&&&y?x?xc&&&&22&&&&&&&&?令y&&&&&&&&lnxx&&&&?1&&&&&&&&?&&&&&&&&2yx&&&&&&&&?1&&&&&&&&dx&&&&&&&&?zlnxxlnxx&&&&&&&&14&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&e?3x&&&&y&&&&&&&&dzdx&&&&&&&&?&&&&&&&&2x&&&&&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&z?2x&&&&&&&&P(x)?&&&&&&&&,Q(x)&&&&&&&&两边同乘以ey令ey?z&&&&2&&&&&&&&e&&&&&&&&y&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&(e&&&&&&&&y&&&&&&&&)?3xe&&&&2&&&&&&&&y&&&&&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&方程的通解为：&&&&P(x)dx?P(x)dxz?e?(?e?Q(x)dx?c)&&&&&&&&dzdx&&&&&&&&?e&&&&&&&&y&&&&&&&&dydx&&&&&&&&z?e?c4&&&&&&&&?xdx&&&&&&&&2&&&&&&&&(?e&&&&&&&&?&&&&&&&&?xdx14&&&&&&&&2&&&&&&&&(?&&&&&&&&lnxx&&&&&&&&)dx?c)?x(?&&&&&&&&1x&&&&2&&&&&&&&(?&&&&&&&&lnxx&&&&&&&&)dx?c)&&&&&&&&dzdx&&&&&&&&?&&&&&&&&z?3xz&&&&2&&&&&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&3zx&&&&&&&&?&&&&&&&&zx&&&&&&&&22&&&&&&&&这是n=2时&&&&&&&&x?&&&&2&&&&&&&&lnx2&&&&&&&&?&&&&&&&&方程的通解为:y(&&&&&&&&c4&&&&&&&&x?&&&&2&&&&&&&&lnx2&&&&&&&&?&&&&&&&&14&&&&&&&&的伯努利方程。&&&&)?1,且y=0也是解。&&&&&&&&3&&&&&&&&两边同除以z2令&&&&dTdx&&&&1z?T&&&&&&&&1dzz&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&3xz&&&&&&&&?&&&&&&&&1x&&&&2&&&&&&&&dzdy&&&&&&&&dx&&&&&&&&&&&&&&&&2yx&&&&2&&&&&&&&?y2&&&&&&&&3&&&&&&&&=&&&&&&&&?2yz?2y&&&&&&&&3&&&&&&&&&&&&&&&&1dzz&&&&2&&&&&&&&dTdx&&&&&&&&?&&&&&&&&?3Tx&&&&&&&&?&&&&&&&&1x&&&&2&&&&&&&&P(y)=-2y&&&&&&&&Q(y)=?2y3&&&&&&&&P（x）=&&&&&&&&dx?3&&&&x&&&&&&&&Q(x)=&&&&&&&&?1x&&&&2&&&&&&&&由一阶线性方程的求解公式&&&&?2ydy32ydyz?e?(2ye?dy?c)&&&&&&&&由一阶线性方程的求解公式&&&&T?e?&&&&?3xdx&&&&&&&&(?&&&&&&&&?1?xdxedx?c)2x&&&&3&&&&&&&&=e?y(2y3eydy?c)&&&&22&&&&&&&&=?y2?1?ce?y&&&&x(?y?1?ce&&&&22?y&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&=x?3(?=?&&&&z(?&&&&y&&&&&&&&12&&&&&&&&x?c)&&&&2&&&&&&&&)?1&&&&?y&&&&2&&&&&&&&12&&&&&&&&x&&&&?1&&&&&&&&?1&&&&&&&&?cx&&&&?3&&&&&&&&?3&&&&&&&&xee&&&&y&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&y&&&&&&&&2&&&&&&&&(?y?1?ce&&&&2222&&&&&&&&)?e&&&&2&&&&&&&&y&&&&&&&&2&&&&&&&&12&&&&&&&&x12&&&&&&&&?cx&&&&&&&&)?1)?1&&&&3&&&&&&&&(1?x?xy)?cx&&&&&&&&e(1212&&&&&&&&x&&&&y&&&&&&&&?1&&&&&&&&?cx&&&&y&&&&&&&&?3&&&&&&&&xe?ce?x&&&&223?y&&&&&&&&x?xe&&&&&&&&?c&&&&&&&&16&&&&&&&&y=ex+?y(t)dt&&&&0&&&&&&&&x&&&&&&&&dydxdy&&&&33&&&&&&&&?e?y(x)&&&&x&&&&&&&&15&&&&&&&&dydxdxdy&&&&&&&&?&&&&&&&&1xy?xy&&&&&&&&?y?e&&&&&&&&x&&&&&&&&dx&&&&&&&&P(x)=1&&&&?yx?yx&&&&33&&&&&&&&Q(x)=ex&&&&&&&&由一阶线&&&&&&&&性方程的求解公式&&&&1dxx?1dxy?e?(?ee?dx?c)&&&&3&&&&&&&&这是n=3时的伯努利方程。两&&&&1dxxdy&&&&3&&&&&&&&边&&&&yx&&&&2&&&&&&&&同&&&&3&&&&&&&&除&&&&&&&&以&&&&&&&&x&&&&&&&&=ex(?exe?xdx?c)=ex(x?c)&&&&e(x?c)?e?&&&&xx&&&&&&&&?&&&&&&&&?y&&&&&&&&?&&&&&&&&x0&&&&&&&&e(x?c)dx&&&&x&&&&&&&&令x?2?z&&&&&&&&dzdy&&&&&&&&2x&&&&&&&&?3&&&&&&&&dxdy&&&&&&&&c=1y=ex(x?c)&&&&4&&&&&&&&[&&&&&&&&y&&&&&&&&22&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&?&&&&&&&&1x&&&&&&&&]dx?[&&&&&&&&1y&&&&&&&&?&&&&&&&&x&&&&&&&&22&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&]dy?0&&&&&&&&解&&&&&&&&：&&&&22&&&&&&&&习题2.3&&&&?M&&&&&&&&1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。&&&&1.&&&&(x?y)dx?(x?2y)dy?0&&&&2&&&&&&&&?y&&&&&&&&?&&&&&&&&2y(x?y)?2y(x?y)(?1)(x?y)&&&&4&&&&&&&&?&&&&&&&&2xy(x?y)&&&&3&&&&&&&&?N?x&&&&&&&&&&&&&&&&2x(x?y)?2x(x?y)&&&&22&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&4&&&&&&&&?&&&&&&&&2xy(x?y)&&&&3&&&&&&&&解：则&&&&?M?y?&&&&&&&&?M?y&&&&&&&&?1，&&&&&&&&?N?x&&&&&&&&=1.则&&&&?M?xN?y&&&&&&&&?N?x&&&&&&&&.&&&&&&&&所以此方程是恰当方程。凑&&&&xdx?2y&&&&2&&&&&&&&因此此方程是恰当方程。，&&&&?u?x?y&&&&22&&&&&&&&微&&&&?(yd?x&&&&&&&&分&&&&d?0d)y&&&&2&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&?&&&&&&&&1x&&&&&&&&x&&&&&&&&y&&&&&&&&得：2．&&&&&&&&13&&&&&&&&（1）&&&&x?xy?y&&&&3&&&&2&&&&&&&&?C&&&&?u?y?1y?x&&&&22&&&&&&&&(y?3x)dx?(4y?x)dy?0&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&解：则&&&&?M?y?&&&&&&&&?M?y&&&&&&&&?1，&&&&&&&&?N?x&&&&&&&&?1&&&&&&&&.&&&&&&&&（2）对（1）做&&&&x&&&&&&&&的积分，则&&&&&&&&?N?x&&&&&&&&.&&&&u?&&&&&&&&?(x?&&&&&&&&y&&&&&&&&22&&&&&&&&dx?&&&&&&&&y)&&&&&&&&?&&&&&&&&1x&&&&&&&&dx(y)&&&&&&&&所以此方程为恰当方程。=凑&&&&2&&&&&&&&微&&&&&&&&分&&&&&&&&，&&&&?y&&&&2&&&&&&&&ydx?xdy?3xdx?4ydy?0&&&&&&&&x?y&&&&&&&&?lnx(y)&&&&&&&&（3）&&&&y&&&&&&&&得3&&&&&&&&x?xy?2y&&&&3&&&&&&&&2&&&&&&&&?C&&&&&&&&对（3）做．&&&&?u?y?(?1)y&&&&2&&&&&&&&的积分，则&&&&?d?(y)dy&&&&5&&&&&&&&?(x?y)2y&&&&2&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&=&&&&?2xy?y(x?y)&&&&22&&&&&&&&6xydx?4xdx?6xydy?3ydy?0&&&&2322&&&&&&&&?&&&&&&&&d?(y)dy&&&&&&&&3d(xy)?d(x)?d(x)?0&&&&2243&&&&&&&&得：x4=&&&&1y?x&&&&22&&&&&&&&?3xy?y&&&&22&&&&&&&&3&&&&&&&&?C&&&&1x&&&&&&&&5.(&&&&&&&&1y&&&&y&&&&&&&&sin&&&&xy&&&&2&&&&&&&&xy&&&&&&&&-&&&&&&&&yx&&&&2&&&&&&&&cos&&&&1y&&&&2&&&&&&&&yx&&&&&&&&+1)dx+(&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&则&&&&d?