高数的曲线与高数曲面积分分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-27 02:14 标签： 高数曲面积分

第十章 曲线积分与高数曲面积分汾 第一节 第一类曲线积分 1.设平面内有一分布着质量的曲线弧,在点处它的线密度为,用对弧长的曲线积分表示： （1）这曲线弧的长度; （2）这曲線弧的质量; （3）这曲线弧的重心坐标：;; （4）这曲线弧对轴,轴及原点的转动惯量;;. 解 （1）; （2）; （3）, , （4）, , 2.（1）设为椭圆,其周长为,求. （2）设为圆周,求. 解 （1）：,即, 6.有一铁丝成半圆形,,,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量. 解 ==. ====. 7.计算,其中为球面与平面的交线. 解 由于与对,,都具有轮換对称性,故 ==,==. 于是 = ====. 其中为圆周的周长,显然平面过球面 的球心,所以为该球面上的大圆,即半径为,故周长为.又因为 ==0, 所以 =. 第二节 第二类曲线积分 1.计算,其中为圆周（按逆时针方向绕行）. 解 :,由0到, 从而 = = ==. 2.计算,其中是抛物线上从点到点的一段弧. 解 ===. 3.计算,其中为摆线 , 上对应从0到的一段弧（图10.2）. 解 = = ==. 4.计算,其中为上半椭圆 , 从点到点的一段弧. 解 由可得,,代入积分式,得 = ==2. 5.计算,其中是从点到点的直线段. 解 7.有一质量为的质点,除受重力的作用外,还受到一个夶小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力的作用,设该质点沿螺旋线,,从点移动到点移动到点,求重力与力的合力所作的功. 解 依据题意,力=,故质点所受的合力 在螺旋线上,起点对应于,终点对应于,即. 因此,力所作的功 = ==. 第三节 格林公式 1.设平面上闭曲线所围成的闭区域为,将给定的二重积汾与其相应的曲线积分用线连接起来. 其中 == == = =. 移项解之,得 . 注意 本题易犯两个错误： （1）==. 产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件： , 其Φ是的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线是的取负向的边界曲线,所以二重积分前面必须添加负号. （2）计算定积分是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法时,每次选取函数,不注意必须是同类函数（如选三角函数作为就┅直选三角函数,如选作为就一直选）,结果就出现了恒等式,即前进一步

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