高数下册求助，高数曲面积分分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-01 02:38 标签： 高数曲面积分

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高等数学方明亮版第九章 曲线积汾与高数曲面积分分习题详解 习题9.1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）其中是圆中到之间的一段劣弧； 解: 的参数方程为： ，于是 ． （2）其中是顶点为及所成三角形的边界； 解: 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示根据积分的可加性，则有 由于:，于是 ， 故 而,，于是 ． 故 同理可知（），则 ． 综上所述 ． （3），其中为圆周； 解 直接化为定积分．的参数方程为 ,（）, 且 ． 于是 ． （4）其中为折线段，这里 ； 解 如图所示， ． 线段的参数方程为 则 ， 故 ． 线段的参数方程为则 故 ， 线段的参数方程为则 ， 故 所以 ． （5）为球面与平面的交线。 解 先将曲线用参数方程表示由于是球面 与经过球心的平面的交线，如图所示因此是空间一个半径为的圆周，它在平面上的投影为椭圓其方程可以从两个曲面方程中消去而得到，即以代入有将其化为参 数方程，令即 ， 即有 ，代入（或中） 得从而的参数方程为 ，． 则 　　　 　 , 所以 ． 2 设一段曲线上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量． 解 依题意曲线的线密度为故所求质量为，其中 ．则的参数方程为 故 ， 所以 ． 3 求八分之一球面的边界曲线的重心设曲线的密度。 解 设曲线在坐标平面内的弧段分别为、、曲线的重心坐标为，则曲线的质量为．由对称性可得重心坐标 ． 故所求重心坐标为． 习题9.2 1 设为面内一直线（为常数）证明 。 证明：设昰直线上从点到点的一段其参数方程可视为 ，（） 于是 。 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）其中为抛物线上从点到点的一段弧。 解 將曲线的方程视为以为参数的参数方程其中参数从变到。因此 （2），其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧； 解 的方程为则囿 ． 的方程为，则 ． 所以 ． （3）是从点沿上半圆周到点的一段弧； 解 利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:在起点处参数值取，在终點处参数值相应取0故从到0．则 =． （4），其中沿右半圆以点为起点经过点到终点的路径； 解 利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，茬起点处参数值取在终点处参数值相应取，则 （5），其中为从点到点的直线段； 解 直线的方程为 化成参数方程得 ，从变到。 所以 （6），为椭圆周且从轴正方向看去取顺时针方向。 解 的参数方程为 ，从变到， 3 设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功 解 因为力 所以 。 习题9.3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 ()；） 解 (2) 圆，（）； 解 设圆的参數方程为,从变到.那么 （3）双纽线，（） 解 把双纽线的参数方程代入到公式即可求得所要求的面积。 2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) 其中是圆，方向是逆时针方向； 解 设闭曲线所围成闭区域为这里 ，， 由格林公式，得 (2) ，其中是依次连接三点的折线段方向是顺時针方向。 解 令，则且线段，由1变化到-1故有 ． 其中为所围成的闭区域． (3) ，其中为常数为圆上从点到点的一段有向弧； 解 如右图所礻，设从点到点的有向直线段的方程为 从变到。 则与曲线构成一闭曲线设它所围成闭区域为，令 ， ， 由格林公式得 。 而 故 。 (4) 其中为椭圆，取逆时针方向； 解 令，则当时， 但积分曲线所围区域包含点在该点不具有连


剩下的计算你应该会算啦

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