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「線代」至此。有關「線代」其他可能的意思，請見。
矩阵与行列式
线性空间与线性变换
三維R3是一個向量空間，而通過的線及平面是R3的向量子空間
线性代数是的一个分支，它的研究对象是，（或称），和有限维的。向量空间是现代数学的一个重要课题；线性代数广泛地应用于和中；通过，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为：）。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于、、和中。
线性代数的研究最初出现于对的研究上。行列式当时被用来求解线性方程组。在1693年使用了行列式。随后，在1750年推导出求解线性方程组的。然后，利用发展出求解线性系统的理论。这也被列为的一项进展。
现代线性代数的历史可以上溯到19世纪中期的英国。1843年，发现了。1844年，发表了他的著作《线性外代数》（Die lineare Ausdehnungslehre），包括了今日线性代数的一些主题。1848年，引入了（matrix），该词是“”的拉丁语。在研究线性变换时引入了矩阵乘法和转置的概念。很重要的是，凯莱使用了一个字母来代表一个矩阵，因此将矩阵当做了聚合对象。他也意识到矩阵和行列式之间的联系。
不過除了這些早期的文献以外．线性代数主要是在二十世纪发展的。在的开发之前，只有模糊不清的定義。随着的到来，很多开拓者發現了线性代数的微妙。进一步的，解的的例行应用导致了大学的标准教育中包括了线性代数。例如，E.T. Copson写到：
当我在1922年到爱丁堡做年轻的讲师的时候，我惊奇的发现了不同于牛津的课程。这里包括了我根本就不知道的主题如、、、...
——E.T. Copson，《偏微分方程》前言, 1973
1882年，写了一本书，名为《线性代数》。第一次现代化精确定义向量空间是在1888年，由提出。在1888年，还发起了系数的应用。经常有多于一个出现并且它们可以。在多变元随机变量的中，是自然的工具。所以这种随机向量的统计研究帮助了矩阵用途的开发。到1900年，一种有限维向量空间的线性变换理论被提出。在20世纪上半叶，许多前几世纪的想法和方法被总结成，线性代数第一次有了它的现代形式。矩阵在、和上的应用帮助线性代数的主题超越了纯数学的范畴。计算机的发展导致更多地研究致力于有关高斯消元法和矩阵分解的有效上。线性代数成为了数字模拟和模型的基本工具。
线性代数起源于对二维和三维的研究。在这里，一个向量是一个有方向的，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如，也可以和做加法和乘法。这就是的第一个例子。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在中可以使用8维向量来表示8个国家的（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（，，，，，，，），可以使用向量（v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8）显示这些国家某一年各自的GNP。这里，每个国家的GNP都在各自的位置上。
作为证明而使用的纯抽象概念，（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或的，向量空间的线性映射的环。
线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。
向量空间是在上定义的，比如域或域。将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为。对矩阵性质和矩阵的深入研究（包括和）也被认为是线性代数的一部分。
我们可以简单地说中的问题——-那些表现出的问题——是最容易被解决的。比如研究很多函数线性近似的问题。在实践中与问题的差异是很重要的。
線性代數方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。這是数学與工程學中最主要的应用之一。
每一个线性空间都有一个。
对一个n阶A，如果存在一个n阶方阵B使AB = BA = I（I是），则A为。
一个方阵它的不为零。
一个方阵非奇异当且仅当它代表的是个。
一个矩阵当且仅当它的每个大于或等于零。
一个矩阵当且仅当它的每个特征值都大于零。
线性代数是一个成功的理论，其方法已被应用于数学的其他分支。论就是将线性代数中的标量的用替代，並进行研究，像、、、等概念仍然可以適用。不過許多線性代數中的定理在模论中不成立，例如不是所有的模都有基底（有基底的模稱為），自由模的秩不唯一，不是所有模中的線性獨立的子集都可以延伸成為基底，也不是所有模生成空间的子集都包括基底。
推广了线性代数的方法。和线性代数一样也是建立在的概念上，发展了的理论。在应用上，出现了许多类型的。
在算子的谱理论中，通过，可以控制无限维矩阵。混合了线性代数和中的方式，研究許多不同函數空間，例如。
Vitulli, Marie. . Department of Mathematics. University of Oregon. .
O'Connor J J and Robertson E F. . School of Mathematical and Computational Sciences, University of St Andrews. .
Hussein Tevfik. . A.H. Boyajian. 1882 .
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对于的向量空间存在一个基是直接了当的，但是在的情况下，它逻辑上等价于。
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Beezer, Rob, , licensed under .
Fearnley-Sander, Desmond, , American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
Grassmann, Hermann, Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erl?utert, O. Wigand, Leipzig, 1844.
Jim Hefferon: （Online textbook）
Edwin H. Connell: （Online textbook）
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: multiply and invert matrices, solve systems, eigenvalues etc.
by Elmer G. Wiens. Interactive web pages for vectors, matrices, linear equations, etc.
: Interactive forums for discussion of linear algebra problems, from the lowest up to the hardest level ().
. José Figueroa-O'Farrill,
: A free textbook with exercises and a solutions guide written by a professor at .