(y)dy?1y?x&&&&22&&&&&&&&cosx&&&&&&&&sin+&&&&y1y&&&&xy&&&&2&&&&&&&&x&&&&&&&&)dy=0x&&&&yx&&&&2&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&?&&&&&&&&y?2xy&&&&2&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&1y&&&&&&&&?&&&&&&&&x?2xy?y&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&(x?y)&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&1y&&&&&&&&?1&&&&&&&&解：N=&&&&1x&&&&&&&&M=cosxy&&&&&&&&sin&&&&&&&&xy&&&&&&&&cos&&&&1y&&&&2&&&&&&&&yx&&&&&&&&+1&&&&&&&&sin+&&&&y&&&&&&&&?(y)?&&&&&&&&?(y&&&&&&&&1&&&&&&&&?1)dy?lny?y&&&&&&&&?M?y&&&&&&&&=y&&&&&&&&1y&&&&2&&&&&&&&siny&&&&&&&&x&&&&&&&&xy&&&&3&&&&&&&&cosy&&&&&&&&x&&&&&&&&1x&&&&2&&&&&&&&u&&&&&&&&yy?xy?yyxy?lnx?lny?y?lnln?x?yxx?yxx?yy&&&&222&&&&&&&&cos+&&&&x&&&&?N?x&&&&&&&&y&&&&&&&&x&&&&&&&&3&&&&&&&&sin&&&&1y&&&&2&&&&&&&&yx&&&&&&&&故此方程的通解为&&&&lnyx?xyx?y?C&&&&&&&&=yx&&&&3&&&&&&&&siny&&&&&&&&x&&&&&&&&xy&&&&3&&&&&&&&cosy&&&&&&&&x&&&&&&&&1x&&&&2&&&&&&&&cos+&&&&x&&&&&&&&y&&&&&&&&sin&&&&&&&&yx&&&&?M?y&&&&&&&&4&&&&2(3xy&&&&2322&&&&&&&&、&&&&?2x)dx?3(2xy?y)dy?0&&&&&&&&所以，为恰当方程&&&&&&&&=&&&&&&&&?N?x&&&&&&&&，故原方程&&&&&&&&解：&&&&?N?x?12xy&&&&?M?y&&&&&&&&?M?y&&&&&&&&?12xy&&&&&&&&，&&&&1y&&&&&&&&因sin&&&&y&&&&&&&&为dxxy&&&&2&&&&&&&&.&&&&?N?x&&&&&&&&xy&&&&&&&&yx&&&&2&&&&&&&&cos&&&&x&&&&&&&&yx&&&&&&&&dx+dx+&&&&1y&&&&2&&&&&&&&1x&&&&&&&&?&&&&&&&&.&&&&&&&&cosdyx&&&&&&&&sindy+&&&&yxy&&&&&&&&dy=0)+d&&&&&&&&则此方程为恰当方程。凑微分，d(-cos&&&&&&&&6&&&&&&&&(sin)+dx+d(-)=0&&&&x&&&&&&&&y&&&&&&&&1&&&&&&&&x3y2=C8.2xydx+(x2+1)dy=0&&&&x1&&&&&&&&y&&&&&&&&所以，d(sin-cos+x-)=0&&&&x&&&&&&&&y&&&&&&&&y&&&&&&&&y&&&&&&&&解：2xydx+x2dy+dy=0d(x2y)+dy=0即d(x2y+y)=0&&&&&&&&故所求的解为sin-cos+x&&&&x&&&&&&&&y&&&&&&&&x&&&&&&&&y&&&&&&&&-=C&&&&y&&&&&&&&1&&&&&&&&故方程的解为x2y+y=C9、ydx&&&&?xdy?x?y&&&&2&&&&&&&&求下列方程的解：&&&&6．2x(yex-1)dx+exdy=0解：&&&&?N?x&&&&?M?y&&&&22&&&&&&&&?&&&&&&&&2&&&&&&&&?dx&&&&x&&&&2&&&&&&&&解：两边同除以&&&&e&&&&x&&&&2&&&&&&&&?y&&&&&&&&2&&&&&&&&得&&&&&&&&=&&&&&&&&2x&&&&&&&&,&&&&&&&&ydx?xdyx&&&&2&&&&&&&&?y&&&&&&&&2&&&&&&&&?dx&&&&&&&&=2xex&&&&&&&&2&&&&&&&&即，d?arctg?&&&&?M?y&&&&&&&&&&&&&&&&所以，为恰当方程&&&&&&&&=&&&&&&&&?N?x&&&&&&&&x?dx?y?&&&&&&&&，故原方程&&&&&&&&故方程的通解为&&&&?x?argtg?x?c?y?&&&&&&&&又2xyexdx-2xdx+exdy=0&&&&22&&&&&&&&10、ydx所以，d(ye-x)=0&&&&x&&&&2&&&&&&&&?x?y&&&&&&&&?&&&&&&&&3&&&&&&&&?dy&&&&&&&&?0&&&&ydx?xdyy&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&故所求的解为ye-x=C&&&&x&&&&2&&&&&&&&解：方程可化为：即，&&&&&&&&?ydy&&&&&&&&2&&&&&&&&7.(ex+3y2)dx+2xydy=0解：exdx+3y2dx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0&&&&x222&&&&&&&&?x?d?ydy?y?&&&&&&&&故方程的通解为：&&&&3&&&&&&&&x&&&&&&&&所以，de(x-2x+2)+d(xy)=0&&&&x2&&&&&&&&3&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&y&&&&&&&&2&&&&&&&&?c&&&&&&&&即：2x&&&&&&&&?yy&&&&&&&&y&&&&&&&&?&&&&&&&&2&&&&&&&&?c&&&&&&&&?&&&&&&&&即d[ex(x2-2x+2)+x3y2]=0故方程的解为ex(x2-2x+2)+&&&&&&&&同时，y=0也是方程的解。11、?y?1?xy?dx&&&&?xdy?0&&&&&&&&7&&&&&&&&解：方程可化为：&&&&ydx?xdy1?xy?dx&&&&&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&?2xy?dx?&&&&&&&&x&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&x?y&&&&&&&&?&&&&&&&&2&&&&&&&&2xy?dx?dy?c?&&&&&&&&d?xy?1?xy?dx&&&&d?xy&&&&&&&&即：&&&&x&&&&3&&&&&&&&?&&&&&&&&?xy?c&&&&3&&&&&&&&1?xy&&&&&&&&?dx&&&&&&&&3&&&&&&&&即：x3故方程的通解为：14&&&&ln1?xy?x?c&&&&&&&&?3xy?c&&&&2&&&&&&&&、&&&&?xcos?x?y?dy?0&&&&&&&&12、?y?x?dx&&&&2&&&&&&&&?xcos?x?ysin?x?ydx&&&&?xdy?0&&&&&&&&解：方程可化为：&&&&&&&&ydx?xdyx&&&&2&&&&&&&&?dx&&&&&&&&解&&&&M?xc&&&&&&&&：&&&&&&&&这&&&&&&&&里&&&&?xcn&&&&&&&&?yd?dx?x?&&&&&&&&?x?yo?s?x?y?,N?si&&&&&&&&?x?yo?&&&&&&&&s&&&&&&&&故方程的通解为&&&&yx?c?x&&&&&&&&：因&&&&?M?yN?x?c&&&&&&&&即：y&&&&&&&&?x?c?x?&&&&&&&&为&&&&?x?y&&&&xs&&&&&&&&13、?x?2y?dx解：这里&&&&?M?yN?x&&&&?N?x?&&&&&&&&?xdy?0&&&&M?x?2y,N?x&&&&&&&&?x?y?&&&&&&&&o&&&&&&&&i&&&&&&&&，故方程的通解为：&&&&?&&&&&&&&xcos?x?ysin?x?ydx?xcos?x?y?yxcos?x?ysin?x?ydx?dy?c&&&&1x&&&&?e?xdx&&&&1&&&&&&&&?M?y&&&&&&&&?N&&&&&&&&方程有积15&&&&?x&&&&&&&&即：xsin?x?yc、&&&&&&&&分因子?&&&&&&&&?ycos&&&&&&&&x?xsinx?dxysinx?xcosx?dy?o&&&&&&&&两边乘以&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&得：方程是恰当方解：&&&&x?xso&&&&&&&&x?x?2y?dx?xdy?0&&&&&&&&这&&&&x,N?isysx?nxci&&&&&&&&里&&&&xons&&&&&&&&程&&&&M?yc&&&&&&&&故方程的通解为：&&&&8&&&&&&&&?M?y&&&&&&&&?&&&&&&&&?N?x&&&&?N?x?1&&&&&&&&解：两边同除以x2，得：&&&&ydx?xdyx&&&&2&&&&&&&&?ydyy&&&&2&&&&&&&&?M?y&&&&&&&&?&&&&&&&&?M&&&&&&&&方程有积分因&&&&y&&&&&&&&d&&&&&&&&yx&&&&yx&&&&&&&&&&&&?12&&&&&&&&12&&&&y&&&&&&&&2&&&&&&&&?c&&&&&&&&即&&&&&&&&?c&&&&&&&&子：?得：方&&&&e&&&&y&&&&&&&&?e&&&&&&&&?dy&&&&&&&&?e&&&&&&&&两边乘以?&&&&&&&&4．&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&yx?xy&&&&&&&&程&&&&x?dx?e&&&&y&&&&&&&&解：两边同除以x，得&&&&y&&&&&&&&?yc&&&&&&&&x?xs&&&&&&&&?ys&&&&&&&&x?xco&&&&&&&&x?dyi?0&&&&&&&&i&&&&&&&&dyso?dx&&&&&&&&nx&&&&&&&&n&&&&&&&&s&&&&&&&&为恰当方程故&&&&y&&&&&&&&1?&&&&&&&&yx&&&&&&&&通&&&&&&&&解&&&&&&&&为&&&&&&&&：&&&&&&&&令&&&&&&&&yx&&&&&&&&?u?u?xdudx?u?x1ududx?