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数列通项公式的求解方法总结
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　　求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学。 中国论文网 /1/view-5263852.htm　　一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）. 　　例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。 　　解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则 　　an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1 　　=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1 　　=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1 　　=2+（n-1）+1 　　=（n-1）（n+1）+1 　　=n2 　　所以数列an的通项公式为an=n2。 　　例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式. 　　备注：取倒数之后变成逐差法。 　　解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…， 　　将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an== 　　二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）. 　　例3.已知数列{an}中a1=，an=?an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。 　　解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。 　　注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错. 　　三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。 　　例4.已知Sn为数列an的前n项和，且Sn=2n+1，求数列an的通项公式. 　　解：当n=1时，a1=S1=2+1=3，当n？叟2时，an=Sn-Sn-1=（2n+1）-（2n-1+1）=2n-1. 　　而n=1时，21-1=1≠a1，∴an3（n=1）2n-1（n？叟2）。 　　四、构造新数列（待定系数法）： ①将递推公式an+1=qan+d（q，d为常数，q≠0，d≠0）通过（an+1+x）=q（an+x）与原递推公式恒等变成an+1+=q（an+）的方法叫构造新数列. 　　例5.在数列an中，a1=1，当n？叟2时，有an=3an-1+2，求an的通项公式。 　　解：设an+m=3（an-1+m），即有an=3an-1+2m，对比an=3an-1+2，得m=1，于是得an+1=3（an-1+1），数列an+1是以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，所以有an=2?3n-1-1。 　　类似题型练习：已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）求数列an的通项公式. 　　注：此种类型an+1=pan+g（n）（p为常数，且p≠0，p≠1）与上式的区别，其解法如下：将等式两边同除以pn+1，则=+，令bn=，则bn+1=bn=，这样此种数列求通项的问题可以转化为逐差法的问题，当然这种数列的通项公式也常用待定系数法解决，关键要根据g（n）选择适当的形式。 　　如：an的首项a1=1，且an+1=4an+2n，求an 　　五、数学归纳法（用不完全归纳法猜想，用数学归纳法证明） 　　例6.设数列an满足：a1=1，an+1an-2n2（an+1-an）+1=0求数列an的通项公式. 　　解：由an+1an-2n2（an+1-an）+1=0得an+1=，可算得a2=3，a3=5，a4=7，猜想an=2n-1，并用数学归纳法予以证明（以下略） 　　六、待定系数法 　　例7.已知数列an满足an+1=2an+3×5n，a1=6，求数列an的通项公式。 　　解：设an+1+x×5n+1=2（an+x×5n） ④ 　　将an+1=2an+3×5n代入④式，得2an+3×5n+x×5n+1=2an+2x×5n，等式两边消去2an，得3?5n+x?5n+1=2x?5n，两边除以5n，得3+5x=2x，则x=-1，代入④式得an+1-5n+1=2（an-5n） ⑤ 　　由a1-51=6-5=1≠0及⑤式得an-5n≠0，则=2，则数列{an-5n}是以a1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。 　　评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3×5n转化为an-1-5n+1=2（an-5n），从而可知数列{an-5n}是等比数列，进而求出数列{an-5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 　　七、特征根法 　　形如递推公式为an+2=pan+1+qan（其中p，q均为常数）。对于由递推公式an+2=pan+1+qan，a1=α，a2=β，给出的数列an，方程x2-px-q=0，叫做数列an的特征方程。 　　若x1，x2是特征方程的两个根， 当x1≠x2时，数列an的通项为an=Axn-11+Bxn-12，其中A，B由a1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=Axn-11+Bxn-12，得到关于A、B的方程组）； 　　当x1=x2时，数列an的通项为an=（A+Bn）xn-11，其中A，B由1=α，a2=β决定（即把a1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=（A+Bn）xn-11，得到关于A、B的方程组）。 　　例8.数列an：3an+2-5an+1+2an=0（n？叟0，n∈N），a1=a，a2=b求an 　　解：特征方程是3x2-5x+2=0，∵x1=1，x2= ，∴an=Axn-11+Bxn-12=A+B?（）n-1。 　　又由a1=a，a2=b，于是a=A+Bb=A+B？圯A=3b-2aB=3（a-b） 　　故an=3b-2a+3（a-b）（）n-1 　　以上几种求通项的方法，只是个人的一个小小的总结，希望对同学们的学习有一定的帮助。
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2013届高三数学数列的递推公式与通项
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官方公共微信已知数列{an}满足：a1=1，an=方程组{1+2an/2n为偶数,1/2+2an-1/2n为奇数} ，n=2，3，4，…．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设bn=a2n-1+1，n=1，2，3…，求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式；（Ⅲ）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，说明理由．-乐乐题库
& 数列的应用知识点 & “已知数列{an}满足...”习题详情
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已知数列{an}满足：a1=1，an={1+2an2n为偶数12+2an-12n为奇数，n=2，3，4，…．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设bn=a2n-1+1，n=1，2，3…，求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式；（Ⅲ）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{an}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2010-海淀区一模
分析与解答
