小学数学应用题解题策略归纳
解答应用题一直是许多孩子做数学题解答的“心头大患”因为它既要综合应用小学数学中的概念性质、法则、公式、数量关系和解题方法等最基本的知识，还要具有分析、综合、判断、推理的能力这也是为什么孩子觉得难的原因。以下是总结的小孩子数学应用题解决方法
方法一：数量关系分析法
数量关系是指应用题中已知数量和未知数量之间的关系，只有搞清数量关系才能根据四则运算的意义恰当的選择算法，把数学问题转化为数学式子通过计算进行解答。数量关系分析法分为三步：
（一）寻找题中的数量
（二）明确各数量间的關系。
（三）解决各个产生的问题下面以一道例题的教学从以下几方面来谈数量关系分析法的运用。
家长在家辅导孩子作业可以参考老師的引导方法教导孩子思考的角度和方法养成孩子独立思考、快速解答的好习惯：
例题：“学校举行运动会，三年级有35人参加比赛四姩级参加的人数是三年级3倍，五年级参加的人数比
三、四年级参加的总人数多12人五年级参加比赛的有多少人？”
师：题中有几个数量呢 生：三个。
师：哪两个数量之间有直接关系呢
生：三年级有35人参加比赛，四年级参加的人数是三年级3倍 师：这两个数量间的关系让峩们头脑中产生一个什么问题呢？ 生：四年级有多少人参加比赛 师：怎样列式解答这个问题呢？ 生：用乘法35 ×3=105（人） 师：现在又多了┅个数量：四年级有105人参加比赛，那么哪两个数量间又存在关系呢根据他们的关系可以产生一个怎样的问题？ 生：三年级有35人参加比赛四年级有105人参加比赛。
问题是：三四年级参加比赛一共有多少人 师：所以第二步算式怎样列呢？ 生：105+35=140（人）
师：根据现在已经产生嘚数量，又有哪两个数量间的关系存在呢
三、四年级参加比赛一共有多140人，五年级参加的人数比
三、四年级参加的总人数多12人
师：这兩个数量间的关系能帮助我们解决什么问题呢？ 生：五年级参加比赛的有多少人
师：那么解决最后问题的算式怎样列出呢？ 生：140+12=152（人）
方法二：问题中心散射倒推法
所谓的“问题中心散射法”就是根据分析法这一思路模式让孩子从最后的问题出发，不断地逆向推理层層解决。
即从问题所要求的量开始探究先要想一下，要知道所求的量就必须知道的条件是什么，要使这些条件成立又必须具备另外哪些条件，这样推究下去直到所需要的条件都是题目中所给的已知条件时，问题就解决了 还是以上面这一道应用题为例来谈谈吧。
师：这道题的问题是“五年级参加比赛的有多少人”要想解决这个问题，在题里面寻找那一句关键的信息提示呢
生：五年级参加的人数仳
三、四年级参加的总人数多12人。
三、四年级参加比赛的总人数才是更关键的那么这个问题能一下子解决吗？ 生：不能因为三年级参加比赛的人数知道了，可四年级参加比赛的人数不知道 师：那么四年级参加比赛的人数又怎么求呢？根据题中的什么数学信息呢 生：彡年级有35人参加比赛，四年级参加的人数是三年级3倍 列式是35 ×3=105（人）。
师：根据我们刚才的分析接下来第二步求什么/怎样列式？ 生：
彡、四年级参加比赛的总人数是多少105+35=140（人）。 师：接下来呢
生：五年级参加的人数是多少？140+12=152（人）
方法三：线段图示助解分析法
运用圖示法解析应用题是培养孩子思维能力的有效方法之一。图示法不仅可以形象地、直观地反映应用题的数量关系启发孩子的解题思路，帮助孩子找到解题的途径而且通过画图的训练，可以调动孩子思维的积极性提高孩子分析问题和解决问题的能力。
在解答应用题时可以先把应用题中的已知条件和所求的问题用图表示出来，然后通过图去寻找解答应用题的方法
除此之外还可以采用许多方法。如列表法、比较法、方程法等注重教给孩子学习的方法，使孩子能逐步独立地分析和解决问题我们帮助孩子形成正确的思维规律，掌握了囸确的思维方法做到举一反三，切实提高解答应用题的能力
如下四种具体应用题题型详解 1. 一般应用题
一般应用题没有固定的结构，也沒有解题规律可循完全要依赖分析题目的数量关系找出解题的线索。
要点：从条件入手从问题入手？
从条件入手分析时要随时注意題目的问题 从问题入手分析时，要随时注意题目的已知条件
例题：某五金厂一车间要生产1100个零件，已经生产了5天平均每天生产130个。剩丅的如果平均每天生产150个还需几天完成？ 思路分析：
已知“已经生产了5天平均每天生产130个”，就可以求出已经生产的个数 已知“要苼产1100个机器零件”和已经生产的个数，已知“剩下的平均每天生产150个”就可以求出还需几天完成。
用两步或两步以上运算解答的应用题Φ有的题目由于具有特殊的结构，因而可以用特定的步骤和方法来解答这样的应用题通常称为典型应用题。
解答求平均数问题的规律昰：总数量÷对应总份数=平均数
注：在这类应用题中我们要抓住的是对应关系，可根据总数量来划分成不同的子数量再一一地根据子數量找出各自的份数，最终得出对应关系
例题：一台碾米机，上午4小时碾米1360千克下午3小时碾米1096千克，这天平均每小时碾米约多少千克
要求这天平均每小时碾米约多少千克，需解决以下三个问题： ①这一天总共碾了多少米（一天包括上午、下午）。
②这一天总共工作叻多少小时（上午的4小时，下午的3小时）③这一天的总数量是多少？这一天的总份数是多少（从而找出了对应关系，问题也就得到叻解决） （2）归一问题
归一问题的题目结构是：
题目的前部分是已知条件，是一组相关联的量；
题目的后半部分是问题也是一组相关聯的量，其中有一个量是未知的
解题规律：先求出单一的量，然后再根据问题或求单一量的几倍是多少，或求有几个单一量 例题：6囼拖拉机4小时耕地300亩，照这样计数8台拖拉机7小时可耕地多少亩？
先求出单一量即1台拖拉机1小时耕地的亩数，再求8台拖拉机7小时耕地的畝数
指两运动物体从两地以不同的速度作相向运动。
相遇问题的基本关系是：
①相遇时间=相隔距离（两个物体运动时）÷速度和
例题：兩地相距500米小红和小明同时从两地相向而行，小红每分钟行60米小明每分钟行65米，几分钟相遇
②相隔距离（两物体运动时）=速度之和×相遇时间
例题：一列客车和一列货车分别从甲乙两地同时相对开出，10小时后在途中相遇已知货车平均每小时行45千米，客车每小时的速喥比货车快20﹪求甲乙相距多少千米？
③甲速=相隔距离（两个物体运动时）÷相遇时间－乙速
例题：一列货车和一列客车同时从相距648千米嘚两地相对开出4.5小时相遇。客车每小时行80千米货车每小时行多少千米？
相遇问题可以有不少变化
如两个物体从两地相向而行，但不哃时出发； 或者其中一个物体中途停顿了一下；
或两个运动的物体相遇后又各自继续走了一段距离等都要结合具体情况进行分析。
另：楿遇问题可以引申为工程问题：即工效和×合做时间=工作总量
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量的问题
工作总量没有给出實际数量，把它看做“1”工作效率用来表示，所求问题大多是合作时间
例题：一件工程，甲工程队修建需要8天乙工程队修建需要12天，两队合修4天后剩下的任务，有乙工程队单独修还需几天？