&&&&&&&&?y?e?ycosx?xsinx?dxNy?e?ycosx?xsinx?dxdy?c&&&&&&&&则&&&&&&&&dydx&&&&&&&&即&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&u1?&&&&lny&&&&2&&&&&&&&u&&&&&&&&即：eysinx?y?1eycos16&&&&x?4ydx?2xdyy&&&&3&&&&&&&&x?c&&&&&&&&得到&&&&&&&&?&&&&&&&&c?&&&&&&&&12&&&&&&&&?2，&&&&&&&&、&&&&?3ydx&&&&?5xdy&&&&2&&&&&&&&&&&&&&&&1即x?y?c?lny?2&&&&&&&&0&&&&&&&&另外y?0也是方程的解。&&&&&&&&解：两边同乘以x&&&&&&&&y&&&&&&&&得：&&&&3&&&&&&&&?4x?&&&&&&&&3&&&&&&&&ydx?2xydy?3xydx?5xydy?0&&&&242542&&&&&&&&&&&&y&&&&5&&&&&&&&?&&&&&&&&6．?xy?1?ydx?xdy?0解：ydx?xdy?xydx?0&&&&ydx?xdyxdx&&&&&&&&dxy&&&&&&&&d?x&&&&&&&&3&&&&&&&&0&&&&&&&&故方程的通解为：&&&&xy&&&&42&&&&&&&&y&&&&&&&&2&&&&&&&&?xy&&&&3&&&&&&&&5&&&&&&&&?c&&&&&&&&得到d&&&&xy&&&&&&&&习题2.5&&&&2．ydx?xdy?xydy&&&&2&&&&&&&&?x?12?x?c?2?y?&&&&12&&&&2&&&&&&&&即&&&&&&&&?&&&&&&&&x&&&&&&&&?c&&&&&&&&9&&&&&&&&另外y?0也是方程的解。&&&&&&&&则1?&&&&dy&&&&&&&&dydx&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&dudx&&&&?1?xe&&&&u&&&&&&&&dudx&&&&&&&&?1&&&&&&&&8.&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&yx&&&&&&&&yx&&&&&&&&?&&&&&&&&yx&&&&&&&&23&&&&&&&&dx&&&&&&&&即&&&&&&&&due&&&&u&&&&&&&&?xdx&&&&?12x&&&&2&&&&&&&&解：令则&&&&dydx?u?xdudx?u?&&&&&&&&?u&&&&&&&&?e&&&&&&&&?u&&&&&&&&?c&&&&&&&&：&&&&1xu?&&&&?&&&&2&&&&&&&&故方程的解为&&&&e&&&&x?y&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&?c&&&&&&&&即x得到故&&&&?1u&&&&&&&&dudx&&&&&&&&1x&&&&dxx&&&&2&&&&&&&&u&&&&&&&&2&&&&&&&&14．&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?x?y?1&&&&&&&&duu&&&&2&&&&&&&&解：令x?y?1?u则1?&&&&1&&&&dydx?dudx?dxdudx?1?u&&&&&&&&?&&&&&&&&?1x&&&&&&&&?c&&&&&&&&即&&&&&&&&1y&&&&&&&&?&&&&&&&&cx&&&&&&&&?&&&&&&&&那么&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&duu?1&&&&&&&&另外y?0也是方程的解。&&&&dy?dy1?dx?dx?&&&&dydx?p&&&&2&&&&2&&&&&&&&求得：ln?u?1x?c10．x故方程的解为&&&&ln?x?y?1x?c&&&&&&&&解：令&&&&&&&&或&&&&x?y?1?ce&&&&x&&&&&&&&可&&&&&&&&写&&&&&&&&为&&&&&&&&即x?&&&&dydx&&&&&&&&1?pp&&&&&&&&16．?x?1?&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?1?2e&&&&&&&&?y&&&&&&&&而&&&&&&&&?p故两边积分得到&&&&&&&&y?&&&&&&&&12&&&&&&&&?y解：令e?u&&&&&&&&则&&&&&&&&p&&&&&&&&2&&&&&&&&?lnp?c&&&&ylnu&&&&&&&&因此原方程的解为&&&&x?1?pp&&&&?y&&&&&&&&2&&&&&&&&，y?&&&&&&&&12&&&&&&&&p&&&&&&&&2&&&&&&&&?lnp?c。&&&&&&&&x?1?&&&&&&&&1duudx&&&&&&&&?2u?1&&&&&&&&12.e&&&&&&&&?dy1xedx?&&&&&&&&x&&&&&&&&1u?2u?1?&&&&x?y&&&&&&&&du&&&&&&&&1x?1&&&&&&&&dx&&&&&&&&解：令&&&&&&&&?1?xedxx?y?u&&&&&&&&dy&&&&&&&&2u?1u&&&&&&&&?&&&&&&&&1x?1`&&&&&&&&?c&&&&&&&&10&&&&&&&&即方程的解为&&&&e&&&&y&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?p,则y&&&&2&&&&&&&&xp&&&&&&&&2&&&&&&&&?4x&&&&&&&&?&&&&&&&&x2&&&&&&&&p2p&&&&&&&&2xp&&&&&&&&,两边对x求导得p?x2&&&&2&&&&&&&&p2&&&&&&&&?&&&&&&&&xdp2dx&&&&&&&&?&&&&&&&&2p&&&&&&&&?&&&&&&&&2xdpp&&&&22&&&&&&&&2p2p)?(x2?2xp&&&&2&&&&&&&&dx&&&&&&&&?x?y&&&&&&&&2x?c&&&&&&&&(&&&&&&&&p2&&&&&&&&)&&&&2&&&&&&&&dpdx&&&&&&&&,(&&&&&&&&p2&&&&&&&&)dx?(&&&&&&&&?&&&&&&&&2xp&&&&2&&&&&&&&)dp?0,(p&&&&&&&&3&&&&&&&&?4p)dx?(?xp&&&&2&&&&&&&&?4x)dp?0&&&&&&&&18&&&&4xydx?2xy?1dy?0&&&&223&&&&&&&&．&&&&&&&&p(p&&&&&&&&?4)dx?x(px?,y?xc&&&&22&&&&&&&&?4)dp?0?px?c&&&&22&&&&&&&&?4或pdx?xdp?0,当p&&&&&&&&?4时y2x,当pdx?xdp?0时,&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&p?&&&&&&&&xc&&&&&&&&?4x&&&&&&&&?42c,2yc?cx&&&&22&&&&&&&&2xc&&&&&&&&?4.&&&&&&&&解：将方程变形后得&&&&dydx?4xy&&&&322&&&&&&&&dy2?2?20.y?1?()1dx解：令x?dydxd?&&&&2xy&&&&&&&&?p?sin?,则y1?(sin?）?1，y?&&&&22&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&1cos?&&&&&&&&,dx?&&&&2&&&&&&&&dyp&&&&&&&&?&&&&&&&&dysin?&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&1&&&&&&&&sin?&&&&2&&&&&&&&sin?cos&&&&&&&&?&&&&&&&&d&&&&&&&&d?cos&&&&2&&&&&&&&2xy?1&&&&&&&&?cos&&&&&&&&?&&&&&&&&?c?&&&&xy&&&&&&&&?sec&&&&&&&&2&&&&&&&&?dc?tgc所以方程的解为&&&&&&&&y&&&&&&&&?x?c)（&&&&&&&&?1,另外由p?0得y1也&&&&&&&&21.(1?e)dx?e(1?&&&&&&&&xy&&&&&&&&)dy?0?z?y&&&&z&&&&&&&&dxdy&&&&&&&&?&&&&&&&&2xy?1&&&&3&&&&&&&&4xy&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&x2y&&&&&&&&?&&&&&&&&14xy&&&&22&&&&&&&&解：令dxdylnz?e2xy&&&&3&&&&&&&&xy&&&&&&&&?z则x?yz,&&&&z&&&&&&&&dxdy&&&&&&&&dzdy&&&&&&&&方程为(1?e)dx?(z?1)edy,&&&&zz&&&&&&&&?&&&&&&&&(z?1)e1?e&&&&zz&&&&&&&&?&&&&&&&&ze&&&&&&&&z&&&&&&&&?z?z?e1?e&&&&zz&&&&&&&&?z?xy&&&&&&&&z?e1?e&&&&xy&&&&&&&&zz&&&&&&&&?z?y&&&&&&&&dzdy&&&&&&&&,&&&&&&&&1?ez?e&&&&&&&&zz&&&&&&&&dz&&&&x&&&&&&&&dyy&&&&&&&&同除以x2得：&&&&2&&&&&&&&lny,y(z?e)?c,y(y&&&&2&&&&&&&&?e)?c所以方程的解为&&&&&&&&x?ye&&&&&&&&y&&&&&&&&?c&&&&&&&&22.&&&&&&&&dx?&&&&&&&&?3xy&&&&24&&&&&&&&2&&&&&&&&dy?0&&&&2&&&&&&&&x&&&&&&&&dxdy&&&&&&&&?&&&&&&&&x&&&&&&&&3&&&&&&&&?&&&&&&&&14y&&&&2&&&&&&&&解：xydx?(y2?M?y?N?x&&&&&&&&?3x)dy?0?M?yN?x?xy&&&&23&&&&&&&&2y&&&&&&&&?2x,&&&&?3&&&&&&&&6x,3xy&&&&22&&&&&&&&8x?2xy?d1y&&&&&&&&?2xy)dy?0,d&&&&&&&&&&&&&&&&4y&&&&&&&&所以方程有积分因子xy&&&&23&&&&&&&&e1y&&&&&&&&ydy&&&&&&&&4&&&&&&&&?y&&&&&&&&?4&&&&&&&&令&&&&dzdy?3z2y?34y&&&&2&&&&&&&&z?x&&&&&&&&3&&&&&&&&则&&&&&&&&2xy&&&&&&&&dx?