习题“已知数列{an}满足：a1=1，an=方程组{1+2an/2n为偶数,1/2+2an-1/2n为奇数} ，n=2，3，4，…．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设bn=a2n-1+1，n=...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）由题设条件可知a2=1+2a1=3，a3=12+2a1=52，a4=1+2a2=7，a5=12+2a2=132．（Ⅱ）由题意知bn+1=a2n+1，又a2n+1=(2a2n2+1)+1=2(a2n-1+1)=2bn，所以bn+1=2bn．再由b1=a21-1+1=a1+1=2可知bn=2n．（Ⅲ）对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项就构成一个等差数列．再用分析法进行证明．
解：（Ⅰ）因为a1=1，所以a2=1+2a1=3，a3=12+2a1=52，a4=1+2a2=7，a5=12+2a2=132（3分）（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，bn=a2n-1+1，所以bn+1=a2n+1（4分）又a2n+1=(2a2n2+1)+1=2(a2n-1+1)=2bn所以bn+1=2bn（6分）又b1=a21-1+1=a1+1=2（7分）所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn=2n（8分）（Ⅲ）存在．事实上，对任意的m≥2，k∈N*，在数列{an}中，a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项就构成一个等差数列（10分）我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-k2”由（II）得bn=a2n-1+1=2n，所以a2n-1=2n-1．当k为奇数时，a2n-1+k=12+2a2n-1+k-12=12+2a2n-2+k-12当k为偶数时，a2n-1+k=1+2a2n-1+k2=1+2a2n-2+k2记k1={k2k为偶数k-12k为奇数因此要证a2n-1+k=2n-1-k2，只需证明a2n-2+k1=2n-1-1-k12，其中k1∈（0，2n-2），k1∈N*（这是因为若a2n-2+k1=2n-1-1-k12，则当k1=k-12时，则k一定是奇数，有a2n-1+k=12+2a2n-1+k-12=12+2a2n-2+k-12=12+2(2n-1-1-k12)=12+2(2n-1-1-k-122)=2n-1-k2；当k1=k2时，则k一定是偶数，有a2n-1+k=1+2a2n-1+k2=1+2a2n-2+k2=1+2(2n-1-1-k12)=1+2(2n-1-1-k22)=2n-1-k2）如此递推，要证a2n-2+k1=2n-1-1-k12，只要证明a2n-3+k2=2n-2-1-k22，其中k2={k12k1为偶数k1-12k1为奇数，k2∈（0，2n-3），k2∈N*如此递推下去，我们只需证明a21+kn-2=22-1-kn-22，kn-2∈（0，21），kn-2∈N*即a21+1=22-1-12=3-12=52，即a3=52，由（I）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n-1），k∈N*，有a2n-1+k=2n-1-k2，对任意的m≥2，m∈N*，a2m+i=2m+1-1-i2，a2m+i+1=2m+1-1-i+12，其中i∈（0，2m-1），i∈N*，所以a2m+i+1-a2m+i=-12又a2m=2m+1-1，a2m+1=2m+1-1-12，所以a2m+1-a2m=-12所以a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1这连续的2m项，是首项为a2m=2m+1-1，公差为-12的等差数列（13分）说明：当m2＞m1（其中m1≥2，m1∈N*，m2∈N*）时，因为a2m_，a2m_+1，a2m_+2，，a2m_+2m_-1构成一个项数为2m2的等差数列，所以从这个数列中任取连续的2m1项，也是一个项数为2m1，公差为-12的等差数列．
本题考查数列性质的综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意培养计算能力．
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已知数列{an}满足：a1=1，an=方程组{1+2an/2n为偶数,1/2+2an-1/2n为奇数} ，n=2，3，4，…．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设bn=a2n-1...
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经过分析，习题“已知数列{an}满足：a1=1，an=方程组{1+2an/2n为偶数,1/2+2an-1/2n为奇数} ，n=2，3，4，…．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设bn=a2n-1+1，n=...”主要考察你对“数列的应用”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数列的应用
数列的应用．
与“已知数列{an}满足：a1=1，an=方程组{1+2an/2n为偶数,1/2+2an-1/2n为奇数} ，n=2，3，4，…．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设bn=a2n-1+1，n=...”相似的题目：
古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是&&&&．①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36．
已知{an}是斐波那契数列，满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）．{an}中各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{bn}，则b2012=（　　）0123
在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有（　　）300个320个340个360个
“已知数列{an}满足...”的最新评论
该知识点好题
1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）
2若数列{an}满足a2n+1a2n=p（p为正常数），则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则（　　）
3据日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十o五”期间（2001年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十o五”末我国国内年生产总值约为（　　）
该知识点易错题
1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）
2若数列{an}满足a2n+1a2n=p（p为正常数），则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则（　　）
3若数列{an}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为（an）+，则得到一个新数列{（an）+}．例如，若数列{an}是1，2，3…，n，…，则数列{（an）+}是0，1，2，…，n-1…已知对任意的n∈N+，an=n2，则（a5）+=&&&&，（（an）+）+=&&&&．
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在数列｛an｝中,a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0(+2是an的角标+1是3an的角标),求它的通项公式
在数列｛an｝中,a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0(+2是an的角标+1是3an的角标),求它的通项公式
an+2-3an+1+2an=0an+2-an+1=2(an+1-an){an-an-1}为公比为2的等比数列!an-a(n-1)=2^(n-2)*(a2-a1)=3*2^(n-2)a2-a1=3a3-a2=3*2^1..an-a(n-1)=3*2^(n-2)左右两边分别相加：左边=an-a1=3*(1+2+2^2+..+n-2)an-2=3*1*[1-2^(n-1)]/(1-2)=3*[2^(n-1)-1]an=3*2^(n-1)-1
n>1n=1 an=2=a1所以：an=3*2^(n-1)-1
a（n+2）-3a（n+1）+2an=0a（n+2）-a（n+1）=2(a（n+1）-an){an-a（n-1）}为首项为a2-a1=3,公比为2的等比数列,于是有an-a(n-1)=2^(n-2)*(a2-a1)=3*2^(n-2)an=an-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)....a2-a1+a1=3*2^(n-2)+3*2^(n-3)...