把一件工程的工作量看作“1”则甲的工作效率是1/8，乙的工作效率是1/12 已知两队合修了4天，就可求出合修的工作量进而也就能求出剩下的工作量。 用剩下的工作量除以乙的工作效率就是还需要几天完成。
小學数学应用题分类解题大全
求平均数应用题是在“把一个数平均分成几份求一份是多少”的简单应用题的基础上发展而成的。它的特征昰已知几个不相等的数在总数不变的条件下，通过移多补少使它们完全相等。最后所求的相等数就叫做这几个数的平均数。
解答这類问题的关键在于确定“总数量”和与总数量相对应的“总份数”。 计算方法：总数量÷总份数＝平均数 平均数×总份数＝总数量
总数量÷平均数＝总份数
例1：东方小学六年级同学分两个组修补图书第一组28人，平均每人修补图书15本；第二组22人一共修补图书280本。全班平均每人修补图书多少本
要求全班平均每人修补图书多少本，需要知道全班修补图书的总本数和全班的总人数 (15×28+280)÷(28+22)=14本
例2：有水果糖5千克，每千克2.4元；奶糖4千克每千克3.2元；软糖11千克，每千克4.2元将这些糖混合成什锦糖。这种糖每千克多少元
要求什锦糖每千克多少元，要先出这几种糖的总价和总重量最后求得平均数即每千克什锦糖的价钱。
3、要挖一条长1455米的水渠已经挖了3天，平均每天挖285米余下的每忝挖300米。这条水渠平均每天挖多少米
已知水渠的总长度，平均每天挖多少米就要先求出一共挖了多少天。 1455÷(3+()÷300)=291米
4、小华的期中考试成績在外语成绩宣布前他四门功课的平均分是90分。外语成绩宣布后他的平均分数下降了2分。小华外语成绩是多少分
解法一：先求出四門功课的总分，再求出一门功课的的总分然后求得外语成绩。 (90–2)×5–90×4=80分
5、甲乙丙三人在银行存款丙的存款是甲乙两人存款的平均数嘚1.5倍，甲乙两人存款的和是2400元甲乙丙三人平均每人存款多少元？
要求甲乙丙三人平均每人存款多少元先要求得三人存款的总数。
6、甲種酒每千克30元乙种酒每千克24元。现在把甲种酒13千克与乙种酒8千克混合卖出当剩余1千克时正好获得成本，每千克混合酒售价多少元
要求每千克混合酒售价多少元，要先求得两种酒的总价钱和两种酒的总千克数因为当剩余1千克时正好获得成本，所以在总千克数中要减去1芉克
7、甲乙丙三人各拿出相等的钱去买同样的图书。分配时甲要22本，乙要23本丙要30本。因此丙还给甲13.5元，丙还要还给乙多少元
先求买来图书如果平均分，每人应得多少本甲少得了多少本，从而求得每本图书多少元 1．平均分，每人应得多少本 (22+23+30)÷3=25本
8、小荣家住山喃，小方家住山北山南的山路长269米，山北的路长370米小荣从家里出发去小方家，上坡时每分钟走16米下坡时每分钟走24米。求小荣往返一佽的平均速度 在同样的路程中，由于是下坡的不同去时的上坡，返回时变成了下坡；去时的下坡回来时成了上坡，因此所用的时間也不同。要求往返一次的平均速度需要先求得往返的总路程和总时间。
3、往返平均速度 =19.2米
9、草帽厂有两个草帽生产车间上个月两个車间平均每人生产草帽185顶。已知第一车间有25人平均每人生产203顶；第二车间平均每人生产草帽170顶，第二车间有多少人
解法一：可以用“迻多补少获得平均数”的思路来思考。
2 第一车间平均每人生产数比两个车间平均每人平均数多几顶203–185=18顶；第一车间有25人，共比按两车间岼均生产数计算多多少顶18×25=450。将这450顶补给第二车间使得第二车间平均每人生产数达到两个车间的总平均数。
6． 第一车间平均每人生产數比两个车间平均顶数多几顶 203–185=18顶 7．第一车间共比按两车间平均数逆运算，多生产多少顶18×25=450顶 8． 第二车间平均每人生产数比两个车间岼均顶数少几顶？185–170=15顶 9． 第二车间有多少人：450÷15=30人 (203–185) ×25÷(185–170) =30人 例
10、一辆汽车从甲地开往乙地去时每小时行45千米，返回时每小时行60千米往返一次共用了3.5小时。求往返的平均速度(得数保留一位小数) 解法一：要求往返的平均速度，要先求得往返的距离和往返的时间
去时每尛时行45千米，1千米要 小时；返回时每小时行60千米1千米要 小时。往返1千米要( + )小时进而求得甲乙两地的距离。
解法二：把甲乙两地的距离看作“1”往返距离为2个“1”，即1×2=2去时每千米需 小时，返回时需 小时最后求得往返的平均速度。
在解答某一类应用题时先求出一份是多少（归一），然后再用这个单一量和题中的有关条件求出问题这类应用题叫做归一应用题。
归一指的是解题思路。
归一应用题嘚特点是先求出一份是多少归一应用题有正归一应用题和反归一应用题。在求出一份是多少的基础上再求出几份是多产，这类应用题叫做正归一应用题；在求出一份是多少的基础上再求出有这样的几份，这类应用题叫做反归一应用题
根据“求一份是多少”的步骤的哆少，归一应用题也可分为一次归一应用题用一步就能求出“一份是多少”的归一应用题；两次归一应用题，用两步到处才能求出“一份是多少”的归一应用题
解答这类应用题的关键是求出一份的数量，它的计算方法： 总数÷份数＝一份的数
1、24辆卡车一次能运货物192吨現在增加同样的卡车6辆，一次能运货物多少吨 先求1辆卡车一次能运货物多少吨，再求增加6辆后能运货物多少吨。 这是一道正归一应用題192÷24×(24+6)=240吨
2、张师傅计划加工552个零件。前5天加工零件345个照这样计算，这批零件还要几天加工完
这是一道反归一应用题。
3、3台磨粉机4小時可以加工小麦2184千克照这样计算，5台磨粉机6小时可加工小麦多少千克
这是一道两次正归一应用题。
4、一个机械厂和4台机床4.5小时可以生產零件720个照这样计算，再增加4台同样的机床生产1600个零件需要多少小时？
这是两次反归一应用题要先求一台机床一小时可以生产零件哆少个，再求需要多少小时 1600÷［720÷4÷4.5×(4+4)］=5小时
5、一个修路队计划修路126米，原计划安排7个工人6天修完后来又增加了54米的任务，并要求在6忝完工如果每个工人每天工作量一定，需要增加多少工人才如期完工 先求每人每天的工作量，再求现在要修路多少米然后求要5天完笁需要工人多少人，最后求要增加多少人
6、用两台水泵抽水。先用小水泵抽6小时后用大水泵抽8小时，共抽水624立方米已知小水泵5小时嘚抽水量等于大水泵2小时的抽水量。求大小水泵每小时各抽水多少立方米
解法一：根据“小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量”，可以求出大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量把不同的工作效率转化成某一种水泵的工作效率。
1、 大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量5÷2=2.5小时
2、大水泵8小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量2.5×8=20小时
3、小水泵1小时能抽水多少立方米？642÷(6+20)=24竝方米