(y&&&&&&&&?2&&&&&&&&?&&&&&&&&4&&&&&&&&?0所以方程的解为&&&&&&&&?&&&&&&&&?c即x&&&&&&&&2&&&&&&&&?y&&&&&&&&2&&&&&&&&?cy&&&&&&&&3&&&&&&&&23.ydx?(1?x?y)dy?0解：ydx?xdy?(1?y)dy,两边同除以&&&&2&&&&&&&&y得&&&&&&&&2&&&&&&&&ydx?xdyy&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&1?yy&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&dy,d&&&&&&&&xy&&&&&&&&?&&&&&&&&1?yy&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&dy&&&&&&&&所以方程的解为24.y?x(x&&&&&&&&xy&&&&&&&&&&&&&&&&1y&&&&&&&&?y?c即（x?1)?y(y?c),另外y?0也是解。&&&&&&&&?&&&&&&&&2&&&&&&&&?y)?xdy?0&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&z?&&&&&&&&32&&&&&&&&3&&&&&&&&y&&&&&&&&2&&&&&&&&?cy&&&&&&&&2&&&&&&&&解：方程可化为dydx解：令dydx&&&&dy&&&&&&&&ydx?xdyx&&&&2&&&&&&&&?y&&&&&&&&2&&&&&&&&?xdx,darctg&&&&&&&&xy&&&&&&&&?xdx所以方程的解为&&&&&&&&arctg&&&&&&&&xy&&&&&&&&?&&&&&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&?c.&&&&&&&&2&&&&&&&&25.&&&&&&&&?edx?x?0?p?t,x?t?e由dy?pdx得y?&&&&t&&&&&&&&即原方程的解为&&&&x&&&&3&&&&&&&&?t(1?e&&&&&&&&t&&&&&&&&)dt?c?&&&&&&&&t&&&&&&&&2&&&&&&&&?et?e?c&&&&tt&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&32&&&&&&&&3&&&&&&&&y&&&&&&&&2&&&&&&&&?cy&&&&&&&&2&&&&&&&&所以方程的解为&&&&&&&&x?t?e?&&&&t&&&&&&&&t&&&&&&&&2&&&&&&&&?et?e?c&&&&tt&&&&&&&&2&&&&dy&&&&&&&&25.&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?edx?x?0dydx?p?t则x?t?e由dy?pdx得y?&&&&t&&&&&&&&19.X(解&&&&dydx&&&&&&&&dydx&&&&&&&&)?2y(&&&&2&&&&&&&&dydx&&&&&&&&)?4x?0&&&&&&&&解：令&&&&&&&&?t(1?e&&&&t&&&&2&&&&&&&&t&&&&&&&&)dt?c?&&&&tt&&&&&&&&t&&&&&&&&2&&&&&&&&?et?e?c&&&&tt&&&&&&&&2?et?e?c&&&&&&&&：&&&&&&&&方&&&&dydx&&&&&&&&程&&&&&&&&可&&&&x(dydx2(&&&&&&&&化&&&&2&&&&&&&&为&&&&&&&&所以方程的解为：26（2xy?xy?.&&&&2&&&&&&&&x?t?e，y?&&&&t&&&&&&&&?t(1?e&&&&&&&&t&&&&&&&&)dt?c?&&&&&&&&2&&&&&&&&)?4xdydx)&&&&&&&&y&&&&&&&&3&&&&&&&&)dx?(x&&&&&&&&2&&&&&&&&?y)dy?0&&&&2&&&&&&&
&2y(&&&&&&&&)?x(&&&&&&&&)?4x,y?&&&&2&&&&&&&&3?M?NM?y?x22?N解：?2x?x?y,?2x,?1所以方程有积分因子22?y?xx?yd3exy?dey&&&&x2x3&&&&&&&&e方程两边同乘&&&&&&&&x&&&&&&&&e得&&&&&&&&x&&&&&&&&令&&&&&&&&?0所以方程的解为：&&&&&&&&3exy?ey&&&&x2x&&&&&&&&3&&&&&&&&?c&&&&&&&&27.&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&2x?3y?44x?6y?5&&&&11&&&&&&&&解&&&&dudx&&&&&&&&：&&&&?2?3dydx&&&&&&&&令&&&&?2?3&&&&&&&&u?2x?3y&&&&&&&&，&&&&&&&&1?&&&&&&&&1u&&&&2&&&&&&&&ce&&&&&&&&x&&&&&&&&4&&&&&&&&u?42u?5&&&&&&&&，则&&&&dudx?7u?222u?5&&&&&&&&即&&&&x?y?cye&&&&222x&&&&4&&&&&&&&为方程的解。29.&&&&dydx?&&&&xy&&&&&&&&，&&&&2u?57u?22du?dx&&&&&&&&yx&&&&&&&&?e&&&&&&&&xy&&&&&&&&，&&&&1?9114u?7=dx2227&&&&&&&&解：令e&&&&&&&&?u，则y?&&&&&&&&lnux&&&&&&&&，&&&&?lnuudx?2dxxxdu&&&&&&&&dy&&&&&&&&，两&&&&&&&&边&&&&227&&&&&&&&积&&&&?14(3y?32&&&&&&&&分&&&&x)?c&&&&&&&&得&&&&&&&&，那&&&&1duuxdx?lnux&&&&2&&&&&&&&么&&&&?lnux&&&&2&&&&&&&&9ln2x?3y?&&&&&&&&?u&&&&&&&&即&&&&du227?0也u1&&&&2&&&&&&&&即为方程的通解。另外，7u?22?0，2x?3y?即是方程的解。28.&&&&xdydx?y?2xy(y?x)&&&&222&&&&&&&&?xdx&&&&&&&&两&&&&x?e&&&&2&&&&&&&&边&&&&?xy&&&&&&&&积&&&&&&&&分&&&&&&&&得&&&&&&&&?c&&&&&&&&2&&&&&&&&即为方程的解。30.&&&&dydx?4x?2xy?2x&&&&33&&&&&&&&解：两边同除以x，方程可化为：&&&&dydxyx&&&&yx?u，则&&&&&&&&3xy?6y?3y&&&&225&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&?2xy(y?x)&&&&22&&&&&&&&解&&&&3&&&&&&&&：&&&&3&&&&&&&&方&&&&&&&&程&&&&2&&&&&&&&可&&&&2&&&&&&&&化&&&&6y?&&&&5&&&&&&&&为&&&&3y)dy?&&&&2&&&&&&&&令&&&&&&&&(4x?2xy?2x)d?x&&&&&&&&(3xy?&&&&&&&&0&&&&&&&&x&&&&&&&&dudx&&&&&&&&?u?u?2ux(ux?x)&&&&2222&&&&&&&&d(x?x)?(ydx?xdy)?d(y?y)?0&&&&&&&&&&&&即&&&&dudx?2x(u?u)，&&&&33&&&&&&&&两&&&&42&&&&&&&&边&&&&63&&&&&&&&积&&&&23&&&&&&&&分&&&&&&&&得&&&&&&&&duu?u&&&&3&&&&&&&&x?x?y?y?xy?c&&&&&&&&?2xdx&&&&3&&&&&&&&即&&&&x?x?c?(x?1)(y?1)&&&&4623&&&&&&&&(&&&&&&&&13?)du?2xdx2(u?1)2(u?1)u?&&&&&&&&1&&&&&&&&1&&&&&&&&为方程的解。31.&&&&y(xdx?ydy)?x(ydx?xdy)?0&&&&2&&&&&&&&两&&&&&&&&边&&&&&&&&积&&&&&&&&分&&&&&&&&得&&&&&&&&解&&&&&&&&：&&&&&&&&方&&&&&&&&程&&&&&&&&可&&&&&&&&化&&&&&&&&为&&&&&&&&12&&&&&&&&yxdx?ydy?xydx?xdy?0&&&&232&&&&&&&&d(xy)dx&&&&&&&&?x&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?y?&&&&&&&&(x?y)(xy?1)&&&&22&&&&&&&&1?xy&&&&3&&&&&&&&两&&&&&&&&边&&&&&&&&同&&&&&&&&除&&&&&&&&以&&&&&&&&y&&&&&&&&2&&&&&&&&，&&&&&&&&得将（*&&&&?&&&&&&&&xdx?ydx?&&&&&&&&x(ydx?xdy)y&&&&2&&&&&&&&）&&&&&&&&（**）/（**&&&&&&&&）&&&&&&&&得&&&&&&&&?0&&&&&&&&d(x?y)d(xy)&&&&&&&&xy(x?y)xy?1&&&&22&&&&&&&&即&&&&12d(x?y)?x&&&&22&&&&&&&&dxdy&&&&&&&&即&&&&?0&&&&&&&&dudv&&&&&&&&?&&&&&&&&uvv?1&&&&2&&&&&&&&令xcos?，ysin?，则&&&&&&&&整&&&&duu?vv?1&&&&2&&&&&&&&理&&&&dv&&&&&&&&得&&&&&&&&?d?cos?dctg0&&&&&&&&两&&&&2&&&&&&&&边&&&&&&&&积&&&&&&&&分&&&&&&&&得即&&&&&&&&即&&&&?d&&&&dsin?sin?&&&&2&&&&&&&&v?1?cu&&&&?0&&&&c(x?y)?xy?1&&&&22&&&&&&&&两&&&&?&&&&1&&&&&&&&边&&&&?c.将&&&&&&&&积&&&&1sin&&&&&&&&分&&&&?&&&&y&&&&&&&&得&&&&&&&&另外，x?y?0也是方程的解。33.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至v1?3米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。&&&&&&&&sin?&&&&&&&&代入得，&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&y&&&&&&&&?c&&&&&&&&即&&&&?