视频: 学而思汪耀辉老师讲解因式分解之轮换对称式
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学而思汪耀辉老师讲解因式分解之轮换对称式
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请说说分解因式中轮换式与对称式内容
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a \-----/b ac＝k bd＝n c /-----\d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
其他回答 (1)
轮换式：如果一个多项式中的变数字母按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式。而在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式。
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　　因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法.
　　1.添项.拆项法
　　添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点.
　　例1（1986年扬州初一数学竞赛题）分解因式
　　（1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2
　　解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
　　=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
　　=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
　　=[(1+y)+x2(1-y)+2x]&[(1+y)+x2(1-y)-2x]
　　=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)
　　=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
　　例2（第11届国际数学竞赛题）证明：具有如下性质的自然数a有无穷多个，对于任意的自然数m.z=n4+a都不是素数.
　　证明设a=4k4（k为大于1的自然数），则
　　z=n4+a
　　=n4+4k4
　　=n4+4n2k2+4k4-4n2k2
　　=(n2+2k2)2-4n2k2
　　=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)
　　=[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2].①
　　∵k为大于1的自然数，
　　&there4;(n+k)2+k2＞1,(n-k)2+k2＞1
　　故①的右边两个因子都大于1，故当k＞1时，z是合数.
　　由于大于1的自然数k有无穷多个，故有无穷多个自然数a，使n4+a对一切自然数n总非素数
　　2.待定系数法
　　若两多项式f(x)=g(x)，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决.
　　例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4.
　　解由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可设
　　3x2+5xy-2y2+x+9y-4
　　=(3x-y+a)(x+2y+b)
　　=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab.
　　①②③
　　比较两边系数得
　　由①,②联立得a=4,b=-1,代入③式适合.
　　&there4;原式=(3x-y+4)(x+2y-1).
　　例4(1963年北京中学生数学竞赛试题)已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd是奇数,,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.
　　证明设
　　x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)
　　=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr
　　(其中p、q、r均为整数)
　　比较两边系数得pr=d.
　　又bd+cd=d(b+c)是奇数,故b+c与d均为奇数,那么pr也是奇数,即p与r也是奇数.今以x=1代入(因为它是恒等式)得
　　1+b+c+d=(1+p)(1+q+r).①
　　∵b+c,d为奇数,&there4;1+b+c+d也为奇数,而p为奇数,&there4;1+p为偶数.
　　&there4;(1+p)(1+q+r)为偶数.这说明等式①的左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的.
　　所以,所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积.
　　3.换元法
　　例5分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.
　　解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120
　　=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120
　　=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120
　　令x2+5x=A,代入上式,得
　　原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96
　　=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)
　　例6证明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必为完全平方数
　　解原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1
　　=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
　　=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1
　　=(a2+3a+1)2
　　&there4;a(a+1)(a+2)(a+3)+1为完全平方数.
　　说明:这里未设新元,但在思想上把a2+3a看作一个新元素.
　　4.对称式的因式分解
　　在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
　　例7分解因式x4+(x+y)4+y4
　　分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.
　　解∵x4+y4
　　=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
　　=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
　　&there4;原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
　　=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
　　=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
　　=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
　　例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
　　此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3&12-5&1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3&22-5&2-2=0.
　　因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
　　如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
　　证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+&+a1x+a0,
　　若f(a)=0,则
　　f(x)=f(x)-f(a)
　　=(anxn+an-1xn-1+&+a1x+a0)
　　=(anan+an-1an-1+&+a1a+a0)
　　=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+&+a1(x-a),
　　由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),&,(x-a)|(x-a),
　　&there4;(x-a)|f(x),
　　对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.
　　现在我们用因式定理来解例8.
　　解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
　　&there4;a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
　　=-(a-b)(b-c)(c-a).
　　例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
　　分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
　　原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
　　因式定理使用得更多的还是一元n次多项式的因式分解.
　　例10（1985年武汉市初中数学竞赛题）证明：2x+3为多项式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.
　　证明以f(x)记多项式.
　　&there4;2x+3是f(x)的因式.
　　例11分解因式x3-19x-30.
　　分析这里常数项是30,如果多项式f(x)=x3-19x-30有x-a这种形式的因式,那么a一定是30的因数,这是因为f(a)=a3-19a-30=0即a3-19a=30.
　　∵a|(a3-19a),&there4;a|30
　　解30的因数为&1,&2,&3,&4,&5,&6,&10,&15,&30.
　　∵f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(这里已有f(-2)、f(-3)、f(5)等于零了，三次多项式只有三个一次因式，所以不必再计算了.)
　　&there4;x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),
　　&there4;x3的系数为1，&there4;k=1,
　　故x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).
　　练习六
　　1.选择题
　　(1)在1到100之间若存在整数n,使x2+x-n能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的n有()个
　　(A)0(B)1(C)2(D)9(E)10
　　(2)二次多项式x2+2kx-3k2能被x-1整除,那么k值是()
　　(A)1或(B)-1或(C)0(D)1或-1
　　(3)如果100x2-kxy+49y2是一个完全平方式,那么k=()
　　(A)4900(B)9800(C)140(D)70
　　2.填空
　　（1）多项式6x2+mxy-3y2+3x+10y-3能分解成关于x、y的一次多项式,则m=____.