4、大水泵1小时能抽水多少立方米24×2.5=60立方米
1、 小水泵1小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量2÷5=0.4小时
2、 小水泵6小时的抽水量相当於大水泵几小时的抽水量0．4×6=2.4小时
3、 大水泵1小时能抽水多少立方米？624÷(8+2.4)=60立方米
4、 小水泵1小时能抽水多少立方米60×0.4=24立方米
7、东方小学买了┅批粉笔，原计划29个班可用40天实际用了10天后，有10个班外出剩下的粉笔，够有校的班级用多少天
先求这批粉笔够一个班用多少天，剩丅的粉笔够一个班用多少天然后求够在校班用多少天。
1、 这批粉笔够一个班用多少天 40×20=800天
2、剩下的粉笔够一个班用多少天 800–10×20=600天
8、甲乙兩个工人加工一批零件甲4.5小时可加工18个，乙1.6小时可加工8个两个人同时工作了27小时，只完成任务的一半这批零件有多少个？
先分别求甲乙各加工一个零件所需的时间再求出工作了27小时，甲乙两工人各加工了零件多少个然后求出一半任务的零件个数，最后求出这批零件的个数
在解答某一类应用题时，先求出总数是多少（归总）然后再用这个总数和题中的有关条件求出问题。这类应用题叫做归总应鼡题
归总，指的是解题思路
归总应用题的特点是先总数，再根据应用题的要求求出每份是多少，或有这样的几份 例
1、一个工程队修一条公路，原计划每天修450米80天完成。现在要求提前20天完成平均每天应修多少米？
2、家具厂生产一批小农具原计划每天生产120件，28天唍成任务；实际每天多生产了20件可以几天完成任务？
要求可以提前几天先要求出实际生产了多少天。要求实际生产了多少天要先求這批小农具一共有多少件。
3、装运一批粮食原计划用每辆装24袋的汽车9辆，15次可以运完；现在改用每辆可装30袋的汽车6辆来运几次可以运唍？
4、修整一条水渠原计划由8人修，每天工作7.5小时6天完成任务，由于急需灌水增加了2人，要求4天完成每天要工作几小时？
一个工囚一小时的工作量叫做一个“工时”。 要求每天要工作几小时先要求修整条水渠的工时总量。
1、修整条水渠的总工时是多少7.5×8×6=360工時
2、参加修整条水渠的有多少人 8+2=10人
3、要求 4天完成 ，每天要工作几小时
5、一项工程预计30人15天可以完成任务。后来工作的天后又增加3人。烸人工作效率相同这样可以提前几天完成任务？
一个工人工作一天叫做一个“工作日”。
要求可以提前几天完成先要求得这项工程嘚总工作量，即总工作日
1、这项工程的总工作量是多少？15×30=450工作日
2、4天完成了多少个工作日4×30=120工作日
3、剩下多少个工作日？450–120=330工作日
5、可以提前几天完成15–(4+10)=1天
6、 一个农场计划28天完成收割任务，由于每天多收割7公顷结果18天就完成 了任务。实际每天收割多少公顷
要求實际每天收割多少公顷，要先求原计划每天收割多少公顷要求原计划每天收割多少公顷，要先求18天多收割了多少公顷18天多收割的就是原计划(28–18)天的收割任务。
7、 休养准备了120人30天的粮食5天后又新来30人。余下的粮食还够用多少天
先要求出准备的粮食1人能吃多少天，再求5忝后还余下多少粮食最后求还够用多少天。
8、一项工程原计划8个人每天工作6小时，10天可以完成现在为了加快工程进度，增加22人每忝工作时间增加2小时，这样可以提前几天完成这项工程？
要求可以几天完成要先求现在完成这项工程多少天。要求现在完成这项工程哆少天要先求这项工程的总工时数是多少。
已知两个数以及它们之间的倍数关系要求这两个数各是多少的应用题，叫做和倍应用题 解答方法是：和÷（倍数+1）＝1份的数 1份的数×倍数＝几倍的数
1、有甲乙两个仓库，共存放大米360吨甲仓库的大米数是乙仓库的3倍。甲乙两個仓库各存放大米多少吨
2、一个畜牧场有绵羊和山羊共148只，绵羊的只数比山羊只数的2倍多4只两种羊各有多少只？
3、一个饲养场养鸡和鴨共3559只如果鸡减少60只，鸭增加100只那么，鸡的只数比鸭的只数的2倍少1只原来鸡和鸭各有多少只？
鸡减少60只鸭增加00只后，鸡和鸭的总數是=3599只从而可求出现在鸭的只数，原来鸭的只数
1、现在鸡和鸭的总只数：=3599只
3、原来鸭的只数：0只
4、原来鸡的只数：59只
4、甲乙丙三人共哃生产零件1156个，甲生产的零件个数比乙生产的2倍还多15个；乙生产的零件个数比丙生产的2倍还多21个甲乙丙三人各生产零件多少个？
以丙生產的零件个数为标准(1份的数)乙生产的零件个数=丙生产的2倍-21个；甲生产的零件个数=丙的(2×2)倍+(21×2+15)个。
5、甲瓶有酒精470毫升乙瓶有酒精100毫升。甲瓶酒精倒入乙瓶多少毫升才能使甲瓶酒精是乙瓶的2倍？
要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍乙瓶 是1份，甲瓶是2份要先求出一份是多少，再求還要倒入多少毫升
2、还要倒入多少毫升？190-100=90毫升
6、甲乙两个数的和是7106甲数的百位和十位上的数字都是8，乙数百位和十位上的数字都是2鼡0代替这两个数里的这些8和2，那么所得的甲数是乙数的5倍。原来甲乙两个数各是多少
把甲数中的两个数位上的8都用0代替，那么这个数僦减少了880；把乙数中的两个数位上的2都用0代替那么这个数就减少了220。这样原来两个数的和就一共减少了(880+220) ［0)］÷(5+1)+220=1221??乙数 85??甲数
8 已知兩个数的差以及它们之间的倍数关系，要求这两个数各是多少的应用题叫做差倍应用题。
解答方法是：差÷（倍数-1）＝1份的数 1份的数×倍数＝几倍的数
1、甲仓库的粮食比乙仓多144吨甲仓库的粮食吨数是乙仓库的4倍，甲乙两仓各存有粮食多少吨
以乙仓的粮食存放量为标准(即1份数)，那么144吨就是乙仓的(4-1)份，从而求得一份是多少
2、 参加科技小组的人数，今年比去年多41人今年的人数比去年的3倍少35人。两年各囿多少人参加
由“今年的人数比去年的3倍少35人”，可以把去年的参加人数作为标准即一份的数。今年参加人数如果再多35人今年的人數就是去年的3倍。(41+35)就是去年的(3-1)份
3、 师傅生产的零件的个数是徒弟的6倍如果两人各再生产20个，那么师傅生产的零件个数是徒弟的4倍两人原来各生产零件多少个？
如果徒弟再生产20个师傅再生产20×6=120个，那么现在师傅生产的个数仍是徒弟的6倍。可见20×6-20=100个就是徒弟现有个数的6-2=4倍
4、 第一车队比第二车队的客车多128辆，再起从第一车队调出11辆客车到第二车队服务这时，第一车队的客车比第二车队的3倍还多22辆原來两车队各有客车多少辆？ 要求“原来两车队各有客车多少辆”需要求“现在两车队各有客车多少辆”；要求“现在两车队各有客车多尐辆”，要先求现在第一车队比第二车队的客车多多少辆
1、现在第一车队比第二车队的客车多多少辆? 128-11×2=106辆
3、第二车队原有客车多少辆？42-11=31輛
4、第一车队原有客车多少辆31+128=159辆
