高二数学期中试题(二)及答案
高二数学期中试题(二)及答案
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期中试题二　　
（时间90分钟，满分100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设a＜b＜0，下面给出六个判断：
& &&&&&④（a－
）2＜（b－
其中正确判断的个数是（　　）
A．2个& B．3个& C．4个& D．5个
＞ax的解集是{x|0＜x≤4}那么，实数a的取值范围是（　　）
A．a≥0& B．a＞0 &C．a≤0& D．a＜0
3．关于x的方程9－|x－2|－4?3－|x－2|－a＝0有实数解的充要条件是（　　）
A．a≥－4& B．－4≤a＜0&& C．a＜0& D．－3≤a＜0
4．已知函数f（x）＝log
（x2－ax＋3a）在区间[2，＋∞）上是减函数，那么实数a的取值范围是（　　）
A．（－∞，4]& B．（－4，4]
C．（－∞，－4]∪[12，＋∞）& D．（－∞，－4]∪[4，＋∞）
5．若关于x的不等式x2－4x≥m，对任意x∈（0，1]恒成立，则（　　）
A．m≤－3& B．m≥－3& C．－3≤m≤0& D．m≥－4
6．若a，b∈R，则
成立的一个充分必要条件是（　　）
A．a＞b＞0&& B．b＞a
C．a＜b＜0& D．ab（a－b）＜0
7．当m＞n＞0时，函数y＝m＋n＋
的最小值是（　　）
A．5& B．4& C．3& D．2
8．在定义域是R的函数f（x）中，对任意两个互不相等的实数a，b总有
＞0成立，那么一定有（　　）
A．f（x）在R上是增函数& B．f（x）在R上是减函数
C．f（x）是奇函数& D．f（x）是偶函数
9．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的最小值为（　　）
& B．4& C．2
10．已知⊙O：x2＋y2＝r2，点P（x0，y0），方程：x0x＋y0y＝r2
命题甲：方程x0x＋y0y＝r2是⊙O的切线方程；
命题乙：P在⊙O上，那么命题甲是命题乙的（　　）
A．充分但不必要条件& B．必要但不充分条件
C．充分且必要条件& D．既不充分也不必要条件
11．过点A（1，－1），B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（　　）
A．（x－3）2＋（y＋1）2＝4&& B．（x＋3）2＋（y－1）2＝4
C．（x－1）2＋（y－1）2＝4&& D．（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
12．若函数f（x），g（x）的定义域和值域都为R，则f（x）＞g（x） （x∈R）成立的充要条件是（　　）
A．有一个x∈R，使f（x）＞g（x）
B．有无穷多个x∈R，使得f（x）＞g（x）
C．对R中任意的x，都有f（x）＞g（x）＋1
D．R中不存在x，使得f（x）≤g（x）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知三个不等式：①ab＞0；②
；③bc＞ad．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成____________个正确命题．
14．已知x∈R＋，由不等式x＋
≥3，…，启发我们可以得出推广结论：x＋
≥n＋1（n∈N*）
则a＝____________．
15．甲、乙两人同时从图书馆走向教室．甲一半路程步行一半路程跑步；乙一半时间步行一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度分别相同，那么先到教室的应是____________．
16．已知点P（m，n）在直线y＝－
上移动，其中a，b，c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边，则m2＋n2的最小值是____________．
三、解答题
17．（本小题满分12分）解不等式：
18．（本小题满分12分）解不等式：|log
x－2|－|logax－2|＜2（a＞0，a≠1）
19．（本小题满分12分）设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较：|loga（1－x）|与|loga（1＋x）|的大小．
20．（本小题满分12分）若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x＞0，满是f（
）＝f（x）－f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）＝1．解不等式f（x＋5）－f（
21．（本小题满分13分）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a＞0）．设方程f（x）＝x的两个实数根为x1，x2．
