必修作业 >人教版现行初中数学九年级初中代数第三册-人教版第十二章 一元二次方程二次三项式的因式分解(用公式法)
二次三项式的因式分解(用公式法)
(&甘肃庆阳四期初中数学二班 )
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人教版现行初中数学九年级初中代数第三册-人教版第十二章 一元二次方程二次三项式的因式分解(用公式法)
二次三项式的因式分解(用公式法)
班级情况，学生特点分析：&
我班学生聪明，好学，对于知识的接受快。思维能力较强，学生愿意探讨，乐意想象，乐于发现问题，然后分析，解决问题。但因平时较少参与自己动手，自己创造，所以在这方面还存在不足。平时课堂上，我着重于小组合作学习能力的培养，学生几年来的积累足以完成本堂课上要求。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &公式法（一）
&&& 教学目标
&&& （一）教学知识点
&&& 运用平方差公式分解因式．
&&& （二）能力训练要求
&&& 1．能说出平方差公式的特点．
&&& 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
&&& 3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．
&&& 4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．
&&& （三）情感与价值观要求
&&& 培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．
&&& 教学重点
&&& 应用平方差公式分解因式．
&&& 教学难点
&&& 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
&&& 教学方法
&&& 自主探索法．
&&& 教学过程
&&& Ⅰ．提出问题，创设情境
&& 让学生思考下列问题．
&&& 问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
&&& 问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
&&& 问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？
&&& 1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．
&&& 2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解．
&&& 3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．
&&& 要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：
&&& a2-b2=（a+b）（a-b）．
&& 多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．
&&& Ⅱ．导入新课
&& 观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？
&&&&&&& （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
&&& （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
&&& （3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．
&&& 由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
&[做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2这一类错误]
&&& 填空：
&&& （1）4a2=（&&& ）2；
&&& （2） b2=（&&& ）2；
&&& （3）0.16a4=（&&& ）2；
&&& （4）1.21a2b2=（&&& ）2；
&&& （5）2 x4=（&&& ）2；
&&& （6）5 x4y2=（&&& ）2．
&&& 例题解析：
&& [例1]分解因式
&&& （1）4x2-9&& （2）（x+p）2-（x+q）
&&& [例2]分解因式
&&& （1）x4-y4&&& （2）a3b-ab
&&& 可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．
&&& [例1]（1）
，（2）中的x+p相当于平方差公式中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b可以表示一个数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式，渗透换元的思想方法）
&&& [例2]（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．但分解到（x2+y2）（x2-y2）后，部分学生会不继续分解因式，针对这种情况，可以回顾因式分解定义后，让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止．