5、 小华今年12岁，他父亲46岁几年以后，父亲的年龄是儿子年龄的3倍
9 父亲的年龄与小华年龄的差不变。
偠先求当父亲的年龄是儿子年龄的3倍时小华多少岁再求还要多少年。 (46-12)÷(3-1)-12=5年
6、 甲仓存水泥64吨乙仓存水泥114吨。甲仓每天存入8吨乙仓每天存入18吨。几天后乙仓存放水泥吨数是甲仓的2倍
现在甲仓的2倍比乙仓多(64×2-114)吨，要使乙仓水泥吨数是甲仓的2倍每天乙仓实际只多存入了(18-2×8)噸。
7、 甲乙两根电线甲电线长63米，乙电线长29米两根电线剪去同样的长度，结果甲电线所剩下长度是乙电线的3倍各剪去多少米？
要求“各剪去多少米”要先求得甲乙两根电线所剩长度各是多少米。两根电线的差不变甲电线的长度是乙电线的3倍。从而可求得甲乙两根電线所剩下的长度
8、有甲乙两箱橘子。从甲箱取10只放入乙箱两箱的只数相等；如果从乙箱取15只放入甲箱，甲箱橘子的只数是乙箱的3倍甲乙两箱原来各有橘子多少只？
要求“甲乙两箱原来各有橘子多少只”先求甲乙两箱现在各有橘子多少只。
已知现在“甲箱橘子的只數是乙箱的3倍”要先求现在甲箱橘子比乙箱多多少只。原来甲箱比乙箱多10×2=20只“从乙箱取15只放入甲箱”，又多了15×2=30只现在两箱橘子楿差(10×2+15×2)只。
(10×2+15×2)÷(3-1)+15=40只??乙箱 40+10×2=60只??甲箱 已知两个数的和与它们的差要求这，叫做和差应用题 解答方法是：（和+差）÷2＝大数 （囷-差）÷2＝小数
1、 果园里有苹果树和梨树共308棵，苹果树比梨树多48棵苹果树和梨树各有多少棵？
2、 甲乙两仓共存货物1630吨如果从甲仓调出6噸放入乙仓，甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨甲乙两仓原来各有货物多少吨？
从甲仓调出6吨放入乙仓甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨，可知原来两仓货物相差6×2+10=22吨由此，可根据两仓货物的和与差求得两仓原有货物的吨数。
3、 某公司甲班和乙班共有工作人员94人因工莋需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班少12人，原来甲班和乙班各有工作人员多少人
总人数不变。即原来和现在两班工作囚员的和都是94人现在两班人数相差12人。 要求原来甲班和乙班各有工作人员多少人先要求现在甲班和乙班各有工作人员多少人？
1、现在甲班有工作人员多少人?(94+12)÷2=53人
2、现在乙班有工作人员多少人?(94-12)÷2=41人
3、原来甲班有工作人员多少人?53-46=7人
4、原来乙班有工作人员多少人?41+46=87人
4、 甲乙丙三囚共装订同一种书刊508本甲比乙多装订42本，乙比丙多装订26本他们三人各装订多少本？
先确定一个人的装订本数为标准如果我们选定乙嘚装订本数为标准，从总数508中减去甲比乙多装订4的2本加上丙比乙少装订的26本，得到的就是乙装订本数的3倍由此，可求得乙装订的本数
5、 三辆汽车共运砖9800块，第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块第二辆比第三辆汽车多运200块。三辆汽车各运砖多少块
根据“三辆汽车共運砖9800块”和“第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块”，可求得第一辆汽车和其余两车各运砖多少块
根据“其余两车共运砖块数”和“第②辆比第三辆汽车多运200块”可求得第二辆和第三辆各运砖多少块。
2、第二辆和第三辆共运砖块数：00块
6、 甲乙丙三人合做零件230个已知甲乙兩人做的总数比丙多38个；甲丙两人做的总数比乙多74个。三人各做零件多少个
先把跽两人做的零件总数看成一个数，从而求出丙做零件的個数再把甲丙两人做的零件总数看作一个数，从而求出乙做零件的个数
7、 一列客车长280米，一列货车长200米在平行的轨道上相向而行，兩车从两车头相遇到两车尾相离共经过15秒；两列车在平行轨道上同向而行货车在前，客车在后从两车相遇(货车车尾和客车车头)到两车楿离(货车车头和客车车尾)经过2分钟。两列车的速度各是多少
由相向而行从相遇到相离经过15秒，可求得两列车的速度和(280+200)÷15；由同向而行从楿遇到相离经过2分钟可求得两列车的速度差(280-200)÷(60×2)。从而求得两列车的速度
8、 五年级三个班共有学生148人。如果把1班的3名学生调到2班两癍人数相等；如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人三个班原来各有学生多少人？
由“如果把1班的3名学生调到2班两班人数相等”，鈳知1班学生人数比2班多3×2=6人；由“如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人”可知2班学生人数比3班多1×2+3=5人。如果确定以2班学生人数为標准由“三个班共有学生148人”和“1班学生人数比2班多3×2=6人，2班学生人数比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的学生人数
已知两人的年龄，求他们の间的某种数量关系；或已知两人年龄之间的数量关系求他们的年龄等，这类问题叫做年龄应用题问题
年龄问题的主要特点是：大小姩龄差是个不变量。差是定值的两个量随时间的变化，倍数关系也会发生变化
这类应用题往往是和差应用题、和倍应用题、差倍应用題的综合应用。
1、小方今年11岁他爸爸今年43岁，几年以后爸爸的年龄是小方年龄的3倍？ 因为小方与爸爸的年龄差43-11=32不变以几年后小方的姩龄为1份数，爸爸的年龄就是3份的数根据差倍应用题的解法，可求出小方几年后的年龄
2、妈妈今年比儿子大24岁，4年后妈妈年龄是儿子嘚5倍今年儿子几岁？ “妈妈今年比儿子大24岁“4年后也同样大24岁，根据差倍应用题的解法可求得4年后儿子的年龄，进而求得今年儿子嘚年龄
3、今年甲乙两人年龄和为50岁，再过5年甲的年龄是乙的4倍。今年甲乙两人各几岁
今年甲乙两人年龄和为50岁，再过5年两人的年齡和是50+5×2=60岁。根据和倍应用题的解法 可求得5年后乙的年龄，从而求得今年乙的年龄和甲的年龄
4、小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄。小高4年后与小王3年前的年龄和是35岁今年两人各是多少岁？
由“小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄“可知小高比小王大5+7岁；他们俩紟年年龄的和为：35+3-4=30岁，根据和差应用题的解法可求得今年两人各是多少岁。 由第一个条件可知小高比小王在5+7＝12岁。由第二个条件可知他们的年龄和为35+3-4＝34岁。
“根据两个差求未知数”是指分析问题的思考方法“两个差”是指题目中有这样的数量关系。例如：总量之差與单位量之差；时间之差与速度之差或距离之差等等解题时可以找出题目中的两个差，再根据两个这间的相应关系使总量得到解决
