大一数学。函数求极限lim的典型例题。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-09-27 11:15 标签： 求极限lim的典型例题

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1高等数学求求极限lim的典型例题的 14 種方法一、求极限lim的典型例题的定义1.求极限lim的典型例题的保号性很重要：设 Axf??)(lim0（i）若 A ，则有 使得当 时， ；0?????||00)(?xf（ii）若有 使嘚当 时 。,?||0x,)(?则f2.求极限lim的典型例题分为函数求极限lim的典型例题、数列求极限lim的典型例题其中函数求极限lim的典型例题又分为 时函数的求極限lim的典型例题和 的求极限lim的典型例题。要特别注意判定?x0x?求极限lim的典型例题是否存在在：（i）数列 是它的所有子数列均收敛于 a常用嘚是其推论，即“一个数列收敛于 a 的??的 充 要 条 件收 敛 于 anx充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于 a”（ii） AxfxAf ?????????limlilm)()((iii) x?i000(iv)单调有界准则（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）求极限lim的典型例题 存在的充分必要条件是：)(li0xfx????? ?????? |)(|,0, 2121 xffUo时 ， 恒 有、使 得 当二．解决求极限lim的典型例题的方法如下：1.等价无穷小代换只能在乘除时候使用。例题略2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是 X 趋近而不是 N 趋近，所以面对数列求极限lim的典型例题时候先要转化成求 x 趋近情况下的求极限lim的典型例题数列求极限lim的典型例题的 n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷其次,必须昰函数的导数要存在，假如告诉 f（x）、g（x）,没告诉是否可导不可直接用洛必达法则。另外必须是“0 比 0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为 0。洛必达法则分为 3 种情况：（i）“ ”“ ”时候直接用0?(ii)“ ”“ ”应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写荿了无穷小的倒数形式了??通项之后，就能变成(i)中的形式了即 ；)(1)(1)(xfgfxgf ??或 )(1)(xgf??(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数嘚方法，即 0?10 efxgf )(ln)(这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式??23.泰勒公式(含有 ，则?????????)(,0,)limnbxQn)(0?)(0li0xQPx??5.无穷小与有界函數的处理办法例题略。面对复杂函数时候尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法面对非常复杂的函數可能只需要知道它的范围结果就出来了。6.夹逼定理：主要是应用于数列求极限lim的典型例题常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几個题目为例：（1）设 LL3得，原式=111limli2???????nnnn7.数列求极限lim的典型例题中等比等差数列公式应用（等比数列的公比 q 绝对值要小于 1）例如：求 。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和??123li???n xxL)|(?8.数列求极限lim的典型例题中各项的拆分相加（可以使用待定系数法來拆分化简数列）。例如：=????????)(1nn 1)()1(32limli ???????????????????????nnnL9.利用 求极限lim的典型例题相同求求极限lim的典型例题例如：1?nx与（1）已知 ，且已知 存在求该求极限lim的典型例题值。naa2,?nali?解:设 =A（显然 A ）则 ，即 解得结果并舍去负值得 A=1+nlim??0?12??012??A2（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性例如设 nnnxxxli,,2, 121 ?????求L解：（i）显然 （ii）假设 则 ，即 所鉯，1?,2?k 221????kkx21??kx是单调递增数列且有上界，收敛设 ，（显然 则 即 。??nx An??lim)0?A?0??解方程并舍去负值得 A=2.即 li??nx10.两个重要求極限lim的典型例题的应用 （i） 常用语含三角函数的“ ” 型未定式1sinlm0??x0(ii) ，在“ ”型未定式中常用??ex??11.还有个非常方便的方法就是当趋近於无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的 快于 n！,n！快于指数型函数 (b 为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数当 x 趋菦无穷的时候，它们比值nb的求极限lim的典型例题就可一眼看出12.换元法。这是一种技巧对一道题目而言，不一定就只需要换元但是换元會夹杂其中。例如：求求极限lim的典型例题解：设 ”型未定式求极限lim的典型例题。一般都是 x 0 时候分子上是“ ”的形式，看见了0 )(afxf??这种形式要注意记得利用导数的定义（当题目中告诉你 告诉函数在具体某一点的导数值时，基本m ?）（ af上就是暗示一定要用导数定义）例:设 存在求)(,0)( afaf???nnaf???????????????1li解：原式=?? naffnafnnn fnaaf

利用函数求极限lim的典型例题求数列求极限lim的典型例题例题,
limf（x）=e^limxlntan（π/4+2/x）,（x趋近于+∞）；……为什么x趋近于正无穷?这一步是怎么变化来的?
=e^4； ……这结果是怎么算出来的呢?
由函數求极限lim的典型例题与数列求极限lim的典型例题间的关系：…… 函数求极限lim的典型例题与数列求极限lim的典型例题到底有什么关系呢?什么条件丅成立呢?

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