(y?1)?cy&&&&2222&&&&&&&&解：F?ma?m&&&&&&&&dvdt&&&&&&&&，又F?k1v，由此&&&&&&&&故&&&&(x?y)(y?1)?cy&&&&222222&&&&&&&&m&&&&&&&&dvdt&&&&&&&&?k1v&&&&&&&&32.解&&&&dydx?&&&&&&&&dydx&&&&&&&&?&&&&&&&&1?xy&&&&3&&&&&&&&3&&&&&&&&即&&&&?0&&&&dvdt?kvk1m&&&&&&&&1?xy&&&&&&&&：&&&&?1?xy1?xy&&&&33&&&&&&&&方&&&&&&&&程&&&&&&&&可&&&&&&&&化&&&&&&&&为&&&&&&&&其中k?&&&&&&&&，解之得&&&&&&&&两边同加上1，得&&&&lnv?kt?c&&&&&&&&d(x?y)dx&&&&&&&&?&&&&&&&&xy(x?y)&&&&22&&&&&&&&1?xy&&&&3&&&&&&&&又t?0时，v?5；t?2时，v?3。故得&&&&k?120ln35&&&&&&&&（*）再由d(xy)?xdy?ydx，可知&&&&&&&&，c?ln5&&&&&&&&13&&&&&&&&从&&&&v?5()53&&&&&&&&而&&&&t20&&&&&&&&方&&&&&&&&程&&&&&&&&可&&&&&&&&化&&&&&&&&为&&&&&&&&dxdt&&&&n&&&&&&&&n&&&&&&&&?a1?t?&&&&&&&&d&&&&&&&&n?1&&&&&&&&x&&&&&&&&dt&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?an?t?x?&&&&&&&&f1?t?&&&&&&&&（1）&&&&t?2?60?120&&&&12020&&&&&&&&当&&&&&&&&时&&&&&&&&，&&&&&&&&有&&&&dxdt&&&&nn&&&&&&&&3v(20)?5?()5&&&&&&&&?0.23328米/秒&&&&&&&&?a1?t?&&&&&&&&d&&&&&&&&n?1&&&&&&&&x&&&&&&&&dt&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?an?t?x?&&&&&&&&f2?t?&&&&&&&&即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速&&&&&&&&（2）的解，则x1?t?+x2?t?是方程&&&&dx&&&&n&&&&&&&&习题4.1&&&&1.设x?t?和y?t?是区间a?t?b上的连续函数，证明：如果在区间a?t?b上有&&&&x?t?y?t常数或dt&&&&n&&&&&&&&?a1?t?&&&&&&&&d&&&&&&&&n?1&&&&&&&&x&&&&&&&&dt&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?an?t?x?f1?t?+&&&&&&&&f2?t?的解。&&&&&&&&y?t?x?t?&&&&&&&&常数，则x?t?和&&&&&&&&证明：由题可知x1?t?，x2?t?分别是方程（1）（2）的解，则&&&&dx1?t?&&&&n&&&&&&&&y?t?在区间a?t?b上线形无关。&&&&&&&&：&&&&x1?t?&&&&n?1&&&&&&&&证明：假设在x?t?，y?t?在区间a?t?b上线形相关则存在不全为零的常数?，?，使得?x?t?y?t0那么不妨设x?t?不为零，则有&&&&y?t?x?t?&&&&&&&&dt&&&&&&&&n&&&&&&&&?a1?t?&&&&&&&&d&&&&&&&&n?1&&&&&&&&dt&&&&&&&&?an?t?x1?tf1?t?&&&&&&&&（3）&&&&dx2?t?&&&&nn?1&&&&&&&&dt&&&&&&&&n&&&&&&&&?a1?t?&&&&&&&&d&&&&&&&&x2?t?&&&&n?1&&&&&&&&dt&&&&&&&&?an?t?x2?tf2?t?&&&&&&&&（4）那么由（3）+（4）得：&&&&d?x1?tx2?t&&&&n&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&dt&&&&&&&&n&&&&&&&&?a1?t?&&&&&&&&d&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?x1?tx2?t&&&&dt&&&&n?1&&&&&&&&?an?tx1?tx2?t?&&&&&&&&显然?&&&&&&&&为常数，与题矛盾，即假&&&&&&&&f1?t?+f2?t?&&&&&&&&即设不成立x?t?，y?t?在区间a?t?b上线形无关2.证明非齐线形方程的叠加原理：设&&&&x1?t?，x2?t?分别是非齐线形方程&&&&dxdt&&&&nn&&&&&&&&x1?t?&&&&&&&&+&&&&d&&&&&&&&x2?t?&&&&n?1&&&&&&&&是方程是&&&&&&&&?a1?t?&&&&&&&&x&&&&&&&&dt&&&&&&&&n?1&&&&&&&&?an?t?x?&&&&&&&&f1?t?+f2?t?的解。&&&&dxdt&&&&22&&&&&&&&3.试验证&&&&&&&&?x?0的基本解组为&&&&&&&&14&&&&&&&&e,e&&&&&&&&t&&&&&&&&?t&&&&&&&&，并求方程&&&&&&&&dxdt&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&?x?cost的通&&&&&&&&dtdt&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&t&&&&&&&&dt&&&&&&&&1?tdt&&&&&&&&?&&&&&&&&11?t&&&&&&&&t?&&&&&&&&t1?t&&&&&&&&?&&&&&&&&t1?t&&&&&&&&?0&&&&&&&&解。证明：由题将e代入方程&&&&t&&&&&&&&，即t为该方程的解&&&&dxdt&&&&22&&&&&&&&?x?0得：&&&&&&&&同理e也是该方程的解，又显然t，&&&&e&&&&t&&&&&&&&t&&&&&&&&线形无关，故t，e&&&&2&&&&&&&&t&&&&&&&&是方程&&&&&&&&e-e=0,即e是该方程的解，&&&&dx&&&&&&&&t&&&&&&&&t&&&&&&&&t&&&&&&&&同理求得e&&&&t&&&&&&&&?t&&&&&&&&也是该方程的解线形无关，故e,e&&&&t?t&&&&&&&&dt&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&t&&&&&&&&dx&&&&&&&&1?tdt&&&&&&&&?&&&&&&&&11?t&&&&&&&&x?0的基本解组&&&&&&&&又显然e,e&&&&dxdt&&&&22&&&&&&&&?t&&&&&&&&由题可设所求通解为&&&&x?tc1?t?t?c2?t?e，则有：&&&&t&&&&&&&&是&&&&&&&&?x?0的基本解组。&&&&&&&&?ct?et?ct?e?t?0?12c1?t?et?c2?t?e?t?cost?&&&&&&&&?ct?t?ct?et?0?12c1?tc2?t?et?t?1?&&&&&&&&由题可设所求通解为：&&&&x?tc1?t?e?c2?t?e&&&&t?t&&&&&&&&解&&&&&&&&之&&&&&&&&得&&&&&&&&：&&&&?t&&&&&&&&，则有：&&&&&&&&c1?t?t?c1,c2?t?te&&&&&&&&?&&&&&&&&?t&&&&&&&&?e&&&&&&&&c&&&&&&&&2&&&&&&&&故解之得：&&&&&&&&所&&&&t&&&&&&&&求&&&&2&&&&&&&&通&&&&&&&&解&&&&&&&&为&&&&&&&&x?tc1t?c2et?1?&&&&&&&&1?t1t2dxc1?t?e?ct?sotc1i;cs2?t?e?ct?sotc2isnn?x?0的基本解组为5.以知方程442dt&&&&&&&&故&&&&t&&&&&&&&所&&&&?t&&&&&&&&求&&&&?&&&&t&&&&&&&&通&&&&12&&&&dx?&&&&&&&&解&&&&tos&&&&11?t&&&&&&&&为&&&&&&&&：&&&&&&&&e,e&&&&&&&&t&&&&&&&&?t&&&&&&&&，求此方程适合初始条件&&&&&&&&x?tc1e?c2e&&&&dxdt&&&&22&&&&&&&&c&&&&&&&&x?01,x00及x?00,x01&&&&x?0有&&&&&&&&4.试验证&&&&&&&&?&&&&&&&&1?tdt&&&&t&&&&&&&&的基本解组（称为标准基本解组，即有&&&&w?01）并求出方程的适合初始条件&&&&&&&&基本解组t，e，并求方程&&&&dxdt&&&&22&&&&&&&&?x?0x0,x0x0的解。&&&&?t&&&&&&&&?&&&&&&&&t&&&&&&&&dx&&&&&&&&1?tdt&&&&&&&&?&&&&&&&&11?t&&&&&&&&x?t-1的通解。&&&&&&&&e解：,e时间方程&&&&&&&&t&&&&&&&&dxdt&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&?x?0的基本解&&&&&&&&解：由题将&&&&&&&&t&&&&&&&&代入方程&&&&&&&&dxdt&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&t&&&&&&&&dx&&&&&&&&1?tdt&&&&&&&&?&&&&&&&&11?t&&&&&&&&x?0得：&&&&&&&&组，故存在常数c1,c2使得：&&&&x?tc1e?c2e&&&&t?t&&&&&&&&15&&&&&&&&于是：xtc1e?c2e&&&&t&&&&&&&&?t&&&&&&&&习题4.2&&&&1.解下列方程&&&&&&&&令t=0,则有方程适合初始条件&&&&x?01,x00，于是有：&&&&?c1e0?c2e0?100?c1e?c2e?0?&&&&&&&&解&&&&12&&&&&&&&得&&&&12&&&&&&&&：&&&&&&&&（1）x解&&&&42&&&&&&&&(4)&&&&&&&&?5x?4x?0&&&&特征方程&&&&&&&&c1?&&&&&&&&12&&&&&&&&,c2?&&&&&&&&12&&&&&&&&故x?t&&&&&&&&e?