《图形计算器在高中数学教学中的应用》课题研究 ...
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《图形计算器在高中数学教学中的应用》课题研究
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图形计算器――高中数学有效教学的利器
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你可能喜欢高中数学教学的新尝试――TI图形计算器在教学中的运用
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[关键词]& 图形计算器& 交互性&&& 探究&
新的《高中数学课程标准》要求普遍使用科学型计算器以及各种数学教育平台，加强数学与信息技术的整合.鉴于数学学科的特点和客观条件的限制，学生每天置身于机房上课显然是不现实的。TI图形计算器作为一种新型的数学使用工具，它具备符号代数系统、几何操作系统、数据分析系统等，可以直观地绘制各种图形，并进行动态演示、跟踪轨迹。TI图形计算器是教学、学习和做数学的强有力的工具。它为数学思想提供可视化的图像，使组织和分析数据容易实现。它们可以支持学生在数学各个领域的研究，更重要的是由于图形计算器的便携性、灵活性为数学教学提供了可能,本文就笔者对TI图形计算器在辅助数学教学中的实践,谈谈自己的一些体会,供各位同仁参考。
　　1．运用TI图形计算器优化课堂教学过程
利用TI优化组合，动静结合，能更充分地发挥各种媒体深刻的表现力和良好的重现力,它所展现的信息既能看得见，又能自己动手操作，亲身体验,这种多层次的表现力和多样性,有利于启发和培养学生的思维能力，有利于学生对知识的获取和保持。例如教师在讲解利用椭圆的定义作椭圆的图象时，一般的方法是利用自制教具演示.现在可以利用TI图形计算器动态演示作图过程。
椭圆的动点P是到定点F1和定点F2的距离之和为一个常数的点的轨迹。程序开始运行后，随着P点的移动|PF1|与|PF2|的长度在随时变化，但是它们的和是一个不变的数；而且可以随时按键暂停，再按键程序继续运行，这样一来可以仔细观察图中数值的变化。这时候可以询问学生那些是变化的？那些没有变化？调动了学生学习的积极性。程序名称：PRGT1.92P
　　1.2 利用TI突出重点
由于TI图形计算器可以为学生创造图文并茂、丰富多彩、人机交互、及时反馈的学习环境，学生可以通过亲自动手操作实验，看到概念的形成和发展过程，揭示数学概念和数学问题的本质,从而使教学的重点更加突出。同时，学生参与教学提供的技术支持，能更有效地突出学生在教学中的主体地位，提高课堂的教学效果。
例如，用“五点法”作出y=sinx在[0,2p]上的图象，是学生必须熟练掌握的内容，利用TI-92绘图计算器作图功能，可以非常容易演示描点过程和作图过程，加深学生的理解程度，有利于学生在有限的时间内快速掌握知识。
y=sinx在全体实数R上图象的作图方法是利用平移图象的方法，这种方法一开始学生很难接受，可以利用TI-92动画的方法演示平移过程.先用y=sinx在[0,2p]上的图象向右平移2p个单位作出y=sinx在[0,4p]上的图象，其它区间的图象可以用类似的方法作出，最后得出y=sinx在全体实数R上的图象.程序名称：PRGSIN1.92P
利用TI图形计算器，只须编一个简单的程序就可以将三角形函数中三角函数图形变换动态地展现出来。其精彩之处是能够很快实现不同表达方式之间的转化，这正是多年来我们已经形成的关于数形结合的共识。很多过去用传统教法费时费力的问题，今天普通学生借助图形计算器能够弄明白，而且兴趣昂然。
　　1.3&利用TI突破难点
一节课的成功与否,在很大程度上取决于对教材难点的处理上,有了TI图形计算器,就给我们提供了一种更为简洁、有效的方法,下面几个实例是高中数学教学中经常碰到的几个不太好处理的问题,但若借助TI,将会给我们带来新的启迪.
