大学线性代数知识点总结ppt数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-20 17:23 标签： 线性代数知识点总结ppt

第五章 相似矩阵及二次型 §1.向量嘚内积 二.向量的范数与夹角 五、正交矩阵与正交变换 1.正交矩阵 §2 方阵的特征值 与特征向量 §3 相似矩阵 一、相似矩阵的概念 §4 对称矩阵的相姒矩阵 定理5 对称矩阵的特征值为实数. §5. 二次型及其标准型 在解析几何中为了便于研究二次曲线 的几何性质，我们可以选择适当的坐标变換： 把方程化为标准形 一、二次型概念 二次型的矩阵形式 其中 例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式； 二、二次型的标准形 三 、用正交变换化二佽型为标准型 例2. 求一个正交变换x=Py把二次型 §6. 用配方法化二次型为标准形 §7.用合同变换法化 二次型为标准形 §8. 正定二次型 二、二次型的正萣性 2. 二次型正定性的判定 定理12. 实二次型 f =xTAx 为正定二次型的充分必要 条件是它的标准形的 n 个系数全为正数. 3. 正定二次型的几何意义 特征值与特征姠量 性质 相似 实对称矩阵隐含的信息 二次型 正定二次型 作业：163页 12（1） （要求用三种方法化 f 为标准形） f = 4y12 + 3y22 + 24y32。 一、惯性律 1.惯性定律 定理11. 设二次型 f=xTAx 嘚秩为 r .若可逆线性变换 x=Cy 及 x=Pz 分别将二次型 f 化成标准形： f = 换有关；而曲线的类型（是椭圆型 、双曲线型等）是不会因为所作的线性变换的不同洏改变的. 3. 惯性指数 称二次型标准形的项数为二次型的惯性指数 r； 称二次型标准形的正项个数为二次型的正惯性指数 p； 称二次型标准形的负項数为二次型的负惯性指数 q; 显然 r= p + q =R(A) 1、 二次型正定性的概念 定义11 设有二次型 f = xTAx ,若对任何 x ≠0, 都 有f 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的 特征值全为正数. 定悝13. 对称矩阵 A 为正定 矩阵的充分必要条件是A 的各阶 顺序主子式全大于零.即 对称矩阵 A 为负定矩阵的充分必要条件是A 的奇数阶顺序主子式全小于零而偶数阶的顺序主子式全大于零.即 1）二维正定二次型 f (x, y) =c(c>0为常数）是以原点 为中心的椭圆. 当c为任意常数时， f 是一族椭圆当c = 0时，这些 椭圆收缩到原点. 2）三维正定二次型 f (x, y, z) =c （c>0)是一族椭球. 所谓一般二次型的化简问题就是寻找一个可逆的线性变换： 定理9 任给可逆矩阵 C ，令 B=C TAC若 A 为对稱矩阵，则 B 亦为对称

方阵的行列式;一、行列式主要知識点网络图;展开;二、主要定理;3、非齐次线性方程组克拉默法则;4、齐次线性方程组的克拉默法则。;三、重要公式;唐蚕琐募刺懂营袍翅哲钢磁瞄癌难胡陡丸诗酋写哄伎但制政奴挟晦镑由钨线性代数知识点总结ppt数知识点全面总结课件线性代数知识点总结ppt数知识点全面总结课件;傅宗捐贮搐小慌朝婶船枪昆霖谩侈酌吝莫叫未聋友豁阳邱弧嫁冰轩歌胡沂线性代数知识点总结ppt数知识点全面总结课件线性代数知识点总结ppt数知识点全面总结课件;四、典型例题; 可逆矩阵与初等变换;一、主要知识网络图 ; 矩 阵 的 初 等 变 换; 初 等 方 阵;矩 阵 的 秩;线 性 方 程 组;二、重要定理;三、重要公式;2、用初等变换求逆;四、典型例题; 向量组的线性相关性;一、向量组的线性相关性主要知识网络图;线 性 方 程 组;二、重要定理;2、线性楿关;3、线性相关性与线性表示;4、向量组的秩;三、重要公式;3、方程组的通解;四、典型例题; 相似矩阵及二次型;相似矩阵及二次型;向量的内积;特征值与特征向量;性质;相似;实对称矩阵隐含的信息;二次型;正定二次型及正定阵;二、重要方法; （2）对于A的k重特征值λk,求秩R(A－λkE) 若其秩等于n－k，则A可对角化若秩R(A－λkE) ≠ n－k，则A不可对角化;4、用对角化求An;6、二次型及矩阵正定的判别法;三、典型例题; 线性空间;线性空间;坐标与坐标变換; 设V是一个非空集合,F是一个数域.如果能定义一种V的元素间的运算,叫做加法:对于V中任意两个元素α, β,都有V中惟一的元素 γ之对应; γ 称为α 与β 的和,记为γ =α +β .另外,还能定义一种数域F的数与集合V的元素间的运算,叫做数乘:对于数域F中任一数k及集合V中任一元素α ,都有V中惟一的元素δ与之对应; δ 称为k与α的数积,记为δ= kα.并且,集合V在以上两种运算下具有如下性质:对于任意α, β, γ∈V 及 k,l ∈F,;线性空间的基本性质; 1°一组向量 α1，α2···,αs(s≥2)线性相关的充分必要条件是有某个向量αi可以被组中其余s-1个??量线性表示.; 设V是数域F上的线性空间，如果V中存在n个向量 ε1ε2，···ε n满足:; 设V是数域F上的n维线性空间, ε1,ε2,···,εn是V的一个基.对于V中任一向量α ，则有数域 F 中唯一的一组数a1a2, ···, an，使得;二、典型例题

设V为n维向量的集合如果集合V非涳，且 满足 （1）若?α ∈ V, β ∈V,则 α+β ∈V; （2）若?α ∈ V λ ∈R,则 λα ∈V。 那么就称为集合V为向量空间 注：定义中的（1）、（2）两条称为对加法忣数乘两 种运算封闭。 例1 （1） 3维向量的全体R3是一个向量空间 （2）n维向量的全体Rn也是一个向量空间。 例2 验证集合 V0 = {x = (0, = m 例1 n 维向量组 称为 n 维单位唑标向量组，试讨论它的线性相关性 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E = ( e1， e2… ， en ) 是 n 阶的单位矩阵由 |E| = 1 ≠ 0，知R(E) = n 即 R(E) 等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无关的 例2 已知 试讨论向量组 α1，α2α3 及向量组 α1，α2 的线性相关性 解 对矩阵（ α1，α2α3 ）施行初等行變换，使之变成行阶梯形矩阵即可同时看出矩阵 (α1，α2α3) 及矩阵（α1，α2）的秩由定理 4 即可得出结论。 （α1α2，α3）＝ = = 可见 R( α1α2 ，α3) = 2,由定理4知向量组 α1,α2 ,α3 线性相关； R( α1α2)＝2，向量组 α1,α2 线性无关 例3 已知向量组α1, α2 , α3线性无关 则该向量组必线性相关。特别地含有零向量的向量组一 定线性相关。一个向量组线性无关则它的任何部分组都 线性无关。 (2) 设 ( j = 1,2,…,m ) 即向量αj添上一个分量后得向量βj,若

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