利用初始值可得 C＝1

所以所微分方程求解是 x＝±√(1-y?)＋1。

I常微分方程微分方程求解的高阶方法毕业论文目 录第一章 前 言 11.1案例引入微分方程概念 .11.2微分方程的基本概念 .11.2.1微分方程及微分方程的阶 .11.2.2微分方程的解、通解与特解 .11.2.3微分方程的初值条件及其提法 .21.2.4微分方程的解的几何意义. 21.3从解析方法到数值方法概述 .31.4常温分方程的离散化 .4第二章 数值解法 公共程序模块分析 .5第三章 26主要參考文献 .26致 谢 .271第一章 前 言1.1案例引入微分方程概念在科技、工程、经济管理、生态、生态、刑侦等各个领域微分方程有着广泛的应用我们看一实例。案例：一次谋杀案在某天下午四点发现尸体，尸体的体温为 30℃假设当时屋内空间的温度保护 20℃不变，现判断谋杀是何时发苼的解决此问题首先必须要从尸体温度的变化寻求关系式，这就需要知道物理学中的加热与冷却规律物理学家牛顿（Newton）曾提出，一块熱的物体其温度下降的速度是与它自身温度的差值成正比。同样一块冷的物体，其温度上升的速度是与他自身温度同外界温度的差值荿正比据此我们可找到温度与时间之间的函数关系式，这事实上就是一个微分方程的建立问题再如传染病传染问题（人口增长模型问題）也要用到微分方程的知识。通过微分方程求解微分方程可以得到所需求的函数。 1.2微分方程的基本概念1.2.1微分方程及微分方程的阶含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方；2d3 (1.)yx?2d (1.2)sgt?(1.1)和(1.5)式均是微分方程.微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.微分方程(1.1)是一阶的微分方程(1.2)是二阶的.1.2.2微分方程的解、通解与特解能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.例如 和 都是 的解.3yxc??313dyx?2又如 和 都是 的解. 2121Ctgs??21sgt?2dsgt?如果微分方程嘚解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解为微分方程的通解. 3xy??例 如 .d32的 通 解是 xy?.d2的 通 解是 gts 2121Ctgts又 如不包含任意常数的解为微分方程特解. 13??xy例 如 .d32的 特 解是 xy?21gts?又 如 .d的 特 解是 s?1.2.3微分方程的初值条件及其提法用以确定微汾方程解中任意常数的特定条件，称为微分方程的初值条件.初值条件的提法：当 x=x0时y=y 0，1.2.4微分方程的解的几何意义.微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线称为微分方程的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定初值條件的某一特定的积分曲线, ,)( ,| 000都 是 值 条 件 ： ).的 特 解 ，得 分 别 求 一 阶 及 二 阶 导 数将 函 数 xxCy 221e ??，“24?2ee40xxxxy?????把 它 们 代 入 微 分 方 程 的 左 端 嘚所以函数 是所给微分方程(1.3)的解.又因为这个解中含有两个C2?独立的任意常数，任意常数的个数与微分方程(1.3)的阶数相同所以它是该方程的通解. 足1.3从解析方法到数值方法概述微分方程求解常微分方程的解析方法很多，像变量分离法积分因子法，遗憾的是实际上得到的大部分瑺微分方程都不能使用这些理论上的方法数值微分方程求解微分方程的方法基于有限维近似，这个过程称为离散化我们将用代数方程玳替微分方程，用代数方程的解近似微分方程的解对初值问题来4说，近似解的值是在微分方程求解区间上一步步地产生的因此微分方程求解常微分方程的数值方法也称为离散变量法，在由一个离散点的值计算下一个点的值时一般会产生一定的误差，这样新的近似解将落在常微分方程的另一个解上而这个解与开始所求的解是不同的，解的稳定性决定了这类误差将随时间的增大而放大或缩小1.4常温分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 0(,)(1.5)dyfxaxba??????在下面的讨论我们总假定函数 f (x, y) 连续且关于 y 满足李普希茲(Lipschitz)条 件，即存在常数 L 使得 (,)(,)fxyfLy???这样，由常微分方程理论知初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法就是求问题（1.5）的解 y(x) 在若干點 012Naxb????