Paul Dawkins,
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线性代数是的一个分支，它的研究对象是，（或称线性空间），和有限维的。向量空间是的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于和中；通过，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的通常可以被近似为，使得线性代数被广泛地应用于和社会科学中。外文名Linear Algebra研究对象向量
线性代数是的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史九章算术却非常久远。“”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的的行施行初等变换，消去未知量的方法。
由于和的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于与。十九世纪上半叶才完成了到n维的过渡。
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。概念的引入，形成了的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的理论，构成了线性代数的中心内容。
凯莱矩阵论始于，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，以的方式定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要推广到任意体（domain）上的最一般的中。的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于的选择。不用交换体而用未必交换之体或作为之，这就引向（module）的概念，这一概念很显著地推广了线性空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
“代数”这个词在中文中出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家才将它翻译成为“”，之后一直沿用。线性代数在、和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种分支中占居首要地位。在广泛应用的今天，、、、等技术无不以线性代数为其理论和基础的一部分。线性代数所体现的观念与代数方法之间的联系，从具体概念出来的以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们不仅要研究单个之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。
“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是里一个很重要的内容。（linear）指量与量之间按、成的关系，在数学上可以理解为一阶为的
（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，不为常数。
线性代数起源于对和的研究。在这里，一个是一个有方向的，由和同时表示。这样可以用来表示，比如力，也可以和做加法和。这就是向量空间的第一个例子。
向量现代线性代数已经扩展到研究任意或无限。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 。在二维和中大多数有用的结论可以扩展到这些。尽管许多人不容易想象 n 中的，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。
作为定理而使用的纯，向量空间（）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在中扮演重要角色，特别在 中描述高阶导数，研究积和可交换映射等领域。
向量空间是在域上定义的，比如或域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵的深入研究（包括和）也被认为是线性代数的一部分。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与中最主要的应用之一。·每一个线性空间都有一个基。
·对一个 n 行 n 列的非 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为（或称），B为A的逆阵。
·矩阵非奇异（可逆）它的行列式不为零。
·矩阵非奇异它代表的线性变换是个。
·矩阵半当且仅当它的每个大于或等于零。
·矩阵正定它的每个特征值都大于零。
·解线性方程组的。
·判断线性方程组有无非零实根的和的关系。线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。
·模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。
·多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了的概念。
·在算子的理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。
所有这些领域都有非常大的技术难点。
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　　代數基本定理是指任何一個一元復繫數多項式都至少有一個複數根。也就是說，複數域是代數封閉域。
　　有時這個定理表述為：任何一個非零的一元n次復繫數多項式，都正好有n個複數根。這似乎是一個更強的命題，但實際上是“至少有一個根”的直接結果，因為不斷把多項式除以它的線性因數，即可從有一個根推出有n個根。
　　儘管這個定理被命名為“代數基本定理”，但它還沒有純粹的代數證明，許多數學家都相信這種證明不存在。另外，它也不是最基本的代數定理；因為在那個時候，代數基本上就是關於解實繫數或復繫數多項式方程，所以才被命名為代數基本定理。