&&& （2）不能直接利用平方差公式分解因式，但通过观察可以发现a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．
&&& 解：（1）x4-y4
&&& =（x2+y2）（x2-y2）
&&& =（x2+y2）（x+y）（x-y）．
&&& （2）a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）．
&&&&&&& （1）系数变形时计算错误；
&&&&&&& （2）结果不化简；
&&&&&&& （3）化简时去括号发生符号错误．
&&& 最后教师提出：
&&& （1）多项式分解因式的结果要化简：
&&& （2）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．
&&& 练一练：
&&& 把下列各式分解因式
&&& （1）36（x+y）2-49（x-y）2
&&& （2）（x-1）+b2（1-x）
&&& （3）（x2+x+1）2-1
&&& （4） - ．
&&&&&&& Ⅲ．随堂练习
&&& 1．课本
&&&&&& Ⅳ．课时小结
&&& 1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
&&& 2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
&&& 3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
&&& Ⅴ．课后作业
&&& 1．课本P198习题15．5─2、7题．
&&& 2．预习“用完全平方公式分解因式”．
&&& §15．5．2．1& 公式法（一）
&&& 一、1．復習提公因式法分解因式．
&&& 2．將a2-b2分解因式．
&&& 用平方差公式分解因式：a2-b2=（a+b）（a-b）
二、例題講解
&&& [例2]略
&&& 三、小結：（略）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&公式法（二）
&&& 教学目标
&&& （一）教学知识点
&&& 用完全平方公式分解因式
&&& （二）能力训练要求
&&& 1．理解完全平方公式的特点．
&&& 2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．
&&& 3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．
&&& 4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
&&& （三）情感与价值观要求
&&& 通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．
&&& 教学重点
&&& 用完全平方公式分解因式．
&&& 教学难点
&&& 灵活应用公式分解因式．
&&& 教学方法
&&& 探究与讲练相结合的方法．
&& ． 教学过程
&&& Ⅰ．提出问题，创设情境
&&& 问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
&&& 问题2：把下列各式分解因式．
&&& （1）a2+2ab+b2
&&& （2）a2-2ab+b2
&&& 将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．
&&& 两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
&&& 问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．
& 今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．
&&& Ⅱ．导入新课
& 下列各式是不是完全平方式？
&&& （1）a2-4a+4
&&& （2）x2+4x+4y2
&&& （3）4a2+2ab+ b2
&&& （4）a2-ab+b2
&&& （5）x2-6x-9
&&& （6）a2+a+0.25
&&& 结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2
&&& （3）4a2+2ab+ b2=（2a）2+2×2a· b+（ b）2=（2a+ b）2
&&& （6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2
&&& （2）、（4）、（5）都不是．
&&& 方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．
例题解析&&
&[例1]分解因式：
&&& （1）16x2+24x+9&&& （2）-x2+4xy-4y2
&&& [例2]分解因式：
&&& （1）3ax2+6axy+3ay2&&&& （2）（a+b）2-12（a+b）+36
&&& 学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．
&&& [例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即
&&& 解：（1）16x2+24x+9
&&& =（4x）2+2·4x·3+32
&&& =（4x+3）2．
