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基础算法（160）
编程之美——寻找数组中的最大值和最小值
问题描述：给出一个数组，包含N个整数，那么需要比较多少次找到最大值和最小值
注意：要想得到最大值和最小值，遍历一遍数组是不可避免的。我们能减少的就是减少比较次数来提高效率
方法一、遍历一遍数组，同时得到最大值和最小值
具体是，定义一个max 和 min，每遍历一个数，就分别和max 和 min比较一次，直到处理完所有的数据
比较次数：&N+N = 2N
我们可以把数组中的数据两两分组，分组内找出最大值 和 最小值，之后在最大值的那部分找出最大值，在最小值那部分找出最小值
比较次数：
两两比较，较小值放到左边，较大放右边，这时比较N/2次
之后，得到的最大值部分是 N/2个数，最小值部分是N/2个数
之后在 最大值部分 取出最大值。比较次数N/2
& &在 最小值部分 取出最小值。比较次数N/2
比较次数：&1.5N
评价：虽然比较次数下降了，但是破坏了原数组，而且由于在比较过程中有数据的交换，效率还是会拖累的。（这个方法代码没写了）
方法三、引入俩变量min 和 max，每次也是处理两个数据，直到所有的数据全部都处理完
具体思路：
引入两个变量Min 和 Max
取出两个数，比较一次，得出最大值和最小值
最大值和Max比较，最小值和Min比较，如果比最值还要大或小，则进行更新
比较次数：每处理两个数，比较3次，则N/2 *3 = 1.5N次
优点，不会破坏原数组，较好
方法四、使用分治算法，其实和方法三是一样的，分治是一直到两个数的时候才做，且做完了 把结果合并下就好
思路：在N个数中求最大值和最小值，我们只需求出前后N/2个数的Min和Max，然后取较小的Min，较大的Max即可
比较次数：和方法三一样，比较次数没有变化
f(2) = 1;&
f(n) = 2*f(n/2) + 2;&
&第2个2的意思是：递归分成的两部分求出最值后，还有结合下求出一个整体的最值，这时要有两次比较&
可以推出f(n) = 1.5*n -2; &可见总的比较次数仍然没有减少。
上面所有方法的测试代码如下：
#include&iostream&
#include&vector&
template&typename T&
//方法一的代码
bool MaxMin(std::vector&T& array,T* max,T* min)
& if(array.size()&1)
& *max=array[0];
& *min=array[0];
& size_t array_size=array.size();
& for(int i=1;i&array_i++){
&if(array[i]&*max){
&*max=array[i];
&else if(array[i]&*min){
&*min=array[i];
//方法二的代码
template&typename T&
bool MaxMin_1(std::vector&T& array,T* max,T* min)
& if(array.size()&1)
& &*max=array[0];
& &*min=array[0];
& &int index=1;
& &int array_size=array.size();
& &while(index&array_size&&index+1&array_size)
& if(array[index]&array[index+1]){
& if(array[index]&*max){
& *max=array[index];
& if(array[index+1]&*min){
& *min=array[index+1];
& if(array[index+1]&*max){
& *max=array[index+1];
& if(array[index]&*min){
& *min=array[index];
& index+=2;
& &//如果数组时奇数个的时候，需要将前面的max和min与最后一个数进行比较
& &if(index&array.size()){
& if(array[index]&*max){
& *max=array[index];
& if(array[index]&*min){
& *min=array[index];
//方法四的代码
template&typename T&
bool MaxMin_2(std::vector&T& array,int start,int end,T* max,T* min)
& if(end-start&1)
& & MaxMin_2(array,start,(start+end)/2,max,min);
& & MaxMin_2(array,(start+end)/2+1,end,max,min);
&if(array[end]&array[start]){