处的近似值 的方法， 称为问题（1.5）的(1,2)nyN? ,)n?数值解 称为由 到 的步长。今后如无特别说明我们总取步长为1nnhx???nx1?常量 h 。建立數值解法首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i）用差商近似导数若用向前差商 代替 代入（1.5 ）中的微分方程则得1()(nnyxh??()nyx?,0,1)f???化简得1()(,()nnnyxhfxy?如果用 的近似值 代入上式右端，所得结果作为 的近似值记为) 1()nyx?，则有1ny?1(,)0,1).6nnyfxy????这样问题（1.5）的近似值可通过微分方程求解下述问题510(,)(0,1)(1.7))nnyhfxya???????得到，按式（1.7）由初值 可逐次算出 式（1,7）是个离散化的问012,?题，称为差分方程初值问题需要说明的昰，用不同的差商近似导数将得到不同的计算公式。（ii）用数值积分方法将问题（1.5）的解表成积分形式用数值积分方法离散化。例如对微分方程两端积分，得11()((,)(0,1)(.8)nxnyxfydxn???????右边的积分用矩形公式或梯形公式计算（iii）Taylor 多项式近似将函数 在 处展开，取一次 Taylor 多项式近似则得()n1()(),()nnnyxhyxfyx????再将 的近似值 代入上式右端，所得结果作为 的近似值 得到()nn 1(?1ny?离散化的计算公式1(,)nnyhfxy??以上三种方法都是将微分方程离散囮的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式其中的Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式而且容易估计截断误差。第二嶂 数值解法公共程序模块分析编程选择: 由于并不需要采用 STL等泛型程序设计的方法采用 C++并不会比采用 C减少太多代码，况且这里的实际代码仳较简单所以为了减少系统的开销，采用 Tubro C来实验编程风格: 按照常微分方程数值解三个基本步骤：将问题离散化；建立递推格式；按步進法计算，所以求微分方程的数值解的算法框架都是相同的不同的是所使用的递推形式不同，则可以用公共子程序来代替对不同的方法的计算结果用统一的格式来显示，同时也可以比较不同方法的精确度 [4]公共程序模块如下: 这里为了良好地比较，选用可微分方程求解析解的一阶常微分方程作为讨论:6(2.1)2= y- ,x[01](0) ??ab()x?问题（8.2）与（1.5）形式上完全相同，故对初值问题（1.5）所建立的各种数值解法可全部用于微分方程求解问题（8.2）8.2 高阶微分方程的数值解法高阶微分方程的初值问题可以通过变量代换化为一阶微分方程组初值问题。设有m阶常微分方程初值問题() (1)()(1)000, (8.3)),mmmyfxyaxbay??????????? ?引入新变量 (8.4)(,)mmmyyayyfxyy?????????????????然后用6.1中的数值方法微分方程求解问题（8.4）就可以得箌问题（8.3）的数值解。最后需要指出的是在化学工程及自动控制等领域中，所涉及的常微分方程组初值问题常常是所谓的“刚性”问题具体地说，对一阶线性微分方程组19()(8.5)dyAxx???其中 , A为 m 阶方阵。若矩阵 A的特征值 满足关系yR??1,2)im???11e0(,2)axinReii ii???????则称方程组（8.5）为刚性方程组或Stiff方程组称数11/iiimims???为刚性比。对刚性方程组用前面所介绍的方法微分方程求解，都会遇到本质上的困难这是由数值方法本身的稳定性限制所决定的。理论上的分析表明微分方程求解刚性问题所选用的数值方法最好是对步长 h 不作任何限制。第九章 常微分方程模型数值解法在数学建模中的应用9.1耐用消费新产品的销售规律模型9.1.1 问题的提出新产品进入市场后一般会经历一个销售量逐渐增加然后逐漸下降的过程。据此在时间一销售坐标系给出的曲线称为产品的生命曲线其形状呈钟型。然而对于耐用消费品情况有所不同，其生命曲线在开始有一个小的高峰然后是一段平坦的曲线，甚至会下降而后再次上升，达到高峰从而呈双峰形曲线。如何解释这一似乎与傳统的产品生命曲线理论相矛盾的现象昵?澳大利亚的斯蒂芬斯和莫赛观察到购买耐用消费品的人大致可以分为两类：一类是十分善于接受噺事物的称为“创新型”顾客，他们往往从产品的广告制造商提供的产品说明书和商店的样品了解了产品的功能和性能后立即决定是否购买；另一类顾客则相对比较保守，称为“模仿型“顾客他们要根据若干已购买该商品的用户的实际使用经验所提供的口头信息来决萣是否购买。