&&& （2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．
&&& 所以：
&&& 解：-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2）
&&& =-[x2-2·x·2y+（2y）]2
&&& =-（x-2y）2．
&&&&&&& 练一练：
&&&&&&& 把下列多项式分解因式：
&&& （1）6a-a2-9；
&&& （2）-8ab-16a2-b2；
&&& （3）2a2-a3-a；
&&& （4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2
&& Ⅲ．随堂练习
&&&&&&& Ⅳ．课时小结
&&& 学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？
&&& （引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）
&&& Ⅴ．课后作业
&&& 课本练习15．5─3、5、8、9、10题．
&&& 板书设计
&&& §15．5．3．2& 公式法（二）
&&& 一、用完全平方公式分解因式．
&&& 分解因式→公式法→a2±2ab+b2& （a2±b2）←多項式乘多項式←整式乘法，兩數平方和加（或減）兩數積的2倍＝兩數和（或差）的平方．
&&& 二、例題解析：
&&& [例1]（略）&&& [例2]（略）
&&& 三、練一練：（1）、（2）、（3）、（4）．
&&& 四、小結
评判留言&&
本文章还没有评论1.下列多项式能用平方差公式分解的因式有（
）（1）a2+b2 (2)x2-y2
D.5个2下列因式分解 正确的是（
）A .9a2+4b2=(9a+4b)(9a-4b)
B.-s2-t2=(-s+t)(-s-_作业帮
拍照搜题，秒出答案
1.下列多项式能用平方差公式分解的因式有（
）（1）a2+b2 (2)x2-y2
D.5个2下列因式分解 正确的是（
）A .9a2+4b2=(9a+4b)(9a-4b)
B.-s2-t2=(-s+t)(-s-
1.下列多项式能用平方差公式分解的因式有（&&& ）（1）a2+b2 (2)x2-y2& (3)-m2+n2&& (4)-a2b2&&& (5)-a6+4&& A.2个&& B.3个&& C.4个&&&&& D.5个2下列因式分解 正确的是（&&& ）A .9a2+4b2=(9a+4b)(9a-4b)&&& B.-s2-t2=(-s+t)(-s-t)C.m2+(-n)2=(m+n)(m-n)&&&&&&&& D.-9+4y2=(3+2y)(2y-3)3.对于任整数n.多项式（4n+5）2-9都能（&&&& ）A.被6整除&& B.被7整除&& C.被8整除& D.被6或8整除4.将多项式xn+3-xn+1分解因式,结果是（&& ）A.xn（x3-x）&&& B.xn(x3-1)&& C.xn+1(x2-1）& D.Xn+1(x+1)（x-1）&5.在边长为a的正方形中挖去一个边为b的小正方形（a&b）( 如图甲）,把余下的部分拼成一个长方形(如图乙）,根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证（&&& ）&&&A.(a+b)2=a2+2ab+b2&&&& B.(a-b)2= a2-2ab+b2C.a2+b2=(a+b)(a-b)&&& D.(a+2b）(a-b)= a2+ab-2b26.下列分解因式中错误是（&& ）A.a2-1=(a+1)(a-1)&&&&&&&&&&& B.1-4b2=(1+2b)(1-2b)C.81a2-64b2=(9a+8b)(9a-8b)&&& D.(-2b)2-a2=(-2b+a)(2b+a)7.化简（a+1）2-（a-1）2的结果是（&& ）A.2&& B.4&& C.4a& D.2a2+2&8.若a,b,c是三角形的三边之长,则代数式a2-2bc+c2-b2的值（&& ）A.小于0&& B.大于0&& C.等于0& D.以上三种 情况均有可能二、细心填一填9.分解因式92-144y2=&&&&&&&&&& 10.观察下列等式12-02=1,22-12=3,32-22=5,42-32=7…试用n的等式表示这种规律为&&&&&&& （n≥1且为正整数）11.分解因式m2n2-8=&&&&&& 12、分解因式 x²-y²-3x-3y=&& &&&&&13、运用公式法计算：结果是&&&&&& &14、已 知ab=2,则（a+b）2-（a-b）2的值是&&&&&& &15、若｜2a-18 ｜+（4-b）2=0,则a m2-bn2分解因式为&&&&&& &16、若m2-n2=6且m-n=3,则m+n=&&&&&& &17、（1-）（1-）……（1-）（1-）=&&&&&& &18、设n是任意正整数,带入式子n3-n中计算时,四名同学算出如下四个结果,其中正确的结果可能是（&&& ）.A、388947&&& B、38 8944& C、388953&& D、38894919、分解因式：169（a-b）2-196（a+b）2&&&&20、分解因式：a2（ a-b） +b2（b-a）&&&&21、已知a+b=8,a2-b2=48,求a和b的值.&&&&22、已知a= ,b=,求：（a2-b2）2-（a2+b2）的值.&&&&23如图,有一块边长为a的正方形纸板 的四周,各剪去一个边长 为b（b＜二分之一a）的正方形.（1）用代数 式表示阴影部分的面积.（2）利用因式分解的方法计算,当a=15.4 b=3.7时,阴影部分的面积.