　　卡爾o弗里德里希o高斯一生總共對這個定理給出了四個證明，其中第一個是在他22歲時（1799年）的博士論文中給出的。給出的證明既有幾何的，也有函數的，還有積分的方法。高斯關於這一命題的證明方法是去證明其根的存在性，開創了關於研究存在性命題的新途徑。
　　同時，高次代數方程的求解仍然是一大難題。伽羅瓦理論指出，對於一般五次以上的方程，不存在一般的代數解。
　　所有的證明都包含了一些數學分析，至少是實數或複數函數的連續函數。有些證明也用到了導數|可微函數，甚至是解析函數。
　　定理的某些證明僅僅證明瞭任何實繫數多項式都有複數根。這足以推出定理的一般形式，這是因為，給定復繫數多項式p(z)，以下的多項式
　　就是一個實繫數多項式，如果z是q(z)的根，那麼z或它的共軛複數就是p(z)的根。
　　許多非代數證明都用到了“增長引理”：當|z|足夠大時，首繫數為1的n次多項式函數p(z)的表現如同zn。一個更確切的表述是：存在某個正實數R，使得當|z|&&&R時，就有：
|zn|&|p(z)|&|zn|
　　尋找一個中心為原點，半徑為r的閉圓盤D，使得當時，就有|p(z)|&|p(0)|。因此，|p(z)|在D內的最小值（一定存在，因為D是緊集的），是在D的內部的某個點z0取得，但不能在邊界上取得。於是，根據最大模原理,p(z0) = 0。也就是說，z0是p(z)的一個零點（根）。
　　由於在D之外，有|p(z)|&|p(0)|，因此在整個復平面上，|p(z)|的最小值在z0取得。如果 | p(z0) |
& 0，那麼1/p在整個復平面上是有界的全純函數，這是因為對於每一個複數z，都有。利用劉維爾定理 （有界的整函數一定是常數），可知1/p是常數，因此p是常數。於是得出矛盾，所以p(z0) = 0。
　　這個證明用到了輻角原理。設R為足夠大的正實數，使得p(z)的每一個根的絕對值都小於R；這個數一定存在，因為n次多項式函數最多有n個根。對於每一個r&R，考慮以下的數：
其中c(r)是中心為0，半徑為r的逆時針方向的圓；於是輻角原理表明，這個數是p(z)在中心為0、半徑為r的開圓盤內的零點的數目N，由於r&&&R，所以它也是p(z)的零點的總數目。另一方面，n/z沿著c(r)的積分除以2&i，等於n。但這兩個數的差為：
　　被積分的有理表達式中的分子，最多是n&&&1，而分母的次數是n&+&1。因此，當r趨於+&時，以上的數趨於0。但這個數也等於N&&&n，因此有N&=&n。
　　這個證明結合了線性代數和柯西積分定理。為了證明每一個n&&&0次復繫數多項式都有一個根，只需證明每一個方塊矩陣都有一個複數特征值。證明用到了反證法。
　　設A為大小n&&&0的方塊矩陣，並設In為相同大小的。假設A沒有特征值。考慮預解函數
　　它在復平面上是亞純函數，它的值位於矩陣的向量空間內。A的特征值正好是R(z)的極點。根據假設，A沒有特征值，因此函數R(z)是整函數，根據柯西積分定理可知：
　　另一方面，把R(z)展開為幾何級數，可得：
　　這個公式在半徑為||A||的閉圓盤的外部（A的運算元範數）成立。設r&&&||A||。那麼：
　　（僅當k&=&0時，積分才不等於零）。於是得出矛盾，因此A一定有一個特征值。
　　設z0&&&C為使|p(z)|在z0取得最小值的數; 從用到劉維爾定理的證明中，可以看到這樣一個數一定存在。我們可以把p(z)寫成z&&& z0的多項式：存在某個自然數k和一些複數ck、ck + 1、ck + 2...cn，使得以及：
可推出如果a是-pz0/ck的一個k重根，且t是足夠小的正數，那麼 | p(z0 + ta) |
| p(z0) | ，這是不可能的，因為 | p(z0) | 是|p|在D內的最小值。
　對於另外一個用到反證法的拓撲學證明，假設p(z)沒有根。選擇一個足夠大的正數R，使得對於|z|=R，p(z)的第一項zn大於所有其它的項的和；也就是說， | z |
| an & 1zn & 1 + ... + a0 | 。當z依逆時針方向繞過方程為|z|&=&R的圓一次時，p(z)，像zn那樣，依逆時針方向繞過零n次。在另外一個極端，|z|&=&0時，“曲線” p(z)僅僅是一個（非零的）點p(0)，它的卷繞數顯然是0。如果z所經過的迴路在這兩個極端中被同倫|連續變形，那麼p(z)的路徑也連續變形。我們可以把這個變形記為H(Rei&,t) = p((1 & t)Rei&)，其中t大於或等於0，而小於或等於1。如果我們把視為時間，那麼在時間為零時，曲線為p(z)，時間為1時，曲線為p(0)。顯然在每一個點t，根據原先的假設p(z)都不能是零，因此在變形的過程中，曲線一直都沒有經過零。因此曲線關於0的繞數應該不變。然而，由於繞數在一開始是n，結束時是0，因此得出矛盾。所以，p(z)至少有一個根。
　　這個證明需要依賴實數集的如下事實：正實數在上有實平方根，以及任何奇次多項式在上有一個根（這可以用介值定理證明）。
　　首先。經過簡單的計算可以證明在開平方運算下是封閉的（利用事實1）。結合。得出不存在二階擴張。
　　由於，於是任何的擴張都是可分擴張|可分的，從而任何的代數擴張都可以被包含在一個伽羅瓦擴張內。假設是一個伽羅瓦擴張。考慮伽羅瓦群的西羅定理|西羅2-子群H。那麼是奇數。由得出，KH存在本原元&，它的極小多項式是奇次的。但是利用實數集的事實2，任何奇次數多項式在實數上有一個根，於是不存在奇次的且次數&1的不可約多項式。於是是2的冪次。
　　假設並且r&0，再次利用西羅定理，G存在一個階為2r & 1的子群N。這時。這和先前不存在二階擴張矛盾。因此的任何代數擴張都是本身，代數基本定理得證。
　　由於代數基本定理可以視為複數域是代數封閉域|代數封閉的，可推出任何關於代數封閉域的定理在複數域都是適用的。這個定理有一些推論，要麼是關於實數域的，要麼是關於實數域與複數域之間的關係的：
　　 複數域是實數域的代數閉包。
　　 每一個一元實繫數多項式都可以表示為常數、x + &形式的多項式（a為實數），以及x2 + ax + b形式的多項式（a和b為實數，a2 & 4b & 0）的乘積。
　　 每一個一元實繫數有理函數都可以寫成a/(x & b)n形式的有理函數（其中n是自然數，a和b是實數），與(ax + b) / (x2 + cx + d)n形式的有理函數（其中n是自然數，a、b、c和d是實數，c2-4d& 0）的和。由此可以推出，任何一個一元實繫數有理函數都有一個初等函數。
　　 實數域的任何一個代數擴張要麼與實數域同構，要麼與複數域同構。
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