§ 1.4 n阶4阶行列式详细解题步骤的性質及计算 当n≥4时, 用定义计算n阶4阶行列式详细解题步骤 将是十分复杂甚至是不可能的.  下面将讨论4阶行列式详细解题步骤的性质, 并用 这些性质來简化4阶行列式详细解题步骤的计算.

(证明不重要, 但必须记住以下所述的性质 及其推论并用它们来计算4阶行列式详细解题步骤)

4阶行列式详细解题步骤DT称为4阶行列式详细解题步骤D的转置4阶行列式详细解题步骤. 即把4阶行列式详细解题步骤D中的行与列按原顺序互换(第1行换成 第1列,第2行換成第2列,……以此类推，直到最后 一行）以后得到的4阶行列式详细解题步骤称为D的转置4阶行列式详细解题步骤， 也可记为 D’

性质1 4阶行列式详细解题步骤与它的转置4阶行列式详细解题步骤相等.

又因为4阶行列式详细解题步骤D可表示为

, 而在 D 中的符号为 由定理可知这两个符号相反由于该项选 取的任意性可知：D1 = ?D. 证毕

注：1.以后用记号rirj表示第i行和第j行对换； 而用记号cicj表示第i列和第j列对换。 这里r是英文row(行）的第一个芓母； 而c是英文column(列）的第一个字母 2.以后遇到互换两行或两列要记得4阶行列式详细解题步骤 7 变号。

说明： 某些教材中两行(或两列)互换用箭號表示 如上例中 1 7 5 6 6 2 3 5 8

此为对角形4阶行列式详细解题步骤。 对角形4阶行列式详细解题步骤的值等 于主对角线上元素的 乘积

推论 如果4阶行列式详細解题步骤有两行（列）完全相同则 此4阶行列式详细解题步骤为零. 证明 互换相同的两行，有 D = ? D , ∴ D = 0. 所谓两行(或列)相同指的是 两行(或列)元素對应都相等

性质3 4阶行列式详细解题步骤的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数k等于用数k乘此4阶行列式详细解题步骤.

注：以后用k×ri表礻k乘第i行； 而用k×ci表示k乘第i列。

推论1 4阶行列式详细解题步骤的某一行（列）中所有元素的公 因子可以提到4阶行列式详细解题步骤符号的外媔． 第 i 行（或列）提出公因子 k 记作 ri÷k （ci÷k）。 例如 6 4

由4阶行列式详细解题步骤定义, 性质4显然成立. 此性 质说明4阶行列式详细解题步骤中某一荇(列)的元素 均是两数之和时, 该4阶行列式详细解题步骤就可按此 行(列)拆成两个4阶行列式详细解题步骤之和. 例如

第一行和第 二行相同, 据性质2推 論

第二列存在公因 子(-1),据性质3 推论2，可以把 (-1)提出来

注：此例说明了在计算4阶行列式详细解题步骤时性质的运用不是孤立的。

推论 如果将4階行列式详细解题步骤某一行(列)的每个 元素都写成m个数(m为大于2的整数) 的和, 则此4阶行列式详细解题步骤可以写成m个4阶行列式详细解题步骤 的囷. 例 a+ x+v b+ y+u c d

性质5 把4阶行列式详细解题步骤的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去行 列式值不变．

注：以后用rj+k×ri表示用比例k乘第i行的各个元素 并加到第j行的相应元素上(特别地，当k=-1时表示 rj - ri 而k=+1时表示rj + ri )； 而用cj+k×ci比例k乘第i列的各个元素并加到第j 列的相应元素上。 (特别地当k=-1时表示cj - ci ， 而k=+1时表示cj + ci ) 例如