“数理答疑团”为您解答,希望对你有所帮助.1.下列多项式能用平方差公式分解的因式有（
）（1）a2+b2 (2)x2-y2
D.5个2下列因式分解 正确的是（
）A .9a2+4b2=(9a+4b)(9a-4b)
B.-s2-t2=(-s+t)(-s-t)C.m2+(-n)2=(m+n)(m-n)
D.-9+4y2=(3+2y)(2y-3)3.对于任整数n.多项式（4n+5）2-9都能（
）A.被6整除
D.被6或8整除4.将多项式xn+3-xn+1分解因式,结果是（
C ）A.xn（x3-x）
B.xn(x3-1)
C.xn+1(x2-1）
D. Xn+1(x+1)（x-1）
5.在边长为a的正方形中挖去一个边为b的小正方形（a>b）( 如图甲）,把余下的部分拼成一个长方形(如图乙）,根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证（ D
）A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2= a2-2ab+b2C. a2+b2=(a+b)(a-b)
D. (a+2b）(a-b)= a2+ab-2b26.下列分解因式中错误是（ D
）A. a2-1=(a+1)(a-1)
B.1-4b2=(1+2b)(1-2b)C.81a2-64b2=(9a+8b)(9a-8b)
D.(-2b)2-a2=(-2b+a)(2b+a)7.化简（a+1）2-（a-1）2的结果是（ C
D.2a2+2 8.若a,b,c是三角形的三边之长,则代数式a2-2bc+c2-b2的值（ D
D.以上三种 情况均有可能二、细心填一填9.分解因式92-144y2=
10.观察下列等式12-02=1,22-12=3,32-22=5,42-32=7…试用n的等式表示这种规律为
（n≥1且为正整数）
n²-(n-1)²=2n-111.分解因式m2n2-8=
（mn+2√2）（mn-2√2）
12、分解因式 x²-y²-3x-3y= (x+y)(x-y)-3(x+y)= (x+y)(x-y-3) 13、运用公式法计算：结果是
14、已 知ab=2,则（a+b）2-（a-b）2的值是
8 15、若｜2a-18 ｜+（4-b）2=0,则a m2-bn2分解因式为
(3m+2n)(3m-2n)
16、若m2-n2=6且m-n=3,则m+n=
17、（1-）（1-）……（1-）（1-）=
18、设n是任意正整数,带入式子n3-n中计算时,四名同学算出如下四个结果,其中正确的结果可能是（
）.A、388947
B、38 8944
D、388949三、解答题19、分解因式：169（a-b）2-196（a+b）2
=(13a-13b+14a+14b)(13a-13b-14a-14b)
= -(27a+b)(a+27b)20、分解因式：a2（ a-b） +b2（b-a）
=（ a-b）(a2 -b2)
=(a+b)(a-b)²21、已知a+b=8,a2-b2=48,求a和b的值.a2-b2=48,（a+b）（a-b）=48,a+b=8,a-b=6,a=7,b=122、已知a= ,b=,求：（a2-b2）2-（a2+b2）的值.23如图,有一块边长为a的正方形纸板 的四周,各剪去一个边长 为b（b＜二分之一a）的正方形.（1）用代数 式表示阴影部分的面积.a²-4b²（2）利用因式分解的方法计算,当a=15.4 b=3.7时,阴影部分的面积.a²-4b²=（a+2b）（a-2b）=（15.4+7.4）（15.4-7.4）=182.4如果你认可我的回答,敬请及时采纳,~如果你认可我的回答,请及时点击【采纳为满意回答】按钮~~手机提问的朋友在客户端右上角评价点【满意】即可.~你的采纳是我前进的动力祝你学习进步,更上一层楼! (*^__^*)请你写出一个只含有两项的多项式，使它在提取公因式后还能用平方差公式分解因式．那么你写出的符合条件的多项式是2x2-2y2（写出一个即可）．【考点】．【专题】开放型．【分析】根据平方差公式的结构以及提公因式法分解因式构造多项式即可．【解答】解：2x2-2y2，=2（x2-y2），=2（x+y）（x-y）．所以，符合条件的多项式可以为2x2-2y2．故答案为：2x2-2y2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，本题根据平方差公式的结构构造多项式是关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：星期八老师　难度：0.52真题：1组卷：0
解析质量好中差若多项式4a^2+M能用平方差公式分解因式,则单项式M=?最好用代数式表示出来，常数也行_作业帮
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若多项式4a^2+M能用平方差公式分解因式,则单项式M=?最好用代数式表示出来，常数也行
若多项式4a^2+M能用平方差公式分解因式,则单项式M=?最好用代数式表示出来，常数也行
单项式M=负数
M为完全平方数的相反数，即M=-a^2能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点?_作业帮
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能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点?
能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点?
字母的指数是偶数,系数是完全平方数,一项为正,一项为负.多余两项时可以用分组分解.
字母的指数是偶数，系数是完全平方数，一项为正，一项为负。多余两项时可以用分组分解。