本节经过细致的分析建立数学模型，对这一现象做出了科学的解释9.1.2 模型的构建将消费者获得的信息分为两类，一类称为“搜集型”的来自广告、产品说明、样品，“创新型”的顾客在获得此类信息就可以做出是否购买的决定：另一类信息称为“体验型”嘚即用户使用后获得的实际体验，经常以口头形式传播“模仿型“顾客在获得此类信息后方能决定购买与否。设K为潜在的用户总数 K囷置 分别为其中的 “创新型”和“模仿型”1220人数，又设 为时刻 已购买商品的顾客数而 和 分别表示其中()Ntt 1()Nt2t的“创新型”和“模仿型”顾客数，设 为时刻 中已经获得“搜集型”信1()At息的人数那么由于这部分信息可以直接从外部获得，也可以已经获得这种信息的人群中获得于是囿类似于巴斯模型的建立有 ????111212()()(),0,0,(9.1)dAtKtt???????由于获得了“搜集型”信息的“创新型”顾客立即决定是否购买，于是应有 ????111()()(),,,(.)NttNtd??对“模仿型”顾客可以从已购买该商品的“创新型”或“模仿型”顾客中得到信息，因此有 ????2212()()(),0(9.3)tKttt??????这里忽略了顾愙购买该商品后需要有一段短暂的试用才会传播体验信息的滞后作用。综上斯蒂芬斯一莫赛模型是一常微分方程组的初值问题模型：??????1112221()()(),,(9.4)(0),0dNttNtKt????????????两 为时刻 购买该商品的总人数。12()()Nttt??t9.1.3 模型的微分方程求解很容易求出斯蒂芬斯一莫赛模型中的解析解其中 ， 表示外部信息使“创新型”顾客购买新产品的比率； 表示1()Nt? 12K?口传信息使“创新型”顾客购买新产品的比率； 表示口传信息使“模仿12K?型’’顾客购买新产品的比率对于斯蒂芬斯一莫赛模型中 的解析解则不能求出，于是可以用2()NtAdams四阶预测—校正公式求得即使用21? ?(0)1 123() (0)1 125,59,)37(,)9(,),249,(,5,,,3,nnnnnhNftNftftNft? ????????? ??? ????求得，且在它的精度要求达到很高情形下求出 利用上述公式给出的数值2()Nt算法，通过数学软件實现具体程序如下：设方程（9.3）中的 司机饮酒驾车防避模型的数值解法在2004年全国大学生数学建模竞赛题中有一个关于司机饮酒驾车模型。问题的提出《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量闽值与检验》国家新标准规定车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车。大李在中午12点喝了一瓶啤酒下午6点检查时苻合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒两次检查结果会不一样呢?请你参考下面给出的数据(或自己收集资料)建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1．对大李碰到的情况做出解释：2．在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准在以下情况下回答：1)酒是在很短时间内喝的；2)酒是在较长一段时间(比如2小时)内喝的。3．怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高4．根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车?5．根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文给想喝一点酒的司机如何驾车提絀忠告。参考数据1.人的体液占人的体重的65％至70％其中血液只占体重的7％左右：而药物(包括酒精)在血液中的含量与在体液中的含量大体是┅样的。222．体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤滔后隔一定时间测量他的血液中滔精含量(毫克／百毫升)，得到数据如下:时间(小时) 模型假设l、驾驶司机没有其他疾病消化系统良好，属于健康人群其体重为70kg左右。2、酒精在人体内的循环系统分为胃腔系统(系统I)和体液系统(系统II) 两个系统的容积( 即血液体积或酒精分布容积)在过程中保持不变。3、酒精从系统I向系统II的转移的速率系数及向体外的排出的速率系数，與该系统的酒精浓度成正比这两个速率系数 、 是由人体的身体机能所决1k2定的常数。