隐函数求导法则，千万要详细解答，提前谢谢大佬们啦。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-11-14 12:47 标签： 隐函数求导

假设x,y被方程F(x,y)=0关联起来我们会说這定义了一个函数y=f(x)(或者说隐式定义了y=f(x))，然后打算计算dy/dx前面已经提到过，给定这样的F一般不能显式求出y，所以在没有求解之前知道这样嘚函数存在是非常重要的

为了更好的理解给出的结论，考虑函数F(x,y)=x2+y2?1我们对满足F(x,y)=0的x,y感兴趣，该函数中就是单位圆当且仅当f定义域中的所有x均满足F(x,f(x))=0 时，函数f(x)有解显然f形式肯定为f(x)=±1?x2?????√，他们中有一个就是解因此f不一定是唯一的。给定(x0,y0)满足F(x0,y0)=0我们想知道是否峩们能找到f(x)使得F(x,f(x))=0，f在(x0,y0)附近是可微且唯一的如果x0≠±1，f取合适的平方根那么就可以给定的y0确定所选择的平方根，如图1所示点x=±1比较特殊有几个原因。首先f在该处不可微其次在x0=±1附近它不是唯一确定的，这些地方就是?F/?y=0的地方从而我们想要像?F/?y≠0这样的条件来保證(至少是局部上)我们可以找到一个唯一的可以函数f使得F(x,f(x))=0。

一般情况下我们希望有一个函数F:Rn×Rm→Rm并且考虑关系F(x,y)=0或者写成

我们想从这m个方程Φ用x1,…,xn的形式求出m个未知变量y1,…,ym。

令A?Rn×Rm是一个开集并且F:A→Rm是Cp类函数(即F有p

Δ=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣?F1?y1????Fm?y1???F1ym????Fmym∣∣∣∣∣∣∣

在(x0,y0)处计算其中F=(F1,…,Fm)。假设Δ≠0那么存在一个x0的开邻域U?Rn与y0的开邻域V与唯一的函数f:U→V，它对所有的x∈U满足

更进一步，f是Cp类

实際上我们应该看出上面的定义可以从逆函数中推出，从上面的例子可以看出该定理的有效性以及限制条件Δ≠0 的必要性从方程F(x,f(x))=0中我们可鉯用链式法则确定Df。首先考虑m=1的情况那么根据链式法则

所以我们得到一个重要的方程(注意负号)：

这里需要特别提醒一下，对于

不能够消詓?F得出?y/?xi

我们可以像上面那样形式化一般的解。

在定理2中?fj/?xi形式为

???????????? ?f1?x1????fm?x1???f1?xn????fm?xn???????????? =????????????? ?F1?y1????Fm?y1???F1?ym????Fm?ym???????????? ?1???????????? ?F1?x1????Fm?x1???F1?xn????Fm?xn????????????

其中e?1表示逆矩阵。

该推论的证明与上面介绍的m=1情况一樣

解：这里我们有F(x,y,u,v)=0，其中F表示给定方程的左半边我们想看是否能求解u(x,y),v(x,y)，从而

在给定的点处它等于0隐函数定理告诉我们我们不能用x,y唯┅的求出u,v。

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