（1）如果x1＜2＜x2＜4，设函数f（x）的对称轴为x＝x0，求证：x0＞－1；
（2）如果|x1|＜2，|x2－x1|＝2，求b的取值范围．
22．已知A、B、C三点的坐标分别是（3－a，0），（6－a，0），（－a，0），直线l的方程为x＝a．若M，N是直角坐标系的上半平面内相异的两点，这两点到直线l的距离分别为d1，d2，且满足
（1）求实数a的范围；
（2）证明|CM|＋|CN|为定值．
一．1．B& 提示：①∵a＜b＜0
∴ ①正确．（利用性质变形）
②∵a＜b＜0
－a＞－b＞0
（利用性质变形）
∴②正确．
③设a＝－3& b＝－1& 则
）2－（b－
）2＝（a－
＝（a＋b）（1－
）（a－b）（1－
）＝（a＋b）（a－b）（1－
）2＜（b－
）2不成立 &（作差法判定大小关系）
⑤∵a＜b＜0
a＋b＜a－b＜0
∴⑤正确．
⑥设a＝－2，b＝－1，则
2．D& 提示：∵
＞ax的解集（0，4]
3．D& 提示：由方程得：
a＝（3－|x－2|）2－4?3－|x－2|
（把方程转化为函数式）
∴方程有解时，a的取值范围就是函数f（x）＝（3－|x－2|）2－4?3－|x－2|的值域
∴a∈[－3，0）．
4．B& 提示：f（x）＝log
（x2－ax＋3a）在区间[2，＋∞）上是减函数
（确保g（x）＝x2－ax＋3a在[2，＋∞）为增函数）
（确保g（x）在[2，＋∞）上为正实数
a∈（－4，4]．
5．A& 提示：x2－4x≥m对任意x∈（0，1]
（x2－4x）min≥m& （注意转化技巧）
∴m≤－3．
6．D& 提示：
（a－b）ab＜0．
7．B& 提示：y＝（m－n）＋n＋n＋
当且仅当m－n＝n＝
，也就是m＝2，n＝1时，等号成立．
（注意讨论等号成立的条件）
∴ymin＝4（m＝2，n＝1）
8．B& 提示：对任意两个互不相等的实数a、b，总有
a－b与f（a）－f（b）异号
也就是，a＜b时，f（a）＞f（b）
或a＞b时，f（a）＜f（b）
依据函数的单调性定义，可知：f（x）是减函数．
9．A& 提示：S四边形PACB＝2S△PAC＝|PA|?|AC|
∵|AC|是圆的半径，为常量．
∴当|PA|取到最小值时，S四边形PACB取到最小值．
又∵|PA|＝
∴|PA|取最小值的充要条件是：|PC|取最小值．
又知：|PC|的最小值就是点C到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离
＝3．（分析的过程就是转化的过程，寻找主要矛盾的过程）
∴[|PA|]min＝2
∴（S四边形PACB）min＝2
10．C提示：P在⊙O上
设d是圆心O（0，0）到直线：x0x＋y0y＝r2的距离，则：d＝
∴x0x＋y0y＝r2是⊙O的切线．
若x0x＋y0y＝r2是⊙O的切线．
也就是，P（x0，y0）在⊙O上．
11．C& 提示：设圆心C（x，2－x）
依题意：|AC|＝|BC|
（想一想，为什么可以设圆心坐标为（x，2－x）？）
∴（x－1）2＋（x－3）2＝（x＋1）2＋（x－1）2
从而，得：2－1＝1
圆心坐标为：（1，1），半径|AC|＝2
由圆的标准式，可知：圆的方程为：（x－1）2＋（y－1）2＝4
12．D& 提示：x∈R；f（x）＞g（x）恒成立
如果x∈R，则f（x）＞g（x）成立
逆否命题是：若f（x）≤g（x），则实数x不存在．
也就是：不存在实数x，使得：f（x）≤g（x）．
根据逆否命题是等价命题，可知：D正确．
二、13．3& 提示：①，②
又∵ab＞0，bc＞ad
综上所述，有3个正确命题
14．nn提示：x＋
（考查归纳能力）
≥（n＋1）
15．乙& 提示：设跑步速度为v1，步行速度为v2，甲、乙所用时间分别记为：t甲，t乙．
依题意t甲＝
∴t甲＞t乙
从而，得知：先到教室的应是乙．
16．4& 提示：m2＋n2的几何意义是：|PO|2
从而，知：m2＋n2的最小值，也就是，原点O到直线y＝－
的距离的平方
∵a，b，c为某直角三角形的三边长，c为斜边，则d＝2
∴（m2＋n2）min＝4．
三、17．解：原式同解不等式为：
（采用分类讨论，把不等式转化为不等式组）
1＜x＜2或2＜x＜3或x＞4或x＜0
综上所述，不等式的解集为：（－∞，0）∪（1，2）∪（2，3）∪（4，＋∞）
18．解：原式整理，得：
2|logax－1|－|logax－2|＜2．（转化为只含绝对值的不等式）
令t＝logax，则不等式转化为：2|t－1|－|t－2|＜2
t＜1时，－2t＋2＋t－2＜2
∴－2＜t＜1
1≤t＜2时，2t－2＋t－2＜2
t≥2时，2t－2－t＋2＜2
求并，可得：－2＜t＜2．（完成含t的不等式）
从而，得：－2＜logax＜2（a不确定，应讨论a的取值）
a＞1时，a－2＜x＜a2
0＜a＜1时，a2＜x＜a－2
∴不等式的解为：a＞1时，{x|a－2＜x＜a2}或0＜a＜1时，{x|a2＜x＜a－2}．
19．证明：∵[loga（1－x）]2－[loga（1＋x）]2