&if(array[end]&*max){
&*max=array[end];
&if(array[start]&*min){
&*min=array[start];
&if(array[start]&*max){
&*max=array[start];
&if(array[end]&*min){
&*min=array[end];
//如果是数组是奇数个，采取下面的MaxMin_3，其实上面的MaxMin_2也可以判断。
template&typename T&
bool MaxMin_3(std::vector&T& array,int start,int end,T* max,T* min)
& if(end&start)
& & MaxMin_2(array,start,(start+end)/2,max,min);
& & MaxMin_2(array,(start+end)/2+1,end,max,min);
&if(array[start]&*max){
&*max=array[start];
&if(array[start]&*min){
&*min=array[start];
int main(int argc,char **argv)
& const int ArraySize=5;
& std::vector&int&
& array.push_back(2);
& array.push_back(4);
& array.push_back(3);
& array.push_back(6);&
& array.push_back(1);
& int max,
& MaxMin(array,&max,&min);
& cout&&max&&& &&&min&&endl；
& MaxMin_1(array,&max,&min);
& cout&&max&&& &&&min&&
& MaxMin_2(array,0,4,&max,&min);
& cout&&max&&& &&&min&&
& MaxMin_3(array,0,4,&max,&min);
& cout&&max&&& &&&min&&
& return 0;
找出N个数组中第二大的数，需要比较多少次呢？
是否可以通过类似的分治思想来降低比较次数呢？
方法一、比较笨的方法
先找到本数组中的最大数X，需要n-1次比较，再在剩下的数组中去找最大数X’,需要n-2次比较
则X’就是第二大的数，这需要(n-1) + (n-2)次比较
方法二、我们也可以在数组中，两数结合，分别求出最大值 和 次大值，之后每两个数结合求出的最值 在相互比较，得到最值得最大值 和 次大值
具体思路：
把数组中的每两个元素分为一组，每组中的最大数为F，第二大数为S。
假设相邻两组的最大数和第二大数分别是:Fleft,Si 和&Fright,Sj,。
则这两组合并为一组后，其中最大数和第二大数可能是：
1、若Fi&& Fj，则最大数是Fi；
& & &&若Si &Fj，则第二大数是Si；否则，第二大数是Fj
2、若Fi& Fj，则最大数是Fj
& & &&若Fi&Sj，则第二大数是Fi；否则，第二大数是Sj
比较次数：共有N/2组，每组需要比较倆次得出本组的最大数和第二大数；共需比较N/2 * 2次。
方法三、分治法
思路：和上面的思路是一样的
把数组分成两部分，其最大数和第二大数分别是:Fleft，Sleft，Fright，Sright。合并时的情况可能为：
1、Fleft & Fright，最大数是Fleft；若Sleft&Fright，则第二大数是Sleft，否则第二大数是Fright；
2、Fleft & Fright，最大数是Fright；若Fleft&Sright，则第二大数Fleft，否则第二大数是Sright。
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就一个一个比呗，不是排序，没那么多花样的。
我只知道一个分治的方法如果逐次比较的话好像不是最快的
回复：3楼不管你用什么方法，要确定一个数是n个数里最大的，至少得比n-1次。这不是排序。
也就是同时求最小值和最大值的最终次数一定是
2（n-1）？这样的意思吗？
回复：5楼那也未必，你两个问题一起考虑可能还是有更方便的办法。比如第一次比完就可以暂定出 max和min 了，这样次数就比分开做降了1次。但是你单做一件事情，是至少要(n-1)次的。
回复：5楼我好想想不出什么办法比 2n-3 还少的次数了
所以说我的问题并不是问求单个最大或最小值如果用求单个的方法，最蠢的结果就是2（N-1）如果是分治的方法就是（3n/2）-2但我刚接触只有分治，所以看看有没有其他更好的方法
回复：8楼5 2 3 6 10 1你只比7次给我找出最大的和最小的来看看。