　　（2）已知x2+x-1=0,则x3+2x2+1985=____.
　　3.（1）分解因式a2-b2+4a+2b+3
　　（2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
　　4.（1）分解因式a3b-ab3+a2+b2+1
　　（2）（1989年广州等五市联赛）分解因式(x+y)(x-y)+4(y-1).
　　5.（1986年全国初中数学知识竞赛）分解因式(x+y)3+2xy(1-x-y)-1.
　　6.证明是合数.
　　7.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy.
　　8.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.
　　9.（1986年五城市联赛试题）若a为自然数，则a4-3a2+9是质数，还是合数？给出你的证明.
　　10.（1985年北京市初中数学竞赛题）若a为自然数，证明
　　10|(a).
　　练习六
　　１．Ｄ．Ａ．Ｃ．
　　２．（１）ｍ＝７．（２）１９８６
　　３．（１）（ａ＋ｂ＋１）（ａ－ｂ＋３）．
　　（２）（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋５）
　　４．（１）（ａ２－ａｂ＋１）（ａｂ＋ｂ２＋１）
　　（２）（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋ｙ－２）
　　５．（ｘ＋ｙ－１）（ｘ２＋ｙ２＋ｘ＋ｙ＋１）．
　　６．Ａ＝１０１９８６＋１＝（１０６６２）８＋１＝&分角为两因数之积，且两因数均大于１即可得证．
　　７．原式＝（ｘ＋ｙ）３－（ｘ３＋ｙ３）＋３ｘｙ＝&＝３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１）．
　　８．（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）．
　　９．原式＝（ａ２－３ａ＋３）（ａ２＋３ａ＋３）．
　　再讨论：ａ＝１或２时，知为质数，ａ＞２为合数.
　　１０．∵ａ１９８５－ａ１９４９＝ａ１９４９（ａ２＋１）（ａ４－ａ２＋１）（ａ１２－ａ６＋１）（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）（ａ６－ａ３＋１）（ａ６＋ａ３＋１）（ａ2＋ａ＋１）（ａ－１）．当ａ的个位数字分别为0～9时,上式右端总含有因数2和5,
　　&there4;１０｜（ａ１９８５－ａ１９４９）．
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什么是轮换对称法
初中数学竞赛大纲中的,
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即f(x)含有x-2的因式,先将其用xy,设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),都有f(a)=0,(x-a),c-a是多项式的三个因式, 此题中若将式中的b换成a, 若f(a)=0,(xn-an),用因式定理及待定系数法比较简单, 例7分解因式x4+(x+y)4+y4 分析 这是一个二元对称式,xy表示,而四次多项式还有一个因式,b-c,a=0,c=-1可得k=-1,如x2+y2=(x+y)2-2xy,…,这样的多项式叫做对称多项式,如果任意交换两个元的位置,b=1,这类多项式称为关于a,这样的多项式叫做对称多项式,所以 原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c),b,再行分解,而将其它的元看成确定的数来处理,a换成c,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式),二元对称多项式的分解方法之一是,为了叙述方便先引入符号f(x),x+y表示,即f(a)=0, 解 ∵x4+y4 =(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2,而视b为主元时,在一个含有若干个元的多项式中, 二元对称式的基本对称式是x+y, 例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b),即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),则 f(x)=f(x)-f(a) =(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+…+a1a+a0) =an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数）,,轮换对称式的因式分解,如果任意交换两个元的位置,原式不变,(x-a), ∴(x-a),易知当a=b和a=c时, ∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2] =2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2, 解 这是一个含有a, 由于(x-a),c=-1可得k=-1,f(x),其中k为待定系数,多项式不变,下面先粗略介绍一下因式定理,故a-b和a-c是多项式的因式,(x-a),b, 对于多元多项式,xy任何二元对称多项式都可用x+y,而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),xy表示, 例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),同理可知b-c也是多项式的因式,f(a)即表示当x=a时多项式的值,b,如x2+y2=(x+y)2-2xy,c的轮换对称式,先将其用xy,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2), 现在我们用因式定理来解例8,再行分解,当x=2时,在使用因式定理时可以确定一个主元,c三个字母的三次多项式,f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2, 对称式的因式分解 在一个含有若干个元的多项式中,多项式不变,易知a-b,如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,令a=0,二元对称式的基本对称式是x+y,,xy任何二元对称多项式都可用x+y,由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c,二元对称多项式的分解方法之一是,x+y表示,取, 分析 这是一个关于a,c换成b,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0,c的四次齐次轮换多项式, 证明 设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 如多项式f(x)=3x2-5x-2,(xn-1-an-1), ∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a),现以a为主元,f(2)=0, 因式定理 如果x=a时多项式f(x)的值为零,可用因式定理分解,b=1,
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