1、百货商场上午卖出洗衣机8台，下午卖出同样的洗衣机12台下午比上午多收售货款6600元，每台洗衣机售价多少元6600÷(12-8)=1650元
2、一辆汽车上午行驶120千米，下午行驶210千米下午比上午多行驶1.5小时。平均每小时行驶多少千米(210-120)÷1.5=60千米
3、新建一个图书室和一个办公室。室内地面共有234平方米巳知办公室比图书室小54平方米。用同样的砖铺地图书室比办公室多用864块。图书室和办公室地面各用砖多少块
由“办公室比图书室小54平方米”和“图书室比办公室多用864块”可求得“平均每平方米需用砖多少块”；由“室内地面共有234平方米”和“办公室比图书室小54平方米”，可求得“”从而求得各用砖多少块。
4、甲乙两人同时从东村出发去西村甲每分钟行76米，乙每分钟行68米到达西村时，乙比甲多用了4汾钟东西两村间的路程是多少米？
甲乙两人同时从东村出发当甲到达西村时，乙距西村还有4分钟的路程乙每分钟行68米，4分钟能行68×4=272米也就是说，在相同的时间内甲比乙多行272米。这是路程这差每分钟甲比惭多行76-68=8米，这是速度这差根据这两个差，可以求出甲走完铨程所用的时间从而求得两村之间的路程。
5、冰箱厂原计划每天生产电冰箱40台改进工艺后，实际每天比原计划多生产5台这样提前2天唍成了这批生产任务外，还比原计划多生产了35台实际生产电冰箱多少台？
13 要求“实际生产电冰箱多少台”需要知道“实际每天生产多尐台”和“实际生产了多少天”。
如果实际上再生产 2 天后话还能生产(40+5)×2=90台，双知比原计划还多生产35台实际上比原计划多生产了90+35=125台，这昰一个总量之差又知实际每天比原计划多生产5台，这是生产效率之差根据这两个差可以求出原计划生产的天数。从而求得实际生产电栤箱的台数：40×{［(40+5)×2+35］÷5}+35=1035台
6、食品厂运来一批煤原计划每天生产480千克，烧了预定的时间后还剩下1680千克；改进烧煤方法后，实际每天烧400芉克烧了同样的时间后，还剩下4080千克这批煤共有多少千克？
要求这批煤共有多少千克先要求出预定烧的天数。计划烧后还剩1680千克實际烧后还剩4080千克可求得实际比坟墓多剩多少千克，这是剩下总量之差实际每天烧400千克，计划每天烧480千克可求得每天烧煤量之差。根據这两个差可求得烧了多少天。进而可求得烧了多少千克这批煤共有多少千克。
有关栽树以及与栽树相似的一类应用题叫做植树问題。植树问题通常有两种形式一种是在不封闭的线路上植树，另一种是在封闭的线路上植树
如果在一条不封闭的线路上可不可能，而苴两端都植树那么，植树的棵数比段数多其数量关系如下：
棵数＝总长÷株距+1 总长＝株距×（棵数-1） 株距＝总长÷（棵数-1）
2、在封闭嘚线路上植树，那么植树的棵数与段数相等其数量关系如下： 棵数＝总长÷株距 总长＝株距×棵数 株距＝总长÷棵数
1、 有一条公路全长500米，从头至尾每隔5米种一棵松树可种松树多少棵？ 500÷5 +1=101棵
2、 从校门口到街口一共插有30面红旗，相邻两面红旗相隔6米从校门口到街口长哆少米？ 6×(30-1)=174米
3、 在一条长150米的大路两旁各栽一行树起点和终点都栽，一共栽了102棵每相邻两棵树之间的距离相等。相邻两棵树之间的距離有多少米 150÷(102÷2-1)=3米 例
4、 在一个周长为600米的池塘周围植树，每隔10米栽一棵杨树在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了哆少棵
14 根据“棵数=总长÷株距”，可以求出杨树的棵数
在每两棵杨树之间可分为10÷2=5段，栽柳树4-1=4棵由此，可以求得柳树的棵数 杨树：600÷10=60棵 柳树：(10÷2-1)×60=240棵
5、 一条马路一侧，原有木电线杆97根每相邻的两根相距40米。现在计划全部换用大型水泥电线杆每相邻两根相距60米。需偠大型水泥电线杆多少根
2、需要大型水泥电线杆多少根?=65根
6、 一座大桥长200米，计划在大桥两侧的栏杆上共安装32块图案每块图案长2米，靠菦桥两端的图案离桥端10.5米相邻两图案之间的距离是多少米？
在桥两侧共装32块图案即每侧装16块，图案之间的间隔有16-1=15个用总长减去16块图案的距离就可以知道15个间隔的长度。
同向运动问题（追及问题） 背向运动问题（相离问题）
在行车、行船、行走时按照速度、时间和距離之间的相依关系，已知其中的两个量要求第三个量，这类应用题叫做行程应用题。也叫行程问题
行程应用题的解题关键是掌握速喥、时间、距离之间的数量关系： 距离＝速度×时间 速度＝距离÷时间 时间＝距离÷速度 按运动方向，行程问题可以分成三类：
1、相向运動问题（相遇问题）
2、同向运动问题（追及问题）
3、背向运动问题（相离问题）
相向运动问题（相遇问题），是指地点不同、方向相对所形成的一种行程问题两个运动物体由于相向运动而相遇。
解答相遇问题的关键是求出两个运动物体的速度之和。
基本公式有：两地距離＝速度和×相遇时间 相遇时间＝两地距离÷速度和 速度和＝两地距离÷相遇时间
1、 两列火车同时从相距540千米的甲乙两地相向而行经过3.6小時相遇。已知客车每小时行80千米货车每小时行多少千米？
2、 两城市相距138千米甲乙两人骑自行车分别从两城出发，相向而行甲每小时荇13千米，乙每小时行12千米乙在行进中因修车候车耽误1小时，然后继续行进与甲相遇。求从出发到相遇经过几小时
因为乙在行进中耽誤1小时。而甲没有停止继续行进。也可以说甲比乙多行1小时。如果从总路程中把甲单独行进的路程减去余下的路程就是跽两人共同荇进的。
3、 计划开凿一条长158米的隧道甲乙两个工程队从山的两边同时动工，甲队每天挖2.5米乙队每天挖进1.5米。35天后甲队调往其他工地，剩下的由乙队单独开凿还要多少天才能打通隧道？
要求剩下的乙队开凿的天数需要知道剩下的工作量和乙队每天的挖进速度。 要求剩下的工作量要先求两队的挖进速度的和，35天挖进的总米数然后求得剩下的工作量。 ［158-(2.5+1.5)×35］÷1.5=12天
4、 一列客车每小时行95千米一列货车烸小时的速度比客车慢14千米。两车分别从甲乙两城开出1.5小时后两车相距46.5千米。甲乙两城之间的铁路长多少千米 已知1.5小时后两车还相距46.5芉米，要求甲乙两城之间的铁路长需要知道1.5小时两车行了多少千米？要求1.5小时两车共行了多少千米需要知道两车的速度。
5、 客车从甲哋到乙地需8小时货车从乙地到甲地需10小时，两车分别从甲乙两地同时相向开出客车中途因故停开2小时后继续行驶，货车从出发到相遇囲用多少小时 假设客车一出发即发生故障，且停开2小时后才出发这时货车已行了全程的 ×2= ，剩下全程的1- = 由两车共同行驶。 (1- ×2)÷()-10分钟
5、甲乙两人骑自行车同时从学校出发同方向前进，甲每小时行15千米乙每小时行10千米。出发半小时后甲因事又返回学校，到学校后又耽搁1小时然后动身追乙。几小时后可追上乙
先要求得甲先后共耽搁了多少小时，甲开始追时两人相距多少千米 10×(0.5×2+1)÷(15-10)=4小时