回复：8楼5 2 3 6 10 1我比9次才能确定，比法如下：（结果用(max,min)表示）一：5和2比，(5,2)二：5和3比，(5,2)三：5和6比，(6,2)四：5和10比，(10,2)五：5和1比，(10,2)六：2和3比，(10,2)七：2和6比，(10,2)八：2和10比，(10,2)九：2和1比，(10,1)最终找出10最大，1最小
数学在线教学一对一 提前预热知识 决胜这个暑假 暑假利用好 变身学霸不是梦让孩子用较少时间 取得理想成绩 学费全免网初中衔接高中辅导 帮你在赛场上的弯道取胜
一：5比2（a，b）二：3:比6（c，d）三：10比1（e，f）四：a比d（d大）五：d比e（e大）这里得知e是max值六：b比c（b小）七：b比f（f小）得知f是min值
把6个元素分成3组（N/2 组）分别队每组开始各自比较，得出每组的最大值和最小值然后用每组得出来的最大值和最小值分别比较，求出这真正的最大值和最小值
回复：12楼你那个具体流程不要出现符号啊，你就输出数字吧，我不知道你有些结论怎么得出来的。你的方法我明白，我再举个例子。方便一点8个数吧，你分成4组，先比4次，确定大的4个；然后把大的4个数拿出来，分成2组，比2次，确定大的2个；最后再比1次，确定最大的那个。总共比的次数：4+2+1=7 和我的方法 8-1=7次，不是一样么？
回复：11楼看懂了，看来混合以后确实有简便方法了。
你的算法复杂度不是(3n/2)-2,而是O(n ln n). 你的算法其实就是先一分为2，每组记录他的最大最小值(比较n/2次)，然后在剩下的(n/2)个大值间和(n/2)个小值间继续，时间复杂度f(n)=2f(n/2)+O(n/2),结果显而易见是f(n)=O(n ln n). 然后，你的空间复杂度最小也要O(n)用来存储最大最小值。 结论：排个序的复杂度也是O(n ln n),堆排序就比你的算法完美，知道他的空间复杂度为O(1)。。。。。。。
至于这道题目，最小比较次数为n-1，在比较的同时记录最大最小值。如果赋值也算一步的话就是2(n-1),不可能再低。 ps：只要是2分思想，基本上都有个ln n 。。。。。。。。。
回复：15楼更正下，最小比较次数为2n-1, 而不是n-1.后面的也是2n-1
貌似有个选取法类似与淘汰赛制（胜者晋级，输者淘汰） 第一轮，可以让每相邻的两个成为一组比较，淘汰掉小者；如果出现单数，让它轮空进入下一轮。第二轮，继续让每相邻的两个成为一组比较，继续淘汰...类似于淘汰赛，冠军就是最大者。
回复：15楼所以在数据范围很小的情况下, 渐进时间复杂度并不一定描述快慢。。。据说sort 函数在 n很小时采用的是 O(N^2)的方法。
回复：18楼当然，使用n^2算法是因为它的稳定性，所有n ln n 的算法都不稳定。当数据范围小的时候，显然n^2比n ln n差不了多少，优先考虑稳定性。不过如果之后几个数，显然观察一下比编个程序要来的快把。。。。。。所以我们讨论复杂度都是当数据范围很大的时候。
用这个：max{x,y}=(x+y+|x-y|)/2 ，难道不行么？n个数n-1次计算不就行了么？min{x,y}=(x+y-|x-y|)/2可以求最小值
打开execl，然后输入这些数，然后插入最小值函数和最大值函数
回复：20楼现在要求得是n个数里面的最大和最小值，你每次计算都得保存当前最大 和 最小值吧，也就是说你2个式子中y是一个数，x是不相同的。如此，每次不是要计算2遍么。
好吧，算法复杂度神马的不懂的说，闪了…
可以证明[3n/2]-2是比较次数的下界([]是向上取整，下同)设局面状态四元组(a,b,c,d),a,b,c,d都是非负整数。a:还没有比较过的元素b:比较过,还没有碰到比它大的元素的元素个数c:比较过,还没有碰到比它小的元素的元素个数d:比较过,既有元素比它大，也有元素比它小的元素个数显然a+b+c+d=n,考察状态转移函数:(a,b,c,d)-&两个新元素比较:(a-2,b+1,c+1,d) 取一个新元素，比最大元素小:(a-1,b,c+1,d)取一个新元素，比最小元素大:(a-1,b+1,c,d)取一个新元素，比最大元素大:(a-1,b+1,c,d+1)取一个新元素，比最小元素小:(a-1,b,c+1,d+1)取两个比较过的，不知道大小关系的数比较:(a,b-1,c,d+1)或(a,b,c-1,d+1)我们就是要找到从(n,0,0,0)到(0,1,1,n-2)的最小比较次数。令f(a,b,c,d)为这个次数，有f(a,b,c,d)=min{f(a-2,b+1,c+1,d),max{f(a-1,b+1,c,d),f(a-1,b+1,c,d+1),f(a-1,b,c+1,d),f(a-1,b,c+1,d+1)},max{f(a,b-1,c,d+1),f(a,d,c-1,d+1)}}归纳可证f(a,b,c,d)=[3a/2]+b+c-2。因此我们需要的答案=f(n,0,0,0)=[3n/2]-2,knock-out tournament算法可以达到这个下界
f(a,b,c,d)=min{f(a-2,b+1,c+1,d),max{f(a-1,b+1,c,d),f(a-1,b+1,c,d+1),f(a-1,b,c+1,d),f(a-1,b,c+1,d+1)},max{f(a,b-1,c,d+1),f(a,d,c-1,d+1)}}+1少个"+1"
