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因式分解方法总结
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分解因式：（1）1－36b2；（2）12x2－3y2；（3）0.49p2－144；（4）（2x＋y）2－（x＋2y）2．
主讲：段红杰
评分：4.0分
【思路分析】
有公因式的先提取公因式，再运用公式分解因式
【解析过程】
（1）1－36b2=(1+6b)(1-6b)；（2）12x2－3y2=3(4x2－y2)=3(2x+y)(2x-y)；（3）0.49p2－144=(0.7p+12)(0.7p-12)；（4）（2x＋y）2－（x＋2y）2=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)=3(x+y)(x-y)
（1）1－36b2=(1+6b)(1-6b)；（2）12x2－3y2=3(2x+y)(2x-y)；（3）0.49p2－144=(0.7p+12)(0.7p-12)；（4）（2x＋y）2－（x＋2y）2=3(x+y)(x-y)
分解因式，有公因式的先提取公因式，然后再运用公式
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京ICP备号 京公网安备因式分解的真正含义和方法_百度知道
因式分解的真正含义和方法
因式分解的含义和方法，本人想当个好学生....
因式分解（factorization）因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.。am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a \-----/b ac＝k bd＝n c /-----\d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考题) x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考题) 解：a^2 +4ab+4b^2 =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m 解：m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n = (m^2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx^2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x^2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x^2 +3x-40 解x^2 +3x-40=x^2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)^2-(6.5)^2=(x+8)(x-5)6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6 解：令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2 ，-3，-2，1 则2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与x轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6 解：令y= x^3 +2x^2 -5x-6 作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15 解：令x=2，则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x^3 +9x^2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，验证后的确如此。12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d) = x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。
因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?
如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．
又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，
即a＝c，△abc为等腰三角形。
例3把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2［3（x－1）－4p］＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。
例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。
解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）
这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。
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如何因式分解
我解二元一次基础还可以，但因式分解怎么也学不会，一看就傻眼，脑子乱。我十字相乘法，提取公因式法都会，其它的方法都不会。望高手指教。
我初一，。。。下 。因式分解公式望高手总结。越清晰越好
提问者采纳
因式分解：定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做这个多项式的分解因式（分解因式为正式的逆运算）因式分解：a的平方-4=（a+2）（a-2）分解因式：（a+2）（a-2）=a的平方-4方法：提取公因式：1找多项式每项的公因式
2提公因式注意问题：1每个括号多不能提
2每个括号的第一项不能提数
3数字的最大约数不一定为1
4（x-y）^2n=（y-x）^2n
（x-y）^2n+1=-（y-x）^2n+1
-a+b=-（a-b）
5分解后答案不能有多重括号，每个括号都要化简
6数字和单个字母要写在最前面
7能变相同的要写相同因式
8求代数的值：先因式分解在求值方法：公式法：1平方差公式
2完全平方公式平方差公式：：a的平方-4=（a+2）（a-2）（a+2）（a-2）=a的平方-4注意：分解的结果不能为根号，如：x的平方-7y的平方 完全平方公式：首的平方加减2*首*尾+尾的平方特点：1必须是三项式
2有两个“项”的平方（有两个“项”的符号相同）
3有这两“项”的2倍或-2倍方法：分组分解法如果整式是4项，分组方法有 2
3分（必须是完全平方）例：xa+bx+ya+by解：2
2分xa+bx+ya+by=（xa+bx）+（ya+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y） 解：1
3分xa+bx+ya+by=（xa+ya）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y） 5项：分组分解是2
3分6项：分组分解是2
3分方法：十字相乘法定义：1常数项是正数是，它分解成两个同号的因数，它们与一次项系数符号相同
2常数项是负数是，它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次系数符号相同例：x的平方+7x+10
（归纳一）1
=（x+2）（x+5）1
52+5=7例：x的平方+3x-4
（归纳二）1
=（x+4）（x-1）1
-14+（-1）=3 Ax的平方+Bx+C=（A1x+C1）（A2x+C2）（ABC是常数）A1*A2=A
--------------
A2C1+A1C2=B因式分解的应用：解决方法：1化简
3配方重点我都打上去了，因式分解这章想学好，就要多写练习
提问者评价
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我十字相乘法，提取公因式法都会，其它的方法都不会。可以看出，你不会的就只有公式法了。因式分解首先看有没有得提，有就先提出来，（有负号也应先将负号提出来）提完后再看，符不符合公式法（看是完全平方还是平方差），符合就套公式。若不符合，看能不能用十字相乘法，能就用。还有一种可能，第一次提完后，就不能继续分解了。注意，如果看到分解到最后一步是完全平方或平方差，这时候千万不要再算回去。这就是我的经验了。希望能帮到你。
参考资料：
看看这个，希望能对你有帮助
多看看，找一找感觉，后来就回了，这需要一个适应与熟练的过程，不要闹情绪，静下心来就好~
将一个数A代入，式子值为0，则因式有X-A
待定系数法会不？不会就百度
.....等你长大了就会了
　　因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解。
　　1.提公因式法：
　　公因式：一个多项式各项都含有的因式称为这个多项式的公因式。
　　例1：(1)ax+ay
(2）6ab-9abc
=3ab(2-3c)
　　2.公式法：
一·平方差公式
a的平方+b的平方=（a+b)(a-b)
二·完全平方公式
（a+b）的平方=a的平方+2ab+b的平方
a的平方+2ab+b的平方=（a+b）的平方
方法：十字相乘法
定义：1常数项是正数是，它分解成两个同号的因数，它们与一次项系数符号相同
2常数项是负数是，它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次系数符号相同
提取公因式
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