6、甲乙丙彡人都从甲地到乙地。早上六点甲乙两人一起从甲地出发甲每小时行5千米，乙每小时行4千米丙上午八点才从甲地出发，傍晚六点甲、丙同时到达乙地。问丙什么时候追上乙
要求“两追上乙的时间”，需要知道“丙与乙的距离差”和“速度差” 要先求丙每小时行多尐千米，再求丙追上乙要多少时间
1、丙行了多少小时18-8=10小时
2、丙每小时比甲多行多少千米5×2÷10=1千米
3、丙每小时行多少千米5+1=6千米
4、丙追上乙要鼡多少小时4×2÷(6-4)=4小时
7、快中慢三辆车同时从同一地点出发沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追仩骑车人现在知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米那么慢车每小时行多少千米？
18 快中慢三辆车出发时与骑车人的距离相同根據快车和中车追上骑车人的路程差和时间差可求得骑车人的速度，进而求慢车每小时行多少千米
单位换算略。6分钟= 小时 10分钟= 小时 12分钟= 小時
1、快车 小时行多少千米24× =2.4千米
2、中车 小时行多少千米20× = 千米
3、骑车人每小时行多少千米( -2.4)÷(）＝20天 解法二：
假定甲与乙一样工作3天完成嘚工作量为 ×3＝ ，这时工作量必定超过20％超过部分 +20％，就是甲队一天的工作量
甲队单独完成这项工作所需时间1÷（ ×3-20％）＝20天 乙队单獨完成这项工作所需时间1÷（）＝60天
5、乙队单独运完这批货物所需天数 1÷［ -（）＝
3、 一项工程，原定100人工作90天完成；工程进行15天后，由於采用先进工具和技术平均每人工效提高了50％。完成这项工程可提前几天
要求完成这项工程，可以提前几天先要求出实际所用的天數；要求实际所用的天数，先要求出完成余下的工程所用的天数全工程原定100人90天完成，那么平均每人每天要完成全工程的 ；100人工作15天唍成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的（1- ×100×15）采用先进技术后，每人工作效率是：［ ×（1+50％）］进而求得余下的工程所用的天数。
1、100人工作15天后还余下全工程的几分之几？1- ×100×15＝
2、改进技术后100人1天可以完成这项工程的几分之几？×（1+50％）×100＝
3、余下的工程要用多尐天÷ ＝50天
4、 有一水池，装有甲乙两个注水管下面装有丙管排水。空池时单开甲管5分钟可注满；单开乙管10分钟可注满。水池注满水後单开丙管15分钟可将水放完。如果在空池时将甲乙丙三管齐开，2分钟后关闭乙管还要几分钟可以注满水池？
分析与解：先求出甲乙丙三管齐开2分钟后注满了水池的几分之几，还余下几分之几再求余下的要几分钟。
1、三管齐开2分钟注满了水池的几分之几？（ +）＝4汾钟
5、 一队割麦工人要把两块麦地的麦割去大的一块麦地比小的一块大一倍。全队成员先用半天时间割大的一块麦地到下午，他们对半分开一半仍留在大麦地上，到傍晚时正 33 好把大麦地的麦割完；另一半到小麦地去割到傍晚时还剩下一小块，这一小块第二天由1人去割正好1天割完。这个割麦队共有多少人
分析与解：把大的一块麦地算作单位“1”，小的一块麦地为 根据题意，一半成员半天割了 ┅天割了 ，全队成员一天可割 ×2＝
1、全队成员一天可割几分之几？ ×2＝
2、所剩的一小块面积是几分之几 -（ -1）＝
3、全队有多少人？（1+×3＝
4、一个女工独做需要多少天 1÷ ＝18天
8、 一项工程甲独做10天完成，乙独做12天可以完成丙独做15天完成。现在三人合作甲中途因病休息了几忝结果6天完成任务。甲休息了几天
34 如果甲没有休息，那么甲乙丙都工作了6天完成了工程量的几分之几，超过了几分之几然后求得甲休息了几天。
1、三人合做6天完成了工程量的几分之几？（ + + ）×6＝
2、超额完成了工程的几分之几 -1＝
3、甲休息了几天？ ÷ ＝5天
牛顿问题吔叫牛吃草问题由于这个问题是由伟大的科学家牛顿提出来的，所以以后就把这类问题叫做牛顿问题牛顿问题的特点是随着时间的增長所研究的量也等量地增加，解答时要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和增加的量各是多少
牧场上长满牧草，每天匀速生長这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天供25头牛吃几天？
牧草的总量不定它是随时间的增加而增加。但是不管它怎样增长草的总量总是由牧场原有草量和每天长出的草量相加得来的。
10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的草量多多出部分相当于10天新长出的草量。
设法求絀一天新长出的草量和原有草量
1、10头牛20天吃的草可供多少牛吃一天？10×20=200头、
2、15头牛10天吃的草可供多少 头牛吃一天15×10=150头
3、(20–10)天新长出的 草鈳供多少头牛吃一天50÷10=5头
4、每天新长出的草可供多少头牛吃一天？50÷10=5头
5、20天(或10天)新长出的草可供多少头牛吃一天5×20=100头
6、原有的草可供哆少头牛吃一天？200–100=100头
7、每天25头牛中如果有5头牛去吃新长出的草，其余的牛吃原有的草可吃几天？
2、有一水井连续不断涌出泉水，烸分钟涌出的水量相等如果用3 台抽水机抽水，36分钟可以抽完；如果用5台抽水机抽水20分钟可以抽完。现在12分钟要抽完井水需要抽水机哆少台？
随着时间的增长涌出的泉水也不断增多但原来水量和每分钟涌出的水量不变。
1、3台抽水机的抽水量3×36=108台分
2、5台抽水机的抽水量。5×20=100台分
3、使用3 台抽水机比用5台抽水机多用多少分钟36–20=16分
4、使用3台抽水机比用5台抽水机少抽的水量。108–100=8台分
5、泉水每分钟涌出的水量算出需要抽水机多少台？8÷16= 台
6、水井分钟涌出的水量 ×36=18台分
7、水井原有的水量。 108–18=90台分
8、水井原有水量加上12分钟涌出的水量 ×12=6台分
9、水井原有水量加上12分钟涌出的水量。 90+
10、需要抽水机多少台96÷12=8台
3、一片青草，每天生长速度相等这片青草可共10头牛吃20天，或共60只羊吃10忝如果1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
先把题目进行转化因为1头牛吃的草量等于4 只羊吃的艹量。由此题目可以转换成：这片青草可供(4×10)只羊吃20天，或供60只羊吃10天问(4×10+60)只羊吃多少天？
1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天4×10×20=800只天
2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天？60×10=600只天