学习数学离不开运算，但繁杂的运算一直阻碍着学生能力的培养和提高，也是使学生对数学敬而远之的原因之一。TI图形计算器强大的数据处理功能可以把学生从复杂的数学计算中解放出来，避免做那些烦琐、枯燥和重复性的工作，更为重要的是能使学生以更多的精力去从事更有价值的观察、探究、实验、猜想、试证、问题解决等探索活动。这即可以使得许多在传统条件下令人束手无策的问题的解决成为可能，又有利于学生深入理解真正的数学。根据实践，学生研究的问题有很多与方程有关。但若遇到复杂的方程时，学生解答方程就显得吃力；有了TI图形计算器之后，问题就变得很容易了。
[例1] 已知复数z的辅角为, 且│z - 1│是│z│和│z - 2│的等比中项.求│z│.（2003全国高考第17题）
&分析：令&&
　　则│z - 1│2& = │z││z - 2│&&&&&& （1）
解方程(1)是学生解决本题的难点，需要灵活变换，解根式方程，据统计高考得分率很低。利用TI―92图形计算器中Solve功能，简单按下几个键(此处略)，可迅速正确帮助学生解决难关。
&& &[例2]& 目前，市场上某进口轿车的售价约36万元。此外，一辆轿车一年的养路费、汽油费、年检费、驾驶员工资费等约需6万元，同时年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%)，大约使用多少年后，花费在该车上的费用就达售价的36万元？
　　分析：设使用x年后花费达36万元，则
　　　即：。
这时，我们可以用TI图形计算器的方程求解功能：输入solve (),
　　再按Enter键, 即得: x = 5. 。&&&&&&&&&&&
不仅如此，我们也可以用TI图形计算器
　　作图求交点的方法求得。
　　设y1=, y2=,
　　作图如下：由图可直观得出x的解。
[例3] 讨论函数的单调性.
　　①按◆键和y＝键，分别输入：
　　③按下◆键和GRAPH键，在同一坐标系中作出三个函数的图像.如图3所示：结合图像讨论它们的单调性,则一目了然.
数学源于现实生活而又服务于生活，数学是科学也是技术。“21世纪每个公民所需要知道的数学知识，以数据处理最为重要。人们在工作中、日常生活中，不断受到数据信息的冲击。广告里的数据颇颇出现，大部分涉及数据的应用。”由于现实问题往往涉及复杂的数据，在传统条件下无法直接使用，致使很多“应用问题”中的数据带有强烈的人为痕迹，甚至因“失真”而出现笑话。现在，借助于TI等信息技术强大的数据处理功能，完全可以让学生探索解决一些日常生活和自然科学中的真实问题，使学生与现实数学亲密接触，消除数学的神秘感，从而体会数学的应用价值，形成正确的数学观、科学观。
[例4] 现有某班一份数学考试成绩，下面用TI图形计算器对这组数据进行直观表示。
首先输入数据；
然后用数学直方图绘制图表，形象直观。
最后还可以对数据进行求平均值和方差分析。
“探索是数学的生命线”。培养学生的质疑精神和探究能力是数学教育的主要目标之一，是学生终身发展的必备素质。TI图形计算器强大的计算机代数系统、交互式动态几何功能等构成了一个探索数学奥秘的理想实验室，给学生的发现提供了巨大的探究与实验空间。
[例5] 某城市年末汽车保有辆为30万辆，预计此后每年报废上一年末保有辆的6%，并且每年新增汽车数量相同，为了保护城市环境和缓解交通压力，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，市政府规定每年新增汽车数量不应超过3.6万辆，请问这一规定是否合理？多少年后到达60万辆？
&&& 分析：由已知，可以定义数列{}：
&&& 在函数编辑窗口中输入“”，按Enter键；接着输入“”，再按Enter键，同时进入窗口设置范围：
&&& 按显示键“Graph”画图，按F3(trace)键进行跟踪，发现当n=178即2179年时汽车拥有量开始达到万辆。
通过追踪，发现当n & 178时，始终等于60，在主窗口中输入“”，按Enter键后发现结果仍为60，即1000年后汽车的保有量始终为60万辆，所以该市的这一规定可以满足要求。
&&& 有人提出了一个疑问：这一规定是不是有点保守呢？即当新增汽车数超过3.6万时能否满足要求呢？我们取3.6001万进行检验，发现当n = 168时汽车保有量为60.001万辆，超出规定。
由此可见，市政府的这一规定是非常合理的。
　　3．运用TI图形计算器进行研究性学习
[例6] 我们在教学实践中，有一组学生想研究诺贝尔奖金的问题。在弄清这个问题的基本背景的基础上，她们在一本名为《发现》的杂志上获得奖金的具体数额。数据的内容是通过过去的100年中的一些诺贝尔奖金金额，预测2008年可能的诺贝尔奖金金额（见下表）。
首先，输入数据；
其次，描点；
然后，选择恰当函数；（注：所选取的函数对要预测的数据有很大影响，所以这一步尽可能多地选几个函数，然后进行比较，选取最近似的一个函数。经过比较，这里选取四次函数类型。）
最后，计算结果。
利用类似的方法还可以解决下面的问题.