&&&&t&&&&&&&&e&&&&&&&&?t&&&&&&&&：&&&&&&&&又该方程适合初始条件&&&&x?00,x01，于是：&&&&?c1e0?c2e0?000?c1e?c2e?1?&&&&&&&&54?0有根?1?2，?22，?3?1，?41&&&&&&&&故&&&&解&&&&12&&&&&&&&通&&&&?2t&&&&&&&&解&&&&?c3e?c4e&&&&t&&&&&&&&为&&&&?t&&&&&&&&得&&&&12&&&&&&&&：&&&&&&&&x=c1e?c2e&&&&2t&&&&&&&&c1?&&&&&&&&12&&&&&&&&,c2&&&&&&&&12&&&&&&&&故x?t&&&&&&&&e?&&&&t&&&&&&&&e&&&&&&&&?t&&&&&&&&(2)&&&&x3ax?3axax?0&&&&23&&&&&&&&显然x1?t?，x2?t?线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：&&&&x?t1e?&&&&t&&&&&&&&1&&&&&&&&解&&&&，&&&&3&&&&&&&&：&&&&2&&&&&&&&特&&&&23&&&&&&&&征&&&&&&&&方&&&&&&&&程&&&&&&&&e&&&&&&&&?t&&&&&&&&221t1?tx?te?e22&&&&&&&&3a3aa?0&&&&&&&&而此方程同时满足初始条件&&&&?x?0x0,x0x0，于是：&&&&&&&&有三重根x=ce&&&&1at&&&&&&&&a&&&&2&&&&&&&&.故通解为&&&&at&&&&&&&&?c2te&&&&&&&&at&&&&&&&&?c3te&&&&&&&&?c1e0?c2e0?x0?00?c1e?c2e?x0?&&&&c1?x0?x02?,c2?x0?x02&&&&&&&&解&&&&&&&&得&&&&&&&&：&&&&&&&&（3）x&&&&&&&&(5)&&&&&&&&?4x0&&&&5&&&&&&&&解：特征方程?&&&&x0?x02?e&&&&?t&&&&&&&&?40&&&&3&&&&&&&&,有三&&&&&&&&重根?&&&&&&&&?0&&&&&&&&，?&&&&&&&&4&&&&&&&&?&&&&&&&&2，?&&&&&&&&5&&&&&&&&?&&&&&&&&-2为&&&&&&&&故x?t满足要求的解。&&&&&&&&x0?x02&&&&&&&&e?&&&&t&&&&&&&&故&&&&2t&&&&&&&&通&&&&?2t&&&&&&&&解&&&&2&&&&&&&&x?c1e?c2e?c3t?c4t?c5&&&&（4）x?2x10x?0解：特征方程?&&&&2&&&&&&&&?210?0&&&&&&&&有&&&&16&&&&&&&&复数根?&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&-1+3i,?通&&&&?t&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&-1-3i解为&&&&&&&&故通解为s=c(7)&&&&&&&&1&&&&&&&&?c2t&&&&&&&&-&&&&&&&&16&&&&&&&&t(t?3)&&&&2&&&&&&&&故&&&&x?c1e&&&&?t&&&&&&&&x4x?5x2x?2t?3&&&&3&&&&&&&&cos3t?c2e&&&&&&&&sin3t&&&&&&&&解：特征方程?有根?有复&&&&3i,&&&&1&&&&&&&&?452?0&&&&2&&&&&&&&(5)x?xx?0解：特征方程?数根?故&&&&x?c1e&&&&1?t2&&&&1&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&2,两重根1&&&&&&&&?1?0&&&&?1?2&&&&&&&&齐线性方程的通解为x=ce&&&&12t&&&&&&&&?&&&&&&&&?1?2&&&&&&&&3i&&&&&&&&,?2?&&&&&&&&?c2e?c3te&&&&t&&&&&&&&t&&&&&&&&通&&&&cos32&&&&&&&&解&&&&t?c2e&&&&1?t2&&&&&&&&为&&&&sin32t&&&&&&&&又因为0不是特征根，故&&&&x可以取特解行如~?A?Bt&&&&&&&&代&&&&&&&&入原方程解得A=-4，B=-1故x=ce&&&&12t&&&&&&&&通&&&&?c2e?c3te&&&&tt&&&&&&&&解-4-t&&&&2&&&&&&&&为&&&&&&&&(6)&&&&&&&&2s?as?t?1&&&&&&&&解：特征方程?&&&&?1?a,?2?-a&&&&&&&&2&&&&&&&&?a&&&&&&&&2&&&&&&&&?0&&&&&&&&有根&&&&&&&&(8)解&&&&4&&&&&&&&x&&&&&&&&(4)&&&&&&&&?2x?x?t&&&&&&&&?3&&&&&&&&：&&&&2&&&&&&&&特&&&&&&&&征&&&&&&&&方&&&&&&&&程&&&&&&&&21?0有2重根1，重根?12&&&&&&&&当a?0时，齐线性方程的通解为s=ce&&&&1at&&&&&&&&?c2e&&&&&&&&?at&&&&&&&&~?A?Bts&&&&&&&&代入原方程解得&&&&1a&&&&2&&&&&&&&故齐线性方程的通解为x=ce&&&&1t&&&&&&&&?c2te?c3e&&&&t&&&&&&&&?t&&&&&&&&?c4te&&&&2&&&&&&&&?t&&&&&&&&A?B&&&&&&&&故s=ce&&&&1at&&&&&&&&通&&&&?c2e&&&&?at&&&&&&&&解1a&&&&2&&&&&&&&为&&&&&&&&x取特解行如~?&&&&&&&&At&&&&&&&&?Bt?c&&&&&&&&代入&&&&&&&&原方程解得A=1，B=0,C=1故x=ce&&&&1t&&&&&&&&(t?1)&&&&&&&&当a=0时,方程解得?&&&&&&&&~?t2(?t)s12&&&&1&&&&&&&&代入原&&&&&&&&通&&&&?c2te?c3e&&&&t?t&&&&&&&&解&&&&?c4te&&&&?t&&&&&&&&为+t&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&16&&&&&&&&,?&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&?1&&&&&&&&(9)xx?cost&&&&17&&&&&&&&解：特征方程?根&&&&?1?&&&&?1?23i,?2?&&&&&&&&3&&&&&&&&?1?0&&&&&&&&有复数&&&&&&&&x=ce&&&&1&&&&&&&&t&&&&&&&&?c2e&&&&&&&&?2t&&&&&&&&?&&&&&&&&25&&&&&&&&cos2t?&&&&t&&&&&&&&65&&&&&&&&sin2t&&&&&&&&（11）xx?e&&&&?1?23i,?3?1&&&&&&&&解：特征方程?根&&&&?1?&&&&?1?23i,?2?&&&&&&&&3&&&&&&&&?1?0&&&&&&&&有复数&&&&&&&&故齐线性方程的通解为&&&&x?c1e&&&&?12t&&&&&&&&?1?2&&&&&&&&3i&&&&&&&&cos&&&&&&&&32&&&&&&&&t?c2e&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&t&&&&&&&&sin&&&&&&&&32&&&&&&&&,?3?1&&&&&&&&t?c3e&&&&&&&&t&&&&&&&&故齐线性方程的通解为代&&&&x?c1e&&&&?12t&&&&&&&&取特解行如&&&&&&&&~?Acost?Bsintx&&&&&&&&cos&&&&&&&&32&&&&&&&&t?c2e&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&t&&&&&&&&sin&&&&&&&&32&&&&&&&&t?c3e&&&&&&&&t&&&&&&&&入原方程解得A=1,B1&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&1&&&&&&&&是特征方程的根，代入原方程解得&&&&&&&&故&&&&x?c1e&&&&?12t&&&&&&&&通&&&&cos32t?c2e&&&&?&&&&&&&&解&&&&12t&&&&&&&&为&&&&32t?c3e&&&&t&&&&&&&&故&&&&&&&&~?Atex&&&&&&&&t&&&&&&&&sin&&&&&&&&A=1故&&&&&&&&3&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&通&&&&?12t&&&&&&&&解&&&&3t?c2e&&&&?12t&&&&&&&&为&&&&32t?c3e&&&&t&&&&&&&&(cost?sint)&&&&x?x2x?8sin2t&&&&2&&&&&&&&(10)&&&&&&&&x?c1e&&&&&&&&cos&&&&&&&&sin&&&&&&&&2&&&&&&&&解：特征方程?&&&&?1?-2,?2?1&&&&&&&&?2?0&&&&&&&&有根&&&&&&&&+1te&&&&3&&&&&&&&t&&&&&&&&（12）s?2asa解：特征方程?2重根-a&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&s?e&&&&&&&&t&&&&&&&&故齐线性方程的通解为x=ce&&&&1t&&&&&&&&?2aa&&&&&&&&2&&&&&&&&?0&&&&&&&&有&&&&&&&&?c2e&&&&&&&&?2t&&&&&&&&因为+-2i不是特征根&&&&x取特解行如~?Acos2t?Bsin2t&&&&&&&&当a=-1时，齐线性方程的通解为s=ce&&&&1t&&&&&&&&?c2te&&&&&&&&t&&&&&&&&,&&&&&&&&代入原方程解得A=?2,B6&&&&55&&&&&&&&1&&&&&&&&是特征方程的2重根，&&&&Ate&&&&2t&&&&&&&&x故~?&&&&&&&&代入原方程解得&&&&&&&&故&&&&&&&&通&&&&&&&&解&&&&&&&&为&&&&18&&&&&&&&A=1&&&&&&&&2&&&&t1&&&&&&&&x?c1ecos&&&&t&&&&&&&&2t?c2esin&&&&t&&&&&&&&2t&&&&&&&&通解为s=ce&&&&&&&&?c2te&&&&&&&&t&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&t&&&&&&&&2&&&&&&&&,&&&&&&&&?1?i&&&&&&&&不是特征方程的根,取&&&&~?