＝loga（1－x2）?loga
∈（0，1）
当a＞1时，loga（1－x2）＜0，loga
loga（1－x2）?loga
当0＜a＜1时，loga（1－x2）＞0，loga
loga（1－x2）?loga
综上所述，得：a＞0且a≠1时，恒有：loga（1－x2）?loga
也就是：[loga（1－x）]2＞[loga（1＋x）]2
从而，得：|loga（1－x）|＞|loga（1＋x）|（a＞0，a≠1）．
20．解：（1）令x＝y＝1
）＝f（x）－f（y），可得：f（1）＝0．
（2）由f（
）＝f（x）－f（y），可得：
f（x）＝f（
）＋f（y）
从而，得：a，b为任意正实数，满足：f（ab）＝f（a）＋f（b）
∴2＝2f（6）＝f（36）．
由不等式，f（x＋5）－f（
又∵f（x）是增函数
解之，得：0＜x＜4．
21．解：（1）令g（x）＝f（x）－x＝ax2＋（b－1）x＋1
∵x1、x2是f（x）＝x的两个根
∴g（x1）＝g（x2）＝0
又∵x1＜2＜x2＜4，a＞0
①×3，得：12a＋6b－3＜0
∴16a＋4b－3＞12a＋6b－3
∵a＞0& ∴－
即：x0＞－1．
（2）由方程g（x）＝ax2＋（b－1）x＋1＝0，可知，x1x2＝
＞0，所以x1，x2同号
根据|x1|＜2，可得：x1∈（－2，0）或（0，2）．
（i）若x1∈（0，2），由|x2－x1|＝2，可得：x2－x1＝±2
x2＝x1＋2或x2＝x1－2
∵x1，x2同号
∴x2＝x1＋2& （想一想，为什么舍去x2＝x1－2？）
∵g（x1）＝g（x2）＝0
∴g（2）＜0
也就是：4a＋2b－1＜0（*）
由（x2＋x1）2－4x1x2＝4，可得：
（b－1）2＋1＝（2a＋1）2
∵a＞0．∴2a＋1＝
由（*），可得：3－2b＞2
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鸡西信息港高二数学：向量知识
　　学习数学不仅要有强烈的学习愿望和学习热情，而且还要有科学的学习方法，只有掌握好了学习方法，数学学习起来就容易得多了，下面是数学网整理的高二数学：向量知识，欢迎阅读学习。
　　平面向量
　　1.基本概念：
　　向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
　　2.加法与减法的代数运算：
　　(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
　　向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
　　向量加法有如下规律：+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
　　3.实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
　　(1)||=||&||;
　　(2) 当a&0时，与a的方向相同;当a&0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0.
　　两个向量共线的充要条件：
　　(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .
　　(2) 若=(),b=()则‖b .
平面向量基本定理：
　　若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只 有一对实数，，使得= e1+ e2
　　4.P分有向线段所成的比：
　　设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使= ，叫做点P分有向线段所成的比。
　　当点P在线段上时，&0;当点P在线段或的延长线上时，&0;
　　分点坐标公式：若= ;的坐标分别为(),(),();则(&-1)，中点坐标公式：.
　　5.向量的数量积：
　　(1).向量的夹角：
　　已知两个非零向量与b，作= , =b,则&AOB= ()叫做向量与b的夹角。
　　(2).两个向量的数量积：
　　已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则&b=||&|b|cos .
　　其中|b|cos 称为向量b在方向上的投影.
　　(3).向量的数量积的性质：
　　若=(),b=()则e&= &e=||cos (e为单位向量);
　　&b &b=0 (，b为非零向量);||= ;
　　cos = = .
　　(4) .向量的数量积的运算律：
　　&b=b&;( )&b= ( &b)= &( b);( +b)&c= &c+b&c.
　　6.主要思想与方法：
　　本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
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