--算法导论
回复：24楼mark
回复：24楼取两个比较过的，不知道大小关系的数比较:(a,b-1,c,d+1)或(a,b,c-1,d+1) 这个不是随便取2个，是在要么b 要么c中取2个，不能在b和c中各取一个。 ps：其实学信息的都知道，除非特别要求，否则只考虑数量级。这里3n/2和2n同为O(n)数量级。而大部分的实际运用的算法中，这个数量级都是忽略的。第二么，就是对于程序复杂度的要求，knock-out tournament虽然可以简化n/2的复杂度，但是并不实用。举个例子，在快排中每次找关键数据都是用随机算法而不是找中值。其实找中值有个算法可以在O(1)的时间内找到，不过需要很麻烦维护，所以现在所有文件中知道涉及到快排的基本上用的是随机化算法，就是这个道理。
回复：24楼另外，涉及到空间复杂度，就更不理想了。 3n/2比2n的优势只有在n非常之大的时候才可以看出来，而这时候f(a,b,c,d)需要一个4维数组来存贮，即O(n^4)，空间上绝对不允许。 所以实用性上来说，这种算法没有竞争力。嘛~~，涉猎各种算法也是一个很好的选择，不过需要自己找到最适合的。
回复：28楼如果从b取出的比从c取出的大,那么(a,b,c,d)-&(a,b,c,d)，等于状态没有转移。所以我们不能这么选取。另外，的确实际应用大多数情况只考虑渐进复杂度，但理论上求解最小比较次数的minimum-conparison problem是很多的，地位也很重要的。你可以找到很多很多这方面的书籍和论文。就算是实际应用，你也应该看到O(1000n)和O(n)的差别吧
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请大家帮忙看下，如何实现自动查找某列中符合条件的最大值和最小值！
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本帖最后由 royalrav 于
14:06 编辑
请大家帮忙看下，想实现自动查找某列中符合条件的最大值和最小值！要怎么做！谢谢！
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H3=MIN(IF($B$3:$B$38=$G3,$C$3:$C$38,&&))
I3=MAX(IF($B$3:$B$38=$G3,$C$3:$C$38,&&))
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=MIN(IF($B$3:$B$34=G3,$C$3:$C$34))
=MAX(IF($B$3:$B$34=G3,$C$3:$C$34))
数组公式下拉
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非常感谢各位帮忙！
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本帖最后由 bluebell_moody 于
14:31 编辑
不知楼主这个数字有没有什么界限呢，就是最大最小值，如果有的话，再求最小值的时候加入一个最大值，再求最大值的时候加入一个最小值，让后用数组就可以求出来了，公式如下：
最小值={MIN(IF(B3:B34=$G$3,C3:C34,9999))}；
最大值={MAX(IF(B3:B34=$G$3,C3:C34,0))}
不过这个公式有点麻烦，望高手进一步简化。
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bluebell_moody 发表于
不知楼主这个数字有没有什么界限呢，就是最大最小值，如果有的话，再求最小值的时候加入一个最大值，再求最 ...
没有界限要求！谢谢帮忙！
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& & & & & & & &
最大值可以省去IF
=MAX(($B$3:$B$34=G3)*$C$3:$C$34)
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& & & & & & & &
请教各位前辈高人，我为了同一个问题的一个困惑找到这个帖子，求值已经解决了，但发现用=MAX(($B$3:$B$34=G3)*$C$3:$C$34)是可以的，用=Min(($B$3:$B$34=G3)*$C$3:$C$34)却不行，min里只能用if才能得到结果，这是为什么？
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请教各位前辈高人，我为了同一个问题的一个困惑找到这个帖子，求值已经解决了，但发现用=MAX(($B$3:$B$34=G ...