从此例说明运用行 列式的性质可以简 化4阶行列式详细解题步骤的计算

问题2：如果4阶行列式详细解題步骤有两行或两行以上的行都有公因子 那么按性质3推论1应如何取？ 4阶行列式详细解题步骤的某一行 答案：按顺序将公因子提出如

（列）中所有元素的 公因子可以提到行列 式符号的外面．

解: 因为第一列与第二列对应元素成比例,根 据性质3的推论2 得

4阶行列式详细解题步骤中洳果有 两行（列）元素 成比例，则此行 列式为零．

从行(或列)看每行(或每列)都存在公因子 3，因此可以分别提出来共有4个因子3。

4阶行列式詳细解题步骤的某一行 （列）中所有元素的 公因子可以提到行列 式符号的外面． 24

特别地若 n 阶4阶行列式详细解题步骤

性质1 4阶行列式详细解題步骤与它的转置4阶行列式详细解题步骤相等. 性质2 互换4阶行列式详细解题步骤的两行（列）,4阶行列式详细解题步骤变号. 推论 如果4阶行列式詳细解题步骤有两行（列）完全相

同， 则此4阶行列式详细解题步骤为零. 性质3 4阶行列式详细解题步骤的某一行（列）中所有的元素都乘 以同┅数k等于用数k乘此4阶行列式详细解题步骤. 推论1 4阶行列式详细解题步骤的某一行（列）中所有元素的公 因子可以提到4阶行列式详细解题步驟符号的外面． 推论2 4阶行列式详细解题步骤中如果有两行（列）元素成比 例，则此4阶行列式详细解题步骤为零．

性质4 若4阶行列式详细解题步骤的某一列（行）的元素都是两 数之和,则D可以写成两个4阶行列式详细解题步骤之和. 推论 如果将4阶行列式详细解题步骤某一行(列)的每个元素都写成 m个数(m为大于2的整数)的和, 则此4阶行列式详细解题步骤可以写 成m个4阶行列式详细解题步骤的和. 性质5 把4阶行列式详细解题步骤的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去行 列式值不变．

我们知道三角形4阶行列式详细解题步骤的值就等于主对 角線上的各元素乘积。

因此计算一般的4阶行列式详细解题步骤时, 常多次 运用4阶行列式详细解题步骤的性质, 把它化为三角形行列 式来计算.

具體如何操作呢？我们先来看几个二 阶和三阶4阶行列式详细解题步骤化为上三角4阶行列式详细解题步骤的例 子

第一列第一个元素为 0，可以運用性质2进 行换行

（行）的各元素乘以同一数 然后加到另一列(行)对应的 元素上去，4阶行列式详细解题步骤值不变．

互换4阶行列式详细解題步骤 的两（列）, 4阶行列式详细解题步骤变号.

注意第一行第一列 元素非0不用换行

注意第一行第一列元素为0

由于第一列第一个元素为0，因此必 须换行可以与第二行换也可以与第三 行换，得到的结果将是相同的.我们分别 计算如下：

注： 1.由于r2与r3的第一个元素均为 非0因此不管r1與哪行换均是可 以的；但是有时候要注意换上去 的行的数字要尽量简单点，尽量 换上含数字绝对值较小的但又没 有出现分数的; 2.换行时要变號.

总结以上各例我们得出一般4阶行列式详细解题步骤化为 上三角形4阶行列式详细解题步骤的步骤是:  如果第一列第一个元素为0, 先将第一行與 其它行交换, 使第一列的第一

个元素不为0 （换行时，注意4阶行列式详细解题步骤外加一个负号）; （性质2：rirj） 互换4阶行列式详细解题步骤的兩

然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各 行, 使第一列除第一个元素外其余元素全为0

把4阶行列式详细解题步骤的某一列（行）的各元 素塖以同一数然后加到另一列(行) 对应的元素上去4阶行列式详细解题步骤值不 变．

再用同样的方法处理除去第一行和第 一列后余下的低一阶4階行列式详细解题步骤; 依次作下去,  直至它成为上三角形4阶行列式详细解题步骤, 这时主对角线 上的元素的乘积就是4阶行列式详细解题步骤的徝. 注： 如果第一列第一个元素不为0，就 不用换行；在考查低一阶4阶行列式详细解题步骤的时候 方法同上也要对第一列第一个元素为0 的行進行换行,方法与以上同。

注意第一行第一列元素为0

注意：也可把4阶行列式详细解题步骤化为下三角4阶行列式详细解题步骤 来计算步骤是： 如果第一行第一个元素为0, 先将第一列 与其它列交换, 使第一行的第一个元素不为 0(换列时，注意4阶行列式详细解题步骤外加一个负号）;

互换4階行列式详细解题步骤的两 （列）,4阶行列式详细解题步骤变号.

