已知rt三角形abc中F,DE,ABC共面,试完成ABC的正面投影

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-11-04 07:22 标签： 已知等边三角形abc
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在三角形ABC中，AB垂直BC，SA垂直平面ABC，DE垂直平分SC，分别交AC,SC于D,E又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C
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联结BD、BE，过E分别作EH⊥平面ABC，EF⊥BD于H、F由于BD是平面BDE和平面BCD的交线所以要求的二面角E-BD-C即为∠EFH又由EH⊥平面ABC得EH⊥FH所以只需求出EH、EF，二面角即可用三角比算出设AB=a&(a&0)，先求EH：& 由于EH⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，即SA∥EH& 由于一组平行线确定一个平面，则有S、A、E、H四点共面& 又S、A、E已在平面ACS上了，所以H也在平面ACS上& 且H是所作垂线在平面ABC上的垂足& 所以H只能在平面ABC与平面ACS的交线上，即H在AC上& 那既然已证EH∥SA，E又是SC中点& 所以EH是△SAC中位线，有EH=SA/2=AB/2=a/2再求EF，考虑EF在△BDE中，不妨求△BDE三边，用余弦定理求高& 那联结BE、BD先看BE：& & 由SA=AB=a，得BC=SB=√(SA^2+AB^2)=√(a^2+a^2)=√2a& & 因为SB在平面ABC上的投影为AB，又AB⊥BC& & 根据三垂线定理，SB⊥BC，则SC=√(SB^2+BC^2)=√((√2a)^2+(√2a)^2)=2a& & 因为BE是Rt△BCS斜边上的中线，所以BE=CS/2=2a/2=a&&&& 再看DE：& & 联结SD，由于DE是CS的中垂线，所以SD=DC& & AC=√(AB^2+BC^2)=√(a^2+(√2a)^2)=√3a，则AD=AC-CD=√3-SD& & 由于SA⊥平面ABC，有SA⊥AD，即SA^2+AD^2=SD^2& & 所以a^2+(√3-SD)^2=SD^2，解得SD=2√3a/3& & 已求SC=2a，则SE=SC/2=2a/2=a& & 所以DE=√(SD^2-SE^2)=√((2√3a/3)^2-a^2)=√3a/3&&& 最后求BD：& & 上面求出CD=SD=2√3a/3，则AD=AC-CD=3√a-2√3a/3=√3a/3& & 在Rt△ABC中，cos∠DAB=AB/AC=a/(√3a)=√3/3& & 在△ABD中用余弦定理，& & BD=√(AB^2+AD^2-2AB*AD*cos∠DBA)& & & =√(a^2+(√3a/3)^2-2a*√3a/3*√3/3)& & & =√6a/3现在看△BDE，BE=a，DE=√3a/3，BD=√6a/3发现BD^2+DE^2=BE^2，即∠BDE=90°即D、F重合(图上不重合是为了看地清楚些)则二面角E-BD-C=∠EFH=∠EDH由于EH⊥⊥平面ABC，有EH⊥DH则sin∠EDH=EH/DE=(a/2)/(√3a/3)=√3/2所以二面角E-BD-C即∠EDH=60°&&
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