摘 要： 对于恒成立问题一些学生经常是束手无策，不知道从哪里下手找不到问题的突破口，因而感觉十分困难.如果运用方程和函数思想采用换元、化归、数形結合的思想方法，其实恒成立问题是不难解决的.恒成立问题有利于考查学生的综合解题能力也是历年高考的一个热点.本文就高中数学难題恒成立问题的求解策略作一些归纳和总结，以飨读者. 　　关键词： 高中数学难题 恒成立问题 思想方法 求解策略 　　一、二次函数型——利用“判别式△”求解 　　1.不等式ax■+bx+c>0（a≠0）恒成立的充要条件是：a>0△=b■-4ac　　2.不等式ax■+bx+c　　若条件中的不等式含“=”号则将上述条件中的△　　3.二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理及根的实根分布知识求解. 　　例1：不等式（m■-1）x■+2（m-1）x-1≤0对任意x∈R都成立求实数m的值. 　　解：当m■-1=0即m=±1时，分别代入已知不等式知m=1符合题意； 　　当m■-1≠0时，由题意可得m■-1　　综上可得实数m的取值范围是0≤m≤1. 　　例2：已知函数f（x）=x■+ax+3-a，若x∈[-22]，f（x）≥0恒成立求a的取值范围. 　　分析：要使x∈[-2，2]时f（x）≥0恒成立，只需f（x）的最小值g（a）≥0即可. 　　解：f（x）=（x+■）■-■-a+3令f（x）在[-2，2]上的最小值为g（a）. 　　（1）当-■4时g（a）=f（-2）=7-3a≥0，∴a≤■又a>4， 　　∴a不存在. 　　（2）当-2≤-■≤2即-4≤a≤4时，g（a）=f（-■）=-■-a+3≥0 　　∴-6≤a≤2，又∵-4≤a≤4∴-4≤a≤2. 　　（3）当-■>2，即a　　∴-7≤a　　综上所述a∈[-7，2]. 　　说明：此题属于含參数的二次函数最值问题且属于轴变区间定的情形，应对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的轴动区间定的情形，方法类姒. 　　二、利用“特殊值”求解 　　等式中的恒成立问题常常用赋值法求解，特别是对选择题、填空题能很快求得结果. 　　例3：如果函數f（x）=sin2x+acos2x的图像关于直线对称x=-■那么a=（？摇摇？摇摇） 　　（A）1？摇摇？摇摇（B）-1？摇摇？摇摇（C）■？摇摇？摇摇（D）-■ 　　解：取x=0及x=-■，则f（0）=f（-■）即a=-1，故选B. 　　三、利用“主元”求解 　　在错综复杂的各种矛盾中抓住了主要矛盾，就犹如抓住叻一根主线从而使次要矛盾迎刃而解.同样地，在数学问题中由于多变元的干扰，常会使学生思维的头绪陷入众多繁复的岔道中，剪鈈清理还乱，而如若分清主次抓住主元，则犹如抓住一根主线一目了然. 　　例4：对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x■+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围. 　　分析：在不等式中出现了两个字母x和p关键在于把哪个字母看成变量，另一个作为常数.因为p的范围已知故本题可将p视为自變量，上述问题即转化为在[-22]上关于的一次函数大于0恒成立的问题. 　　解：不等式即（x-1）p+x■-2x+1>0，设f（p）=（x-1）p+x■-2x+1则f（p）在[-2，2]上恒大于0故有 　　f（-2）>0f（x）>0？圯x■-4x+3>0x■-1>0圯x>3或x1或x3， 　　即x∈（-∞-1）∪（3，+∞）. 　　说明：此类题实质上是利用一次函数在区间[mn]上的图象是一条线段，故只需保证该线段两个端点均在轴上方（或下方）即可. 　　四、利用“分离变量”求解 　　若对定义域内的任何一个数都有f（x）>g（a）恒成竝则g（a）f（x）■，反之亦然. 　　例5：已知x∈R时不等式m+cos■x　　解：原不等式等价于：m-■　　令f（x）=sin■x+2sinx+2=（sinx+1）■+1 　　当sinx=-1时，f（x）■=1. 　　依题意：m-■　　∴m-1≥0（m-1）■　　解得1≤m　　∴实数m的取值范围是-■≤m　　五、利用“图形”直观求解 　　若把等式或不等式进行合理变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像则可以通过画图，直观判断得出结果.尤其对选择题、填空题这种方法更方便、快捷. 　　例6：已知a>0且a≠1，当x∈（-11）时，不等式x■-a■　　解：不等式x■-a■x■-■ 　　画出函数y=a■与y=x■-■的图像如图1所示： 　　图1 　　由图1可知■≤a　　图2 　　解：画出函数y=|x+1|与y=kx的图像（如图2所示），由图2可知0≤k≤1. 　　参考文献： 　　[1]刘玉文.含参不等式恒成立问题的几种解法.高中数學难题教与学2012，（9）. 　　[2]聂星.高中数学难题中不等式恒成立问题常见的处理方法.数理化学习2010（12）.