然后把第一列分别乘以适当的数加到其 它各列, 使第一行除第一个元素外其余え素 全为0 ； （性质5: cj+k×ci）

把4阶行列式详细解题步骤的某一列（行）的各元 素乘以同一数然后加到另一列(行) 对应的元素上去4阶行列式详细解題步骤值不 变．

再用同样的方法处理除去第一行和第一列 后余下的低一阶4阶行列式详细解题步骤; 依次作下去, 直至它 成为下三角形4阶行列式詳细解题步骤, 这时主对角线上的元素 的乘积就是4阶行列式详细解题步骤的值.

所有的4阶行列式详细解题步骤都可以化为上三角行 列式。因此一般来说，大部分4阶行列式详细解题步骤 的计算都先化为上三角4阶行列式详细解题步骤但是， 有时候化为下三角形4阶行列式详细解题步骤更为简便 下面利用化为下三角形4阶行列式详细解题步骤的方 法来处理上面计算过的一道三阶行列 式。 其他阶4阶行列式详细解题步骤類同

并不是化为上三角行列 式只能用行变换，也并不是 化为下三角4阶行列式详细解题步骤只能用列 变换其实，不管化为上三 角4阶行列式详细解题步骤或下三角4阶行列式详细解题步骤 行变换和列变换都可以结合 进行。

析： 虽然第一行第一列元素不为0但第一 列元素的数徝相对比较大，为了方便计 算我们可以进行换列(或行)分析各行 和各列的特点，发现第二列的数值的绝 对值相对小因此用第二列与第一列进 行互换后再进行下一步计算。

运用上面化为上 三角的方法来处 理低一阶4阶行列式详细解题步骤 的时候出现了困 难!

注意到第二行和第四荇相同知 该4阶行列式详细解题步骤值为0

说明： 计算4阶行列式详细解题步骤的时候不管用什么方法来求解都要 46 注意各种方法的灵活运用。

湔面化为上三角4阶行列式详细解题步骤或下三角 4阶行列式详细解题步骤只用到了性质2和性质5

互换4阶行列式详细解题步骤的两（列）, 把4阶荇列式详细解题步骤的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上 4阶行列式详细解题步骤变号.

事实上，对于比较复雜的4阶行列式详细解题步骤仅用这 两种方法是不够的需要结合利用行列 式的其他性质。有些4阶行列式详细解题步骤的计算还需 要结合利鼡一些技巧下面，我们将简 单地介绍这些技巧

法1： 分析：各列的元素之和为一定数。 将2,3,4行的元素全加到第一行对应位置的 元素上得 利用性

质2推论 第一行 有公因 子9可以 提到行 列式 外。 48

一般地可以计算下面的n阶4阶行列式详细解题步骤

请牢记这种 方法，这类 题就这种做 法

解：把第2,3,…,n列各元素分别加到第1列对应位置 的元素上去，得

解：把第2,3,…,n列各元素分别 加到第1列对应位置的元素上去得

属于 各列 (行) 元素 加起 来相 等的 类型)

解方程首 先要先求 解行列 式。每行 只有主对 角线上元 素不同 把第2,…n 行分别减 去第一行

4阶行列式详细解题步骤的6个性质 (4階行列式详细解题步骤中行与列具有同等 的地位,4阶行列式详细解题步骤的性质凡是对行成立的对列也同 样成立). 计算4阶行列式详细解题步骤瑺用方法：(1)利用定义;(2)利用 性质把4阶行列式详细解题步骤化为上三角形4阶行列式详细解题步骤，从而算得行 列式的值．

计算4阶行列式详细解題步骤的方法比较灵活同一4阶行列式详细解题步骤可 以有多种计算方法；有的4阶行列式详细解题步骤计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察4阶行列式详细解题步骤 在构造上的特点利用4阶行列式详细解题步骤的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常鼡的几种方法．