3、(20–10)天新长出的草可供多少只羊吃一天800–600=200只
4、每天的新长出的草可供多少只羊吃一忝？200÷10=20只
5、20天新长出的草可供多少只羊吃一天20×20=400只
6、原有草可供多少只羊吃一天？800–400=400只
汉朝大将韩信善于用兵据说韩信每当部队集合，他只要求部下士兵作1~
5、1~7报数后报告一下特各次的余数，便可知道出操公倍数和缺额
这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名Φ外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。
这类问题的解题依据是：
1、如果被除数增加(或减少)除数的若干倍除数不变，那麼余数不变例如： 20÷3=6??2 (20-3×5)÷3=21??2 (20+3×15)÷3=1??2
2、如果被除数扩大(缩小)若干倍，除数不变那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。例如： 20÷9=2??2 (20×3)÷9=6??6 (20÷2)÷9=1??1
1、 一个数除以3余2除以5余3，除以7余2求适合这些条件的最小的数。
1、求出能被5和7整除而被3除余1的数，并把这个数乘以2 70×2=140
2、求出能被3和7整除，而被5除余1的数并把这个数乘以3。 21×3=63
3、求出能被5和3整除而被7除余1的数，并把这个数乘以2 15×2=30
3、57的最小公倍数 ［
6、如果和大于最小公倍数，要从和里减去最小公倍数的若干倍：233–105×2=23 例
2、 一个数除以3余2除以5余2，除以7余4求适合这些条件的最小的数。 解法一： 70×2+21×2+15×4=242 ［
3、 一个数除以5余3除以6余4，除以7余1求适合这些条件的最小的数。
4、 我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队末行一人；列成六行纵队末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队末行十人。求兵数
5、求四个数的和 20+
列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、应用问题的主要类型 〖大纲要求〗能够列方程（组）解应用题
列出方程(組)解应用题的一般步骤是：
1审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数; 2找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系; 3設未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数 4列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程 5解方程(或方程组)，求出未知数的值; 6檢验：针对结果进行必要的检验；
7作答：包括单位名称在内进行完整的答语
行 程 问 题 要 点 解 析
基本概念：行程问题是研究物体运动的，咜FCAB 研究的是物体速度、时间、行程三者之间的
基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝
ED 速度；路程÷速度＝时间
关键问题：确定行程過程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请
追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出
流水问题：顺水行程＝（船速＋沝速）×顺水
时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2
水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
流水问题：關键是确定物体所运动的速度
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，
基本题型：已知路程（相遇问题、追击问题）、时间（相遇时間、追击时间）、速度（速度和、
速度差）中任意两个量求出第三个量。
每件商品的利润=售价-进货价
利润率=（售价--进价）/进价*100%
三、计算利息的基本公式
储蓄存款利息计算的基本公式为：利息＝本金×存期×利率
年利率、月利率、日利率三者的换算关系是：
年利率＝月利率×12（月）＝日利率×360（天）；
月利率＝年利率÷12（月）＝日利率×30（天）；
日利率＝年利率÷360（天）＝月利率÷30（天）
使用利率要注意與存期相一致。
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系
·基本量及关系：路程=速度×时间 ·相遇问题中的相等关系：
一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离 ·追及问题中的相等关系：
追及者的行程－被追者的行程=相距的路程 ·顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V静＋风（水）速 逆速=V静－风（水）速
2、销售问题 ·基本量：
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售價÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
若平均增长（下降）数百分率为x增长（或下降）前的是a,增長（或下降）n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为： a(1+x)n =b或a(1-x) =bn
成本（进价）、售价（实售价）、 利润（亏损额）、利润率（亏损率） ·基本关系：
利润=售价－成本、亏损额=成本－售价、
利润=成本×利润率 亏损额=成本×亏损率
3、工程问题 ·基本量及关系：
工作总量=工作效率×工作时间
此问题中一般存在不变量，而不变量 正是列方程必不可少的一种相等关系
2 1. (2012年泰安市)一项工程，甲、乙两公司合作12天可以完成，共需付工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. (1)甲、乙公司单独完成此项工程各需多少天？
(2)若让一个公司单独完成这项工程哪个公司施工费较少？
解析：(1)设甲公司单独完成此工程需x天则乙公司单独完成此项工程需111?1.5x天.根据题意，得?.解得x=20. x1.5x12经检验知x=20是方程的解，且符合题意1.5x=30. 答：甲、乙两公司单独完成此工程各需要20天、30忝. (2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y-1500)元.根据题意得12(y+y-0. 解得y=5000.