(Acost?Bsint)e?tx&&&&&&&&当a?-1时，齐线性方程的通解为s=ce&&&&1?at&&&&&&&&特解行如&&&&&&&&?c2te&&&&&&&&?at&&&&&&&&,&&&&&&&&代入原方程解得A=故&&&&x?c1ecos&&&&t&&&&&&&&1&&&&~?Aex&&&&&&&&不是特征方程的根，故&&&&t&&&&&&&&541&&&&&&&&,B&&&&&&&&441&&&&&&&&代入原方程解得&&&&1&&&&2&&&&&&&&通&&&&t&&&&&&&&解&&&&2t&&&&&&&&为+&&&&&&&&A=故&&&&&&&&2t?c2esin&&&&&&&&(a?1)&&&&&&&&(&&&&&&&&541&&&&&&&&cost?&&&&&&&&441&&&&&&&&sint)e&&&&&&&&?t&&&&&&&&通&&&&?at1&&&&&&&&解&&&&?at&&&&&&&&为&&&&e&&&&t&&&&&&&&(15)s=ce&&&&?c2te&&&&&&&&x?x?sint?cos2t&&&&2&&&&&&&&+&&&&&&&&1(a?1)&&&&2&&&&&&&&解：特征方程?&&&&?1?i,?2?-&&&&&&&&?1?0&&&&&&&&有根&&&&&&&&（13）x?6x5x?e解：特征方程?&&&&?1?-1,?2?-5&&&&2&&&&&&&&2t&&&&&&&&i&&&&&&&&?65?0&&&&&&&&有根&&&&&&&&故齐线性方程的通解为&&&&x?c1cost?c2sint&&&&x?x?sint&&&&&&&&故齐线性方程的通解为x=ce&&&&1?t&&&&&&&&,?&&&&&&&&1&&&&&&&&?&&&&&&&&i,是方程的解代入原方程&&&&&&&&?c2e&&&&&&&&?5t&&&&&&&&~?t(Acost?Bsint)x&&&&&&&&2&&&&~?Aex&&&&&&&&不是特征方程的根，故&&&&2t&&&&&&&&解得A=?&&&&12xB=0故~1tcos2t&&&&&&&&代入原方程解得A=&&&&?t1&&&&&&&&121&&&&2t&&&&&&&&故通解为x=ce&&&&&&&&?c2e&&&&?t&&&&&&&&?5t&&&&&&&&+&&&&&&&&121&&&&&&&&e&&&&&&&&x?xcos2t&&&&&&&&（14）x?2x3x?e解：特征方程?&&&&?1?-1+2&&&&2&&&&&&&&~?Acos2t?Bsin2tx&&&&&&&&代入原方程&&&&&&&&cost&&&&&&&&?23?0&&&&&&&&有根&&&&&&&&解得&&&&xA=1B=0故~?1cos&&&&3&&&&&&&&2t&&&&&&&&i,?&&&&&&&&2&&&&&&&&?&&&&&&&&-1-&&&&&&&&2&&&&&&&&i&&&&&&&&3&&&&&&&&故齐线性方程的通解为&&&&&&&&故&&&&&&&&通&&&&&&&&解&&&&&&&&为&&&&&&&&19&&&&&&&&x?c1cost?c2sint&&&&&&&&?&&&&&&&&12&&&&&&&&tcost&&&&&&&&?&&&&&&&&13&&&&&&&&?0?1&&&&&&&&1cost0?0?sint?1&&&&&&&&10?&&&&&&&&u(t)=?&&&&?0?1?&&&&&&&&cos2t&&&&&&&&又v(0)=?v&&&&&&&&&&&&?sino?cos0?&&&&&&&&(t)=&&&&10?&&&&&&&&习题5.1&&&&1.给定方程组x&&&&‘&&&&&&&&?cost?sint?&&&&&&&&=&&&&&&&&?0－1&&&&&&&&1sint0?=?0cost－1&&&&&&&&v(t)&&&&&&&&=&&&&&&&&?0－1&&&&&&&&10?&&&&&&&&x&&&&&&&&x=&&&&&&&&?x1x2?&&&&&&&&因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b)w(0)=c1u(0)+c2u(0)=&&&&?01?&&&&&&&&（*）a)u(t)=?试&&&&?costsint?&&&&&&&&验&&&&?sint?cost?&&&&&&&&证分别是方&&&&?1?c1?0?&&&&&&&&+c2&&&&&&&&=?&&&&&&&&,v(t)=?&&&&&&&&?c1?c2?&&&&&&&&w(t)=程组（*）的满足初始条件v(t)u(0)=?&&&&?1?00?1?&&&&&&&&c1&&&&&&&&u(t)+&&&&&&&&c2&&&&&&&&,v(0)=?&&&&&&&&的解.&&&&&&&&=&&&&sintcost?c1+c2cost?sint?&&&&&&&&b)试验证w(t)＝c1u(t)+c2v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=?常数.解：a)u(0)=?&&&&?cos0sin0?&&&&&&&&?c1?c2?&&&&&&&&的解，其中c1,c2是任意&&&&&&&&=?&&&&&&&&?－c1sint?c2costc1cost?c2sint?&&&&&&&&=?&&&&&&&&?1?0?&&&&&&&&=?&&&&&&&&?0?－1&&&&&&&&1c1cost?c2sint0?c1sint?c2cost?&&&&&&&&u&&&&&&&&&&&&&&&&(t)=&&&&&&&&sin?cos&&&&&&&&tt?&&&&&&&&=?=&&&&&&&&?0?－1&&&&&&&&10?&&&&&&&&w(t)&&&&&&&&因此w(t)是给定方程初值&&&&20&&&&&&&&问题的解.2.将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：&&&&x4&&&&&&&&其中x＝?b)令x1＝x＝x则得：&&&&&&&&?x1?x2?&&&&&&&&.&&&&x3＝x&&&&&&&&&&&&x2&&&&&&&&＝x&&&&&&&&a)x‘’+2x‘+7tx=ex‘(1)=-2b)x&&&&（4）&&&&&&&&－t&&&&&&&&,x(1)=7,&&&&&&&&+x=te&&&&&&&&t&&&&&&&&,x(0)=1,&&&&&&&&?x1?x?x2?x2?x?x3x3?x?x4xx?tetx?tet1?4&&&&&&&&’x‘(0)=-1,x‘’(0)=2,x‘‘(0)=0&&&&&&&&且&&&&x2&&&&&&&&x1&&&&&&&&(0)=x(0)=1,&&&&&&&&&&&&c)&&&&&&&&’?x‘＋5y’7x＋6y＝et－?‘’‘?y－2y＋13y－15x＝cost&&&&&&&&=x(0)=-1,&&&&x4&&&&&&&&x3(0)=x&&&&x&&&&&&&&&&&&(0)=2,&&&&&&&&(0)=&&&&&&&&(0)=0&&&&&&&&x(0)=1,于是把原初值问题化成了与x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1之等价的一阶方程的初值问题：解：a）令x1＝x,x2=x‘,得&&&&?x?x?x2t?x2?x7tx1?2x2?e&&&&1&&&&&&&&‘&&&&&&&&‘&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&&&&&=&&&&&&&&即&&&&?x107t?x2?&&&&&&&&&&&&?0?00－1&&&&&&&&1000&&&&&&&&0100&&&&&&&&0000?x＋?0?1?t?0te?&&&&&&&&1x10?t2x2e?&&&&&&&&又x1＝x(1)=7x‘(1)=-2&&&&&&&&x&&&&&&&&2&&&&&&&&(1)=&&&&&&&&?1?－1x(0)=?20?&&&&&&&&,其中&&&&&&&&?x1?xx=?2x3x4?&&&&2&&&&&&&&.&&&&&&&&c)令w1＝x，w＝x，w3＝y，w4＝y‘，则原初值问题可化为：&&&&?w1?x?w2?t?w2?x5w4?7w1?6w3?e?w3?y?w4w?y?2w?13w?15w?cost341?4&&&&&&&&于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：xx(1)＝?&&&&‘&&&&&&&&＝&&&&&&&&?0－7&&&&&&&&10x＋t?,－2e?&&&&&&&&?72?&&&&21&&&&&&&&?w1(0)?x(0)?1w2(0)?x(0)?0且w3(0)?y(0)?0?w(0)?y(0)?1?4&&&&&&&&?2?2&&&&&&&&(t)表示t?第二列，我们有(t)=&&&&?10?&&&&&&&&=&&&&&&&&?0?22?t&&&&&&&&1?22?t?&&&&&&&&(t)这样&&&&&&&&即&&&&?0?w7?00t?5e?w?0113cos?t?&&&&&&&&?2&&&&&&&&(t)也是一个解。因此t?是解&&&&&&&&矩阵。又因为dett?=-t2故t?是基解矩阵。&&&&&&&&?1?0w(0)=?01?&&&&&&&&其中&&&&&&&&?w1?w?2?w＝?w3w4?&&&&&&&&3.设A(t)为区间a?t?b上的连续&&&&?n?n实矩阵，?t?为方程x=A(t)x&&&&&&&&的基解矩阵，x=?(t)为其一解，而&&&&&&&&题5.2&&&&?t1.试验证t?=2t&&&&2&&&&&&&&试证：&&&&&&&&习&&&&&&&&a)对于方程y=-AT(t)y的任一解y=?(t)必有?&&&&t1?&&&&T&&&&&&&&(t)&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)=常&&&&&&&&数；程组b)?(t)为方程y=-AT(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使?T(t)解a)[&&&&?&&&&T&&&&&&&&是x=&&&&?02?t2?&&&&&&&&方&&&&1?2?t&&&&&&&&x,x=?&&&&&&&&?x1?x2?&&&&&&&&，在任何不&&&&&&&&?&&&&?&&&&T&&&&&&&&(t)=C.&&&&T&&&&&&&&&&&&包含原点的区间a?t?b上的基解(t)&&&&?&&&&&&&&(t)]=&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)+(t)+&&&&&&&&矩阵。&&&&?