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如图．已知几何体的三视图（单位：cm）．（Ⅰ）画出它的大致直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．（结果用π保留）
题型：解答题难度：中档来源：不详
解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为3cm）．所以所求表面积S=π×12+2π×1×2+π×1×2=7π（cm2），所求体积V=π×12×2+13×π×12×3=2π+33π（cm3）．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图．已知几何体的三视图（单位：cm）．（Ⅰ）画出它的大致直观图（不要求..”主要考查你对&&空间几何体的三视图&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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空间几何体的三视图
中心投影：
光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化。
平行投影：
在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
空间几何体的三视图：
光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，叫做几何体的侧视图；从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，叫做几何体的俯视图。几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 平行投影与中心投影的区别和联系:
①平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一个点发出的．如图所示，&②平行投影是对物体投影后得到与物体等大小、等形状的投影；中心投影是对物体投影后得到比原物体大的、形状与原物体的正投影相似的投影．③中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．④画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时一般用平行投影法．画三视图的规则:
①画三视图的规则是正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽．即正视图、侧视图一样高，正视图、俯视图一样长，俯视图、侧视图一样宽;②画三视图时应注意：被挡住的轮廓线画成虚线，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示，尺寸线用细实线标出；D表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计;③对于简单的几何体，如一块砖，向两个互相垂直的平面作正投影，就能真实地反映它的大小和形状．一般只画出它的正视图和俯视图（二视图）．对于复杂的几何体，三视图可能还不足以反映它的大小和形状，还需要更多的投射平面．常见几何体的三视图：
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2012届高考理科数学立体几何空间几何体的结构及其三视图和直观图复习题及答案
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2012届高考理科数学立体几何空间几何体的结构及其三视图和直观图复习题及答案
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文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M 高三数学（理）一轮复习&& 教案& 第八编& 立体几何&&&&&& 总第35期§8.1& 空间几何体的结构及其三视图和直观图&基础自测1.下列不正确的命题的序号是&&&&&&&&& .①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案& ①②③2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是&&&&&&& .答案& 60°3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是&&&&&&&&&&& cm2.&& 答案& (20+4 ) 4.（;宁夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为3，那么这个球的体积为&&&&&&& .答案&& 5.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为&&&&&&& .答案&& a2&例题精讲 例1& 下列结论不正确的是&&&&&&& （填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案& ①②③解析& ①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.
②错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.&③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长. ④正确.例2& 已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.解& 建立如图所示的xOy坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为△ABC的高，把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′轴，则点C变为点C′，且OC=2OC′，A、B点即为A′、 B′点，AB=A′B，已知A′B′=A′C′=a，在△OA′C′中，由正弦定理得 = ，所以OC′= = ,所以原三角形ABC的高OC= a，所以S△ABC= ×a× a= 2.&&&&&&例3& 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解& 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2 cm.∴正三角形ABC的边长为|AB|= =4.∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2× ×42sin60°=48+8 (cm2).体积为V=S底&#8226;|AA′|= ×42sin60°×4=16 (cm3).故这个三棱柱的表面积为（48+8 ）cm2,体积为16 cm3.例4& 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，& 求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解& 如图所示，△ABE为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=2× = ,BF= BE= ,AF= = = ,∴△ABE的面积为S= ×BE×AF= × × = .∴所求的三角形的面积为 .&巩固练习 1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是&&&&& （填序号）.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案& ①③④2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于&&&&&& .答案& 2 a23.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等& 腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解& （1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO=4，O点是AC与BD的交点. ∴该几何体的体积V= ×8×6×4=64.（2）如图所示，侧面VAB中，VE⊥AB，则VE= = =5∴S△VAB= ×AB×VE= ×8×5=20侧面VBC中，VF⊥BC，则VF= = =4 .∴S△VBC= ×BC×VF= ×6×4 =12 ∴该几何体的侧面积S=2（S△VAB+S△VBC）=40+24 .4.（;全国Ⅱ文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为&&&&&&& cm2.答案& 2+4 &回顾总结 知识方法思想
&课后作业 一、题1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是&&&&&&&&&& .答案& ①②2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是&&&&&&&&& .&①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.答案& ④③②3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是&&&&&&&&&&&&&&& .&答案& ②④4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：&根据三视图回答此立体模型的体积为&&&&&&&&&&& .答案& 55.棱长为1的正方体ABCD―A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为&&&&&&&&&& .答案&& 6.（;湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为&&&&&&&&&&&& .答案&& 7.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要&&&&& 个小立方块.最多只能用&&& 个小立方块.&答案& 9& 14
8.如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是&&&&& .（把可能的图的序号都填上）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &答案& ②③二、解答题9.正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.解& 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.∵A1B1=4 cm，AB=16 cm， ∴O1E1=2 cm，OE=8 cm，O1B1=2& cm，OB=8& cm，∴B1B2=O1O2+（OB-O1B1)2=361 cm2，E1E2=O1O2+（OE-O1E1)2=325 cm2，∴B1B=19 cm，E1E=5 cm.答& 这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解& 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO=45°, 则∠SAO=45°，∴SO=AO=3x，∴OO1=2x，又S轴截面= （6x+2x）&#2，∴x=7.故圆台的高OO1=14 (cm)，母线长l= O1O=14& (cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.11.正四棱锥的高为 ，侧棱长为 ，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解& 如图所示，正棱锥S-ABCD中高OS= ，侧棱SA=SB=SC=SD= ，在Rt△SOA中， OA= =2，∴AC=4.∴AB=BC=CD=DA=2 .作OE⊥AB于E，则E为AB中点.连接SE，则SE即为斜高，则SO⊥OE.在Rt△SOE中，∵OE= BC= ，SO= ，∴SE= ，即侧面上的斜高为 .
12. 如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1∥AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解& 这个几何体不是棱柱；在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE=2；在BB1上取F使BF=2；连接C1E，EF，C1F，则过C1EF的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC―EFC1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1―EA1B1F. 文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M
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第一节空间几何体的结构三视图和直观图表面..
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【6年高考4年模拟】2013版高考 第八章
第一节空间几何体的结构三视图和直观图表面积和体积精品试题&#40;可编辑&#41;
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