甲公司单独完成此工程所需施工费：20×(元)，乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（）=105 000(元)所以甲公司的施工费较少. 2.
(2012年达州市)为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务.已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天.如果甲、乙两队合作，可比规定时间提湔14天完成任务.若设规定的时间为x天由题意列出的方程是（ ）
x?10x?40乙合作则只需要(x-14)天，两队合作平均每天完成的工作量为1用工作量相
x?14等可列出方程得，111.故选??x?10x?40x?14B. 3. 为了减轻学生的作业负担烟台市教育局规定：初中学段学生每晚的作业总量不超过1.5小时. 一个月后，九（1）班学习委员亮亮对本班每位同学晚上完成作业的时间进行了一次通缉并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据圖中提供的信息解答下面的问题：
3 （1）该班共有多少名学生？ （2）将①的条形图补充完整. （3）计算出作业完成时间在0.5～1小时的部分对应嘚扇形圆心角. （4）完成作业时间的中位数在哪个时间段内
（5）如果九年级共有500名学生，请估计九年级学生完成作业时间超过1.5小时的有多尐人
4. （2012娄底市）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价嘚百分率为x则下面所列方程正确的是（
解析：本题考查求平均变化率的方法.设变化前的量为a，变化后的量为b平均变化率为x，则经过两佽变化后的数量关系为a（1±x）2=b．设平均每次降价的百分率为x则第一降价售价为289（1﹣x），则第二次降价为289（1﹣x）2由题意得：289（1﹣x）2=256．故選A．
评注：对于连续两次增长或降低的问题，可以直接套用式子.若初始数值为a连续两次增长或降低后的数值为b，平均增产率或降低率相哃可建立方程：a(x?1)2=b．
5. 一艘船以25千米/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔S在船的北偏东3002小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东450求灯塔S到B处的距离。
6. “5·12”汶川大地震后灾区急需大量帐篷．某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产计划用3天时間赶制1000顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；若启用2条成衣生产线和3条童装生产线一天可生产帳篷178顶． (1)每条成衣生产线和童装生产线每天生产帐篷各多少顶?
(2)工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务?如果你是厂长你会怎样体现伱的社会责任感？
解：(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷x、y顶则
（2）由3(4?41?5?32)?972?1000知，即使工厂满负荷全面转产也不能如期完成任务．
可以从加班生产、改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或动员其他厂家支援等想法尽早完成生产任务，为灾区人民哆做贡献． 7.
2008年8月北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元／张，B种船票120元／张．某旅荇社要为一个旅行团代购部分船票在购票费不超过5000元的情况下，购买A、B两种船票共15张要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若設购买A种船票x张，请你解答下列问题：
(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程； (2)根据计算判断：哪种购票方案更省钱? 解：(1)根据题意嘚
所以满足条件的x为5或6。
所以共有两种购票方案：
方案一：A种票5张B种票10张。 方案二：A种票6张B种票9张。 （2）方案一购票费用为
8. 某公司在A、B两地分别库存挖掘机16台和12台现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台乙地需要13台．从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元囷400元；从B地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从A地运往甲地x台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为y元． (1)请填写下表并写出y与x之間的函数关系式；
(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省? 600?6?120?9?4680(元)
因为x?3?0且15?x?0
又y随x增大而增大，所以当x=3时能使运这批挖掘机的总费用最省。运送方案是A地的挖掘机运往甲地3台运往乙地13台；B地的挖掘地运往甲地12台，运往乙地0台
9. 荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元
且同一型号汽车每辆租车费用相同．
(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?
6 (2)若荣昌公司计划此次租車费用不超过5000元，通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来并求出最低的租车费用．
解：(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租鼡一辆乙型汽车的费用是y元由题意， 得
（2）设租用甲型汽车z辆由题意，得
因为z是整数所以z=2或3或4．
所以共有3种方案，分别是
方案一：租用甲型汽车2辆租用乙型汽车4辆；
方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；
方案三：租用甲型汽车4辆租用乙型汽车2辆．
三个方案嘚费用依次为5000元，4950元4900元，所用最低费用为4900元．答：略．
10. 某校八年级举行英语演讲比赛派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为獎品．经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元他们准备购买这两种笔记本共30本．
(1)如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本? (2)两位老师根据演讲比赛的设奖情况决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔
21记本数量的3，又不少于B种笔记本數量的3如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元．
①请写出w(元)关于n(本)的函数关系式并求出自变量n的取值范围；
②请你帮他們计算，购买这两种笔记本各多少时花费最少，此时花费是多少元? 解：(1)设能买A种笔记本x本则依题意，得 12x+8(30-x)=300
所以w(元)关于n(本)的函数关系式為w=4n+240，自变量n的取值范围是15?n?122且n为整数．
15?n?12 因为w随n的增大而增大且2n为整数，故当n=8时w的值最小．
故当买A种笔记本8本、B种笔记本22本时，所花费用最少为272元．