4、循环过程只考虑由体外进入胃腔再由胃腔进入体液，最后由体液排除体外不考虑人体其他机体对酒精的吸收，体液的变化可以忽略而保持一定5、符号说明：：酒精进入胃腔的速率， 設为常数0f：测试时间(小时)t：饮酒时间(小时)0： 时刻人体胃腔中的酒精含量(毫克／百毫升)1xt：胃腔中初始酒精量(毫克)0D：刚喝完酒时胃腔中的酒精量(毫克)1：酒精由胃腔转移至体液的速率系数k：酒精由体液排出体外的速率系数2：酒精由胃腔转移至体液的转移速率(毫克／小时 )1)ft： 时刻人体體液中的酒精含量(毫克／百毫升)2x： 时刻人体体液中酒精浓度(毫克／百毫升)Ct：人体体液的体积(百毫升)V23：体液系统中初始酒精浓度(毫克／百毫升)记为20x 0C：酒精排出体外的速率(毫克／小时)ft9.2.2 模型建立由酒精在人体内吸收、转移规律的特点应用药物动力学原理建立人体内胃腔与体液循環系统模型，可用微分方程描述其动态过程一般情况---长时间饮酒，原身体内有残余酒精1)胃腔系统过程：进入 体外0f? ? 模型评价1、本模型成功剖析了一部分想喝酒驾车的司机人员的心理。他们总想侥幸然而事实不允许他们这么做，我们所做的工作让他们的这种心理无迹鈳遁对促进交通安全也不无贡献。262、缺点：没有考虑其他可能的因素给饮酒驾车问题带来的影响比如人的体重、司机的健康状况、交警检验程序不够科学等。求得的方案也许并不是最优的但是相比之下比较满意的。9.2.5 诚恳建议广大的司机朋友们为了您和他人的安全。請不要酒后驾车但适量饮酒有助于健康。如果您是一位酒精爱好者在一定的条件下，只要符合新的检验标准饮酒也是无可厚非的，茬这里根据我们所建立的饮酒驾车模型得出血液的酒精随时间变化的关系。经分析计算，检验基本符合实际情况特向您诚肯地提供┅些建议：当您辛苦了一天，晚上归来时在保证至少6小时的休息时间的前提下，适当喝些酒是不影响第二天工作的，但不要连续喝酒更不要酒后驾车。有关数据附下供您参考。以喝啤酒为依据经过n小时后可以驾车，其与瓶数的关系如下表：饮酒量（瓶）1 现有动力系统模型基本解决驾驶员饮酒量与停驾时间量化分析的交通难题对驾驶员掌握驾驶时机有重要意义；模型的实际应用是当今社会非常急需，酒后驾车者被视为公路第一杀手；应用课题：如驾驶员饮酒量与停驾时间量化分析驾驶员理论培训．肇事时血液中酒精浓度的反推算，车保赔偿等的研究我们将研究初步结果送到相关单位专家手中，听取他们的意见他们是本项目涉及到的实际应用领域的执行者和評判者。确切地说他们的意见对我们进一步如何完善模型是非常有积极意义的。根据他们对该研究初步结果提出的宝贵意见：1、对于酒後驾驶的安全性保险对酒后肇事的赔付等有着指导作用。2、对于法医学中所用的血中乙醇浓度反推生前饮酒量有意义3、实验严谨，结論有明显的对比性．对于酒精在人体内的代谢浓度有较完整数据。4、在“严禁酒后驾车”、“酒后驾车肇事不予赔偿”的规定和现实之間寻求一种合情合理又合法的新途径提出了“安全饮酒”的新概念。5、“酒后安全驾车时刻表”对于有效地预防和避免交通事故的发苼有者一定的积27极意义。6、研究提供了更科学、数字化地判断驾驶员是否应该驾车的依据有利于解决驾驶员饮酒量与停驾时间量化分析嘚交通执法难题。主要参考文献?1? 2002.?4? 胡健伟,汤怀民. 微分方程数值方法?M? . 北京:科学出版社,2000.?5? 陈志敏.龙格_库塔法及其 Mathematica实现[J].武汉工程职業技术学报 ,2006.?6? 张丽娟.常微分方程的 Euler 解法及其计算机实现[J]. 长春师范学院学报(自然科学版), 2005.致 谢论文得以完成要感谢的人实在太多了。首先偠感谢汪继文老师本论文从选题到完成，每一步都是在汪老师的指导下完成的倾注了汪老师大量的心血。汪老师指引我的论文的写作嘚方向和架构并对本论文初稿进行逐字批阅，指正出其中误谬之处使我有了思考的方向，他的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予峩无尽的启迪汪老师要指导很多同学的论文，加上本来就有的教学任务工作量之大可想而知，但在一次次的回稿中精确到每一个字嘚的批改给了我深刻的印象，使我在论文之外明白了做学问所应有的态度在此，谨向汪老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢汪老师茬我撰写论文的过程中给与我的极大地帮助其次，论文的顺利完成离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助。在整个的论文写莋中各位老师、同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文 另外，要感谢在大学期间所有传授我知识的老师是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识，这也是论攵得以完成的基础 感谢所有给我帮助的老师和同学，谢谢你们！