[例7] 据2001年5月15日参考消息报道，前四届奥运会和2004年（专家预测）奥运会转播费收入如下表所示。请预测2008年奥运会转播费收入为多少？(单位：亿美元)
(1)打开TI图形计算器，按APPS键，选择Data/Matrix Editor，然后选择3(new)建立新的文件。
(2)输入数据：在表格第一列（C1）中输入年份（用1,2,3……表示96……年），在第二列（C2）中输入转播费的收入；
(3)画图：设置画图模式，以x轴为年份、y轴为收入，空心方块为标记画图得到散点；
(4)建立回归模型：观察散点图，可以看到它们近视在一条线上。因此，可以进行线性拟合，求出回归模型：.
(5)推测2008年奥运会转播费收入：从窗口的图中可以看出直线与数据拟合的比较好，可以用这个模型来进行预测。方法：利用菜单中的功能键，直接计算。这样，我们就很容易地得到结果：年奥运会转播费收入约18亿美元。
社会的发展不仅需要数学家、科学家，更需要大批工程技术人员，他们无须研究数学，只需会“用数学”就可以了。每一个公民在日常工作和社会生活会经常遇到需要数据处理的问题，TI图形计算器就能够把我们这些“凡人”从复杂的数据处理中解放出来，只要按几下键，在短时间内便求出数据的各种拟合曲线和需要的结果（均值、方差、图象等等），大大提高工作效率、提高生活质量.
　　4& 感悟与思考
　　4.1 对TI图形计算器的几点感悟
(1).TI图形计算器的运用必将促进我们对教育观念的更新。TI图形计算器是一部不可多得的处理数学信息的现代信息工具，它集成了被公认为最优秀的数学软件“Mathcad”和“The Geometer’s Sketchpad”--几何画板。通过对TI图形计算器的学习和使用，有利于启发学生对现代科学技术的向往与追求,也使我们的教育手段得以提升,教育观念得以更新。
(2).TI与教学的实际工作相结合，才有价值。现行高中教材中已经对信息技术有了明确的要求，有的复杂计算就明确要求学生使用计算器进行计算，有的阅读材料中要求学生去浏览相关网站，进一步获取有关的知识，研究性学习课程中的实践活动还要求学生利用计算机进行数据处理等,TI的使用必然与教学密切结合,为我们的教学服务,提高我们的课堂教学效率。
(3).教师勇于面对TI图形计算器。在我们的教学工作中如何运用TI技术，目前全国还处于一个探索阶段，有一些参考资料，但没有一个成型的教材，全靠教师本人去自学、去钻研、去寻找高新技术与教材的最佳结合点，充分发挥TI的优势去解决传统教学方式不容易解决或不能解决的问题。
(4).图形计算器本身就是一个很好的教学工具。利用TI图形计算器的最大优势在于:可以再现发现数学规律的过程，让学生自己动手体验，使得很抽象的数学规律自然、高效的被学生理解掌握;能引导学生“观察--猜想--论证”，为他们在将来工作中进行创造性的研究积累宝贵的经验，打下坚实的基础。
(5).TI图形计算器本是一个掌上实验室。以学生为中心进行合作学习，以问题共同解决、培养能力为中心的教育理念及终身学习的思想已深入人心。而图形计算器可以作为一个很好的实现载体。从数学的角度讲，问题是数学发展的动力，现代数学教育更是强调要进行“问题解决”，在解决问题过程中锻炼思维、提高应用能力。而传统的数学教育由于多方面的限制，片面强调了数学重视演绎推理的一面，忽视了数学作为经验科学的一面。现在学生自主探究的教学模式可以得到信息技术的有力支持，实际上，我们很多学生已经利用计算机软件和图形计算器自主地在“问题空间”里进行探索和做“数学实验”。