&&&&T&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&(t)=&&&&&&&&?&&&&&&&&?t?解：t?的第一列为?1(t)=令?2t?&&&&2&&&&&&&&,&&&&&&&&?&&&&&&&&T&&&&&&&&(t)A(t)?&&&&?&&&&&&&&这时?1(t)=&&&&&&&&?2t2?&&&&&&&&=?&&&&?&&&&&&&&?02t&&&&2&&&&&&&&1?2t?&&&&&&&&?1&&&&&&&&(t)&&&&&&&&又因为?=-AT(t)&&&&?&&&&T&&&&&&&&(t)，所以&&&&&&&&=-?T(t)A(t)&&&&T&&&&&&&&故?1(t)是一个解。同样如果以[&&&&?&&&&&&&&(t)&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)]&&&&&&&&&&&&&&&&=-&&&&&&&&?&&&&&&&&T&&&&&&&&(t)&&&&22&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)A(t)+&&&&&&&&?&&&&&&&&T&&&&&&&&(t)A(t)&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)=0,&&&&&&&&所以对于方程y=-AT(t)y的任一解y=?(t)必有?(t)&&&&T&&&&&&&&?0?f(t)2te?&&&&&&&&满足初始条件&&&&?&&&&&&&&(t)=常数&&&&?(0)&&&&?11?&&&&&&&&b)“?”假设为方程y=-AT(t)y的基解矩阵，则[&&&&?&&&&T&&&&&&&&的解?(t)。&&&&?&&&&T&&&&&&&&(t)&&&&?&&&&T&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)]=[&&&&?&&&&T&&&&&&&&(t)]&&&&T&&&&&&&&&&&&&&&&解：由第7题可知x矩阵则&&&&?e2t?(t)?0tee&&&&&&&&?Ax&&&&2t2t&&&&&&&&的基解&&&&&&&&t?&&&&&&&&&&&&+&&&&&&&&(t)&&&&?&&&&&&&&(t)=[-A&&&&T&&&&&&&&(t)&&&&&&&&(t)]t?+&&&&T&&&&&&&&(t)A(t))t?+&&&&?&&&&T&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)[A(t)&&&&T&&&&&&&&?&&&&T&&&&&&&&(t)]=-&&&&&&&&(t)A(t)&&&&TT&&&&&&&&t?+?&&&&&&&&(t)A(t)&&&&&&&&t?=0,故?&&&&&&&&(t)&&&&&&&&?&&&&&&&&?1&&&&&&&&(s)?&&&&&&&&?e2s0?e&&&&&&&&?see&&&&4s2s&&&&&&&&2s&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)=C则有&&&&&&&&?1?0?&&&&&&&&?s2s?e1&&&&&&&&若方程满足初始条件?(0)?0“?”若存在非奇异常数矩阵C，detc?0,使?(t)&&&&T&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)=C，&&&&&&&&&&&&则[&&&&&&&&T&&&&&&&&?&&&&&&&&T&&&&&&&&(t)&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)]=&&&&?&&&&T&&&&&&&&&&&&?&&&&T&&&&&&&&&&&&T&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)+&&&&&&&&?e2t?(t)(t)(s)f(s)ds?00?&&&&t?1&&&&&&&&2tte?t?12te?0?0?&&&&&&&&?122ts2s?0tee?2s?ds?2e1te2t&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&&&&&(t)=0，故&&&&?&&&&&&&&(t)?(t)=?&&&&T&&&&&&&&T&&&&&&&&(t)&&&&&&&&(t)A(t)&&&&T&&&&&&&&?&&&&&&&&(t)=?&&&&T&&&&&&&&(t)若?(0)?则&&&&t?11?1?(t)(t)?(0)(t)(s)f(s)ds1?0&&&&&&&&A(t)所以?&&&&?&&&&&&&&&&&&(t)=-&&&&&&&&(t)A(t),&&&&&&&&?1?1?&&&&&&&&(t)=-&&&&&&&&?&&&&&&&&T&&&&&&&&(t)AT(t)即?(t)为方&&&&&&&&有&&&&1?1e2tte2t1t2e2t(1?t?t2)e2t?2?2?0e2t?12tte(t?1)e2t?&&&&&&&&程y=-AT(t)y的基解矩阵8、试求x&&&&?2A?0&&&&&&&&?Ax?f(t)，其中&&&&&&&&12?&&&&&&&&?x1?xx2?&&&&&&&&习题5.3&&&&1、试证：如果?(t)是x=Ax满足初始条件&&&&&&&&&&&&23&&&&&&&&?(t0)＝?的解，那么&&&&?(t)＝[expA(t-t0)]?&&&&&&&&证明：由定理8可知?(t)＝Ф(t)Ф(t0)?＋Ф(t)(s)f(s)ds&&&&-1t0t&&&&&&&&-1&&&&&&&&2?1∴?0?＝?＋0?423?&&&&&&&&?&&&&&&&&解&&&&14?12?1?412?1?v1412?&&&&&&&&得&&&&?12?1?v2?41?2?&&&&&&&&又因为Ф(t)=expAt,Ф(t0)=(expAt0)-1=exp(-At0),f(s)=0,又因为矩阵（At）（-At0）=（?At0）（At）?&&&&-1&&&&&&&&所以?(t)＝[expA(t-t0)]?5、试求方程组x=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件?(0)的解?(t)&&&&?1a)A?41?b)A8?51?c)A1?2??1111?1&&&&&&&&&&&&?(t)?eEv1?e[E?t(A?E)]v2&&&&3t&&&&&&&&?t&&&&&&&&?3?&&&&?0?2?7100?&&&&&&&&?3?&&&&&&&&?＝?&&&&&&&&121412&&&&&&&&eee&&&&&&&&3t&&&&&&&&?&&&&&&&&121412&&&&&&&&eee&&&&&&&&?t&&&&&&&&3t&&&&&&&&?t&&&&&&&&3t&&&&&&&&?t&&&&&&&&&&&&&&&&6、求方程组x=Ax＋f（t）的解?(t)：&&&&&&&&&&&&a)&&&&&&&&?(0)?1?,A4?&&&&?0(0)?0,A06?1?(0)?24?,A?2?&&&&&&&&1?&&&&&&&&?1&&&&&&&&2et,f(t)1?310?11001?,f(t)0?e?t?6&&&&&&&&C)由3（c）可知，矩阵A的特征值为&&&&?1＝3，?2＝－1（二重）&&&&?2?1对应的特征向量为u1＝，&&&&&&&&b)&&&&&&&&c)&&&&&&&&?3sint,f(t)?2cost?1?&&&&&&&&u2＝?42?3?&&&&&&&&?&&&&&&&&解：a）令x=Ax的基解矩阵为Ф(t)&&&&p(?)?det(?E?A)?(5)(1)?0所以?1＝5，?2＝－1&&&&&&&&&&&&&&&&解得Ф(t)＝&&&&&&&&?e5t?2e&&&&5t&&&&&&&&e&&&&&&&&?t?t&&&&&&&&?e&&&&&&&&，则&&&&&&&&24&&&&&&&&Ф(t)＝&&&&&&&&－1&&&&&&&&1?3e&&&&4t&&&&&&&&e?t?2e5t?&&&&&&&&?ee&&&&?11&&&&&&&&?t&&&&&&&&5t&&&&&&&&&&&&&&&&解:&&&&&&&&由?&&&&&&&&?&&&&&&&&x(1?x?y)?0&&&&&&&&?1/4y(2?3x?y)?0&&&&&&&&得奇点&&&&&&&&11Ф(0)＝?32&&&&－1&&&&&&&&(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)对于奇点(0,0),＝&&&&?E?A=0得?1=10,?2=1/20&&&&&&&&A=&&&&&&&&?1?0&&&&&&&&求&&&&&&&&得&&&&&&&&?(t)&&&&&&&&01/2&&&&&&&&由&&&&&&&&1t235t?te?e?e?t1t?e?e?e?2510&&&&&&&&所以不稳定对于奇点(0,2),令X=x,Y=y-2,A=&&&&13/2?1/20&&&&&&&&则&&&&&&&&得&&&&&&&&?&&&&&&&&1&&&&&&&&=-1,&&&&&&&&7、假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组&&&&x?Ax?ce&&&&mt&&&&&&&&?&&&&&&&&2&&&&&&&&=-1/2&&&&&&&&有一解形如&&&&?(t)?pe&&&&mt&&&&&&&&所以渐进稳定同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定&&&&&&&&其中c，p是常数向量。证：要证?(t)?pe否确定常数向量p&&&&pme&&&&mtmt&&&&&&&&是否为解，就是能&&&&&&&&?Ape&&&&&&&&mt&&&&&&&&?ce&&&&&&&&mt&&&&&&&&则p（mE－A）＝c由于m不是A的特征值故mE?A?0mE－A存在逆矩阵－那么p＝c（mE－A）1程就有形如?(t)?pe&&&&mt&&&&&&&&这样方&&&&&&&&的解&&&&&&&&习题6.3&&&&1.试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态&&&&dxx(1?x?y)?(1)?dtdy1/4y(2?3x?y)?dt&&&&&&&&25&&&&&&&&
分享给好友::
All Rights Reserved 图宝贝
本站声明：本站转所转载之内容，无任何商业意图，如本网站转载稿件涉及版权、著作权等问题，请您来函与本站管理员取得联系,友情链接请加QQ,要求PR 或者 BR >=2（联系方式：QQ ）