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已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在[1，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：期末题
解：（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=﹣2时，．当x变化时，f'（x）和f（x）的值的变化情况如下表：（2）由，得．又函数为[1，+∞）上单调函数，①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式在[1，+∞）上恒成立．也即在[1，+∞）上恒成立，而φ（x）=在[1，+∞）上的最大值为φ（0）=0，所以a≥0．②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，根据①，在[1，+∞）上φ（x）max=φ（1）=0，φ（x）没有最小值．所以g'（x）≤0在[1，+∞）上是不可能恒成立的．综上，a的取值范围为[0，+∞）．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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262511447231278971263914276072617949已知函数f(x)=a|x+1|+x (a∈R)1）当a=2时,f(x)在[b,+∞)上为增函数，求b的取值范围
(2)若函数f(x)在R上具有单调性，求a的取值范围_作业帮
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已知函数f(x)=a|x+1|+x (a∈R)1）当a=2时,f(x)在[b,+∞)上为增函数，求b的取值范围
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(2)若函数f(x)在R上具有单调性，求a的取值范围
（1）当x-1
f(x)=2|x+1|+x=3x+2
单调递增b=-1(2) 当x>-1
f(x)=2|x+1|+x=3x+2
恒为单调递增所以要使x0所以a已知已知a∈R,函数f（x）=x|x-a| （1）当a=2时,写出y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1,2]上的最小值_作业帮
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已知已知a∈R,函数f（x）=x|x-a| （1）当a=2时,写出y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1,2]上的最小值
已知已知a∈R,函数f（x）=x|x-a| （1）当a=2时,写出y=f（x）的单调递增区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1,2]上的最小值
请注意理解此类题目的解题思路,已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜mx的解集为P，若M={x|1/2≤x≤2}，且M∩P≠?，求实数m的取值范围．-乐乐题库
& 利用导数研究函数的单调性知识点 & “已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对...”习题详情
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已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜mx的解集为P，若M={x|12≤x≤2}，且M∩P≠?，求实数m的取值范围．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）a=2时，f（x）=ex-2x，f（0）=1，f′（x）=ex-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程．（Ⅱ）由函数f（x）=ex-ax得到f′（x）=ex-a，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅲ）由题意知，f′（0）=0，再由M∩P≠?，得到不等式f（x）＜mx在[12&，&2]上有解，分离参数，求得函数最值，即可得到实数m的取值范围．
解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ex-2x，f（0）=1，f′（x）=ex-2，得f′（0）=-1，所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．（Ⅱ）f′（x）=ex-a．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．因为M∩P≠?，所以f（x）＜mx在[12&，&2]上有解，即?x∈[12&，&2]使f（x）＜mx成立，即?x∈[12&，&2]使m＞ex-xx成立，所以m＞(ex-xx)min．令g(x)=exx-1，g′(x)=(x-1)exx2，所以g（x）在[12&，&1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，则g（x）min=g（1）=e-1，所以m∈（e-1，+∞）．
本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．
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已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式...
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利用导数研究函数的单调性
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该知识点好题
1设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）
2函数y=12x2-lnx的单调递减区间为（　　）
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该知识点易错题
1（2011o安徽）函数f（x）=axn（1-x）2在区间（0.1）上的图象如图所示，则n可能是（　　）
2设p：f（x）=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，函数q：g（x）=x2-4x+3m不存在零点则p是q的（　　）
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