(6).以人为本,以学生为中心的教育观得到充分体现。TI辅助课堂教学,充分体现了以学生为中心的教育理念,教师从教学的主角,逐步向学习的引导者转换,教师的角色有了全新的变化，启发、引导，给学生最大的空间，让学生自主探究，亲身体验，努力学技术用技术，与技术同步；同时也促进了教师的发展，自我人生价值的实现。学生思维被激活，动手探究问题，同学相互研讨，引发了学生的求知欲。
(7). TI 有利于培养学生的创新能力。 在“TI”技术的支持下,学生有机会学习更多的知识，有更多的动手和探索的机会,通过探究过程，形成对知识的主动理解而不是被动接受，有利于引导学生主动学习、研究新知识、吸收新知识；有利于培养学生的动手能力和实践能力,有利于培养学生相互合作的能力,有利于激发学生的创新意识和创造精神,并在教师的指导下进行创新和发现。
　　4.2 几点思考
(1).争取得到考试制度方面的支持，允许TI-92进入考场。高科技产品（智能工具）目前得不到基础教育的考试制度的支持，直接影响着它的推广和应用。
(2).编著出版基于TI手持技术上的实验教材供我们选用。
(3).建立一批推广应用TI手持技术的学校网点。
(4).培养一批推广应用TI手持技术的教师队伍。把学用TI手持技术作为理科教师继续教育的内容之一。
(5).开展应用TI手持技术的竞赛活动。如可以在一些建模竞赛中允许使用TI，建模由人脑完成，求解与探索由电脑辅助完成，人机分工合作，提高分析问题和解决问题的效益。
(6).要科学的运用TI图形计算器,不要以TI代替传统的和正常的数学教育活动,同其它多媒体一样,如果我们过多的依赖于它,很可能会造成负面影响,如对于函数的教学,如果我们一味地利用TI代替手动画图,则会削弱学生对函数图像的理解与掌握,从而使学生无法得到应有的训练。TI只能是辅助我们的数学教学,只能是为我们的教学服务,它不可能替代我们教师,教师始终是学习活动的引导者,TI只能是我们的教学工具。
虽然思维的抽象性和逻辑性构成了数学的独特风格，但这并不妨碍TI技术对数学活动的支持作用。总之，TI教育技术不仅能够提高课堂教学效率，而且还能使学生的学习活动不受时间和空间的限制，改变传统封闭式的、被动接受、统一的教学方式，逐渐形成富有启发性的、探究式的、开放式的、个性化的学习局面，有利于自主探究学习方式的形成，有利于创新型人才的培养，更为终身教育奠定了基石。作为一种新技术，TI图形计算器将帮助学生更好地研究、探索数学奥秘，给学生的学习带来无穷的乐趣和激情！
　　&[参考文献]
　　[1] 国家高中数学课程标准制定组.《高中数学课程标准》的框架设想[ J ].数学教育学报，).
　　[2]& 康杰& 图形计算器在中学数学探究活动中的应用[J] .数学教育学报，).
　　[3]&& 陈辉主编，叶立军副主编《学科教育研究》杭州出版社2002年板.
　　[4]& 王长沛.图形计算器在中学数学活动案例选[M].北京：北京大学出版社，2000,7.
　　[5] 丁尔升，《我国中小学数学课程发展的思考》.数学通报，2002.5
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