以本例来讲：
($B$3:$B$34=G3)*$C$3:$C$34={12;22;23;12;34;21;3;32;12;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0}
MAX(($B$3:$B$34=G3)*$C$3:$C$34)=34，这是我们想要的结果
MIN(($B$3:$B$34=G3)*$C$3:$C$34)=0,这不是我们想要的结果；用if的目的是规避不想要的0
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如果B列是按序排列的话可以用普通公式,H3输入公式下拉右拉:=SUBTOTAL(9-COLUMN(D1),OFFSET($C$1,MATCH($G3,$B:$B,)-1,,COUNTIF($B:$B,$G3)))复制代码。乱序的话我那公式就没用了。上面的大家的都通用写了。我再写个不一样的吧，H3:H3输入区域数组公式并下拉：=QUARTILE(IF($B$3:$B$34=$G3,$C$3:$C$34),{0,4})复制代码
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标题：如何一次循环就同时得到最大值和最小值
等　级：论坛游侠
帖　子：156
专家分：174
结帖率：94.44%
&&已结贴√
&&问题点数：20&&回复次数：12&&&
如何一次循环就同时得到最大值和最小值
程序说明：以下是求某数组中元素极值的一个程序
&&& int a[9]={5,7,4,2,8,10,6,9,1};
&&& int min, //定义最小值及其下标
&&& int max, //定义最大值及其下标
&&& min = a[0]; //将最小值暂定为第1个元素
&&& for(i=1;i&=8;i++) //发现比a[0]小的元素，就将这个元素定为最小并记录其下标
&&&&&&&&&&&&if (min&a[i])
&&&&&&&&&&&&{
&&&&&&&&&&&&&&& min = a[i];
&&&&&&&&&&&&&&& x =
&&&&&&&&&&&&}&&&
&&& max = a[8]; //将最小值暂定为第9个元素
&&& for(i=7;i&=0;i--) //发现比a[8]小的元素，就将这个元素定为最大并记录其下标
&&&&&&&&&&&&if (max&a[i])
&&&&&&&&&&&&{
&&&&&&&&&&&&&&& max = a[i];
&&&&&&&&&&&&&&& d =
&&&&&&&&&&&&}&&&
&&& printf (&%d %d %d %d\n&, x, min, d, max);
问题：这个程序需要分别进行循环才能得出结果，如何能一次循环就同时得到最大值和最小值，请帮忙优化一下，谢谢！
最主要的要求是能够提高程序效率！！！
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等　级：贵宾
威　望：27
帖　子：4422
专家分：4019
两个 if 语句合在一个循环里就行， 最大值和最小值 互不影响的。
我就是真命天子，顺我者生，逆我者死！
等　级：火箭侠
帖　子：1112
专家分：3674
程序代码：main()
&&& int a[<font color=#]={<font color=#,<font color=#,<font color=#,<font color=#,<font color=#,<font color=#,<font color=#,<font color=#,<font color=#};
&&& int min, //定义最小值及其下标
&&& int max, //定义最大值及其下标
&&& min = a[<font color=#]; //将最小值暂定为第1个元素
&&& for(i=<font color=#;i&=<font color=#;i++) //发现比a[0]小的元素，就将这个元素定为最小并记录其下标
&&&&&&&&&&&&if (min&a[i])
&&&&&&&&&&&&{
&&&&&&&&&&&&&&& min = a[i];
&&&&&&&&&&&&&&& x =
&&&&&&&&&&&&}&&&&&&
&&&&&&&&&&&&if (max&a[i])
&&&&&&&&&&&&{
&&&&&&&&&&&&&&& max = a[i];
&&&&&&&&&&&&&&& d =
&&&&&&&&&&&&}&&&
&&& printf (&%d %d %d %d\n&, x, min, d, max);
}这样差不多吧.
经验积累中............
等　级：论坛游侠
帖　子：156
专家分：174
回复 3楼 五当家
好像没有定max的初值吧？
非计算机专业自学新手向大家请教
等　级：论坛游侠
帖　子：156
专家分：174
回复 2楼 BlueGuy
看起来很有道理！
但我想了好几次，不知道怎么操作，尤其是对min和max赋初值的问题。
希望哪位能具体指点一下，谢谢！
非计算机专业自学新手向大家请教
等　级：版主
威　望：178
帖　子：3295
专家分：21133
可以将第一个元素值作为MAX和MIN的初值
★★★★★为人民服务★★★★★
等　级：论坛游侠
帖　子：156
专家分：174
回复 6楼 cnfarer
&&& min = a[0];
&&& max = a[0];
&&& for(i=1;i&=8;i++)
&&&&&&&&&&&&if (min&a[i])
&&&&&&&&&&&&{
&&&&&&&&&&&&&&& min = a[i];
&&&&&&&&&&&&&&& x =
&&&&&&&&&&&&}&&&&&&
&&&&&&&&&&&&if (max&a[i])
&&&&&&&&&&&&{
&&&&&&&&&&&&&&& max = a[i];
&&&&&&&&&&&&&&& d =
&&&&&&&&&&&&}&&&
好像本质还是一样，比较了两次，并没有提高效率。
不知我的理解对不对？
非计算机专业自学新手向大家请教
等　级：论坛游侠
帖　子：156
专家分：174
这么长时间没得到解决，不得不自顶了。
非计算机专业自学新手向大家请教
来　自：西电
等　级：论坛游民
专家分：11
应该不可以优化了吧，已经很简单了，如果非要在一个if语句里面循环出最大和最小反而麻烦了，比如排个序，都有了，个人感觉
等　级：论坛游侠
帖　子：156
专家分：174
将来想解决的问题是：每个数组中有10万个元素，共有10万个这样的数组。
而这仅是一个子程序，所以想寻求优化。
